일치하는 선

여기서는 일치하는 선에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 의미, 두 선이 일치하는지 확인하는 방법, 해당 속성 등. 또한 일치선의 예와 해결 연습도 볼 수 있습니다.

두 개의 일치하는 선은 무엇입니까?

두 개의 일치하는 선은 모든 점을 공유하는 두 개의 선입니다. 따라서 두 개의 일치하는 선은 완전히 동일합니다.

예를 들어, 아래에는 두 개의 일치하는 선이 그래프로 표시되어 있는데, 두 선이 겹치기 때문에(동일하기 때문에 하나만 표시됩니다.)

두 개의 일치하는 선은 항상 같은 방향을 가지므로 기하학적으로 0°의 각도를 형성합니다.

반면에, 평면에서는 두 선 사이의 상대 위치 개념에 4가지 가능성이 있다는 것을 기억하십시오. 두 선은 일치, 평행 , 할선 및 수직이 될 수 있습니다. 원한다면, 이 3개의 링크에서 각 선 유형의 의미와 차이점을 확인할 수 있습니다.

두 선이 일치하는지 어떻게 알 수 있나요?

두 선이 일치하는 시기를 아는 것은 두 좌표(R2)로 작업하는지 아니면 세 좌표(R3)로 작업하는지에 따라 달라집니다.

평면에서 두 개의 일치하는 선을 결정합니다.

2차원(2D) 공간에서 작업할 때 두 선이 일치하는 경우와 선의 암시적 방정식 또는 명시적 방정식 에서 발생하지 않는 경우를 쉽게 알 수 있습니다.

이 두 가지 방법 외에도 두 선의 방정식으로 구성된 방정식 시스템을 풀어 두 선이 일치하는지 확인할 수도 있습니다(시스템이 무한 솔루션을 제공하는 경우 이는 두 선이 일치한다는 것을 의미합니다). 하지만 이 과정은 더 복잡하고 시간이 많이 걸리기 때문에 암묵적 방정식이나 명시적 방정식의 계수로부터 하는 것이 더 좋기 때문에 자세히 설명하지 않겠습니다.

직선의 암시적(또는 일반) 방정식으로부터

두 선이 일치하는지 확인하는 한 가지 방법은 일반 방정식 또는 데카르트 방정식이라고도 알려진 선의 암시적 방정식을 사용하는 것입니다.

선의 암시적 방정식은 다음 표현식에 해당합니다.

$Ax+By+C=0$

글쎄요 , 만약 두 선이 세 개의 비례 계수(A, B, C)를 가지고 있다면 , 이는 두 선이 일치한다는 것을 의미합니다.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

예를 들어, 다음 두 줄은 일치합니다.

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

그리고 매개변수 A, B, C가 서로 비례하기 때문에 일치합니다.

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

직선의 명시적 방정식으로부터

두 선이 실제로 일치하는지 알아내는 또 다른 방법은 선의 명시적 방정식을 사용하는 것입니다. 직선의 명시적 방정식은 다음과 같습니다.

$y=mx+n$

두 직선의 기울기(계수 m)가 같고 원점(계수 n)의 세로 좌표가 같으면 두 직선이 합쳐진 것입니다.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

예를 들어, 다음 두 선은 원래 동일한 기울기와 세로좌표를 갖고 있기 때문에 동일합니다.

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

경사가 동일하지만 원점에서 다르게 정렬된 경우 평행하고 일치하는 선이 아니라는 점에 유의해야 합니다.

마지막으로, 예에서 볼 수 있듯이 두 개의 일치하는 선은 동일한 명시적 방정식을 갖습니다. 이는 모든 유형의 선 방정식에 적용 가능합니다. 방정식에서 두 선이 일치하면 두 선이 일치한다는 의미입니다.

공간에서 두 개의 일치하는 선을 찾아보세요

공간(R3)에서 두 개의 일치하는 선을 식별하는 것은 하나의 좌표를 더 사용하여 계산을 수행해야 하기 때문에 데카르트 평면(R2)에서 식별하는 것과 다릅니다. 이제 어떻게 수행되었는지 살펴보겠습니다.

공간에 있는 서로 다른 두 선의 방정식을 고려하면 다음과 같습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

그리고 M과 M’을 선의 계수로 구성된 행렬로 설정합니다.

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

그런 다음 행렬 M과 M’의 순위가 2이면 두 선이 일치합니다.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

단계별로 해결되는 연습을 통해 공간에서 일치하는 선의 예를 살펴보겠습니다.

다음 두 줄이 일치하는지 확인합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

행렬 M과 선 계수의 확장 행렬 M’은 다음과 같습니다.

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

두 행렬을 모두 구성한 후에는 각 행렬의 범위를 계산해야 합니다.

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

두 행렬의 순위는 동일하며 더욱이 가치가 2입니다. 따라서 두 선은 혼동됩니다.