표준 또는 표준 편차는 개별 데이터 포인트가 데이터 세트의 평균 또는 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 통계적 척도 입니다. 이는 데이터가 앙상블 평균과 얼마나 다른지 이해하는 데 사용되는 분산 척도입니다.
더 복잡한 용어로 말하면, 표준 또는 표준편차는 분산의 제곱근 입니다. 분산은 각 데이터 항목과 전체 평균 간의 차이 제곱의 평균으로 계산됩니다. 분산의 제곱근을 취하면 표준편차가 나오며, 이는 원래 데이터와 동일한 단위입니다.
이는 통계에서 중요한 척도라는 점은 언급할 가치가 있습니다. 덕분에 데이터의 분산을 수량화 하고 평균과 비교하여 어떻게 분포되어 있는지 이해할 수 있습니다. 표준 편차가 낮다는 것은 데이터가 평균에 가까운 경향이 있음을 나타냅니다. 반면에, 높은 표준 편차는 데이터가 평균에서 더 멀리 퍼져 있거나 멀리 떨어져 있음을 나타냅니다.
일반적으로 표준편차는 세트 내 데이터의 변동성을 이해하고 비교하는 데 사용됩니다.
표준편차는 무엇에 사용되나요?
표준편차는 데이터 분석에 여러 용도로 사용되는 통계 도구입니다. 가장 잘 알려진 유틸리티 중 일부는 다음과 같습니다.
- 분산 측정 : 개별 데이터가 전체 평균 또는 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 정량화합니다. 표준 편차가 높으면 데이터의 분산 또는 변동성이 크다는 것을 나타내고, 표준 편차가 낮다면 분산이 적다는 것을 나타냅니다.
- 데이터 세트 비교 – 서로 다른 데이터 세트 간의 변동성을 비교하는 데 사용할 수 있습니다. 표준 편차가 큰 세트는 표준 편차가 작은 세트보다 데이터가 더 많이 분산되어 있습니다.
- 이상값 식별 – 이는 데이터 세트에서 이상값이나 극단값을 식별하는 데도 도움이 될 수 있습니다. 데이터 포인트가 평균에서 여러 표준 편차를 벗어나는 경우 이는 해당 값이 비정상적이거나 이상값임을 나타낼 수 있습니다.
- 모델의 정확성 평가 – 어떤 경우에는 표준 편차가 모델 또는 추정의 정확성을 측정하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 추론 통계에서는 표준 편차를 사용하여 신뢰 구간을 계산하거나 가설 검정을 수행할 수 있습니다.
표준편차의 속성
표준편차에는 언급할 가치가 있는 몇 가지 중요한 속성이 있습니다.
- 표준편차는 거리의 척도 이므로 항상 음수가 아닌 값입니다 .
- 세트의 모든 데이터가 동일한 값을 갖는 경우 표준 편차는 0이 됩니다 .
- 이는 특이치의 영향을 받으며 데이터 세트에서 크게 영향을 받을 수 있습니다.
- 이는 데이터 규모에 민감합니다 . 데이터의 규모가 크면 표준편차도 크고, 그 반대도 마찬가지입니다.
- 이는 원본 데이터와 동일한 단위로 표현되므로 상대 분산의 척도 입니다.
표준편차 공식은 무엇인가요?
표준편차의 수학 공식은 다음과 같습니다.
금:
σ: 표준편차를 나타냅니다.
Σ: 합계를 나타냅니다.
xi: 데이터 세트의 개별 값입니다.
평균: 데이터 세트의 평균 또는 평균입니다.
n은 세트의 총 데이터 수입니다.
표준편차는 집합의 데이터가 평균이나 평균과 얼마나 다른지 이해할 수 있게 해주는 분산의 척도입니다. 이는 세트의 각 값과 세트의 평균 사이의 차이의 제곱합의 제곱근을 세트의 전체 데이터 수로 나누어 계산하여 얻습니다.
표준편차는 어떻게 계산되나요?
표준 편차는 다음 단계를 사용하여 계산됩니다.
1. 데이터 세트의 평균을 계산합니다.
평균은 데이터 세트의 모든 값을 더한 후 그 결과를 전체 데이터 값으로 나누어 얻습니다. 수학적으로는 다음과 같이 표현됩니다.
여기서 xi는 데이터 세트의 각 값, n은 세트의 데이터 항목 수, Σ는 합계를 나타냅니다.
2. 데이터 세트의 각 값에서 평균을 뺍니다.
데이터 세트의 각 값과 평균 간의 차이를 얻으려면 데이터 세트의 각 값에서 이전 단계에서 계산된 평균을 뺍니다. 이를 통해 데이터가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지 확인할 수 있습니다.
3. 이전 단계에서 얻은 각 차이를 제곱합니다.
이전 단계에서 얻은 차이를 제곱합니다. 이 단계는 양수와 음수 차이가 서로 상쇄되는 것을 방지하고 평균에서 가장 먼 값을 강조하기 위해 수행됩니다.
4. 이전 단계에서 얻은 값의 평균을 계산합니다.
이전 단계에서 얻은 값의 평균이 계산됩니다. 이 평균은 차이의 제곱의 합을 총 데이터 수로 나눈 값을 나타냅니다. 수학적으로는 다음과 같이 표현됩니다.
평균 제곱 차이 = Σ((xi – 평균)²) ¼ n
5. 이전 단계에서 얻은 값의 제곱근을 구합니다.
마지막 단계는 이전 단계에서 얻은 값의 제곱근을 구하는 것입니다. 이는 평균에서 데이터의 분산을 측정하는 표준편차를 제공합니다.
표준편차는 어떻게 해석되나요?
표준편차의 해석은 연구된 데이터의 성격과 맥락에 따라 달라진다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.
따라서 표준편차의 의미를 완전히 이해하고 이를 다른 통계적 측정과 함께 사용하여 데이터 변동성을 완전하고 정확하게 이해하는 것이 중요합니다. 아래에서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
변동성 분석
표준 편차는 세트 내 데이터의 변동성 또는 분산을 평가하는 데 사용됩니다. 표준편차가 낮으면 데이터가 평균에 가깝고 변동성이 거의 없음을 나타냅니다. 반면, 표준편차가 높으면 데이터가 더 분산되어 있고 변동성이 더 크다는 것을 나타냅니다.
데이터 비교
이는 서로 다른 데이터 세트 간의 변동성을 비교하는 데 유용합니다. 예를 들어, 두 국가의 소득 표준편차를 비교하면 어느 쪽이 인구 소득의 변동성이 더 큰지 추론할 수 있습니다.
특이점 식별
집합에서 이상값이나 비정상적인 데이터를 식별하는 데 도움이 됩니다. 평균에서 1~2 표준편차를 초과하는 데이터는 이상값으로 간주될 수 있습니다.
측정 정확도 평가
이는 또한 측정이나 추정의 정확성이나 신뢰성을 측정하는 데에도 사용됩니다. 예를 들어, 연구를 수행하고 표준 편차가 높은 측정값을 얻은 경우 이는 측정값의 정확도가 떨어지고 데이터를 수집할 때 더 많은 주의가 필요함을 나타낼 수 있습니다.
데이터 정규성 평가
표준 편차는 데이터가 정규 분포를 따르는지 여부를 평가하기 위해 다른 측정값과 함께 사용됩니다. 데이터가 평균과 작은 표준 편차를 갖는다면 이는 데이터가 대략 정규 분포에 따라 분포되어 있음을 나타낼 수 있습니다.
표준편차의 수치적 예
일반적으로 말하면 복잡할 수 있는 것은 사실이지만, 표준편차는 간단한 방식으로 이해됩니다. 의심을 명확히 하기 위해 아래에서 두 가지 다른 방법을 사용하여 몇 가지 예를 공유합니다.
분산의 제곱근
9, 3, 8, 9, 16이라는 데이터가 있다고 가정합니다.
1단계: 산술 평균을 계산합니다.
산술 평균 = (9 + 3 + 8 + 9 + 16) ¼ 5 = 9.
2단계: 분산 공식을 적용합니다.
편차 = [(9 – 9) 2 + (3 – 9) 2 + (8 – 9) 2 + (9 – 9) 2 + (16 – 9) 2 ] ¼ 5 = 86 ¼ 5 = 17.2.
3단계: 분산의 제곱근을 구합니다.
표준편차 = √(17.2) ≒ 4.14.
편차의 합과 총 관측치 수로 나누기
2, 4, 2, 4, 2, 4라는 데이터가 있다고 가정합니다.
1단계: 산술 평균을 계산합니다.
산술 평균 = (2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4) ¼ 6 = 3.
2단계: 편차를 더하고 총 관찰 수로 나누어 표준 편차를 계산합니다.
표준편차 = [(2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3)] ¼ 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) ¼ 6 = 1.
두 경우 모두 서로 다른 계산 방법을 사용하여 각각 약 4.14와 1의 표준 편차를 얻습니다. 이는 분산의 제곱근을 사용하거나 편차를 더하고 총 관측치 수로 나누어 표준편차를 구하는 방법을 보여줍니다.