이항 입방체

여기서는 (a+b) ³ 또는 (ab) ³ 중 하나인 이항 입방체(공식)의 주목할만한 곱의 분해능에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한 이항식부터 큐브까지 단계별로 풀어낸 예제와 연습문제도 보실 수 있습니다.

입방체 이항식이란 무엇입니까?

세제곱 이항식은 두 항의 3승으로 구성된 다항식입니다. 결과적으로, 세제곱 이항식의 대수적 표현은 단항식을 더하거나 빼는지에 따라 (a+b) ³ 또는 (ab) ³ 이 될 수 있습니다.

또한, 큐브 이항식은 주목할 만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품) 중 하나입니다. 보다 정확하게는 정육면체(또는 입방체)의 주목할만한 정체성 중 하나에 해당합니다.

이항 입방체 공식

이항 세제곱의 정의에서 보았듯이 이러한 유형의 주목할만한 항등식은 덧셈 또는 뺄셈으로 구성될 수 있습니다. 따라서 양이항식인지 음이항식인지에 따라 공식이 조금씩 달라지므로 각 경우를 별도로 살펴보겠습니다.

합계의 큐브

합계를 세제곱하면 합계 세제곱 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

따라서 이항의 세제곱(덧셈)은 첫 번째의 세제곱에 첫 번째의 제곱 곱하기 두 번째의 삼중, 첫 번째의 세제곱 곱하기 두 번째의 제곱, 두 번째의 세제곱을 더한 것과 같습니다.

이항의 세제곱을 계산하는 또 다른 방법은 뉴턴의 이항(또는 이항 정리)입니다. 이 정리를 아는 것이 매우 유용하기 때문에 이 정리에 대한 설명과 함께 다음 링크를 남겨 둡니다. 왜냐하면 이 공식은 3차 이항식의 거듭제곱뿐만 아니라 더 높은 지수에도 적용되기 때문입니다. 따라서 이 링크를 클릭하면 뉴턴 이항식 문제를 풀고 연습할 수 있습니다.

차이의 큐브

반면, 합 대신에 세제곱에 대한 차이(또는 빼기)가 발생하면 세제곱에 대한 이항식의 공식은 짝수의 부호로 변경됩니다.

따라서 이항 세제곱(뺄셈)은 첫 번째 세제곱에서 두 번째 세제곱의 세 배를 뺀 값과 두 번째 세제곱의 첫 번째 세 배를 더한 후 두 번째 세제곱을 뺀 값과 같습니다.

따라서 합의 세제곱과 차이의 세제곱에 대한 공식이 다른 유일한 방법은 두 번째와 네 번째 항의 부호에 있습니다. 왜냐하면 합의 이항식에서는 모든 것이 양수이고 반대로 뺄셈의 이항식은 모두 음수입니다.

우리는 합 이항식과 차이항식이 무엇인지 살펴보았습니다. 글쎄요, 두 이항식의 차이에 의한 합 도 놀라운 동일성이며 실제로 상위 3(가장 중요한)의 일부라는 것을 알아야 합니다. 합계와 차이의 공식이 무엇인지, 링크된 페이지에서 어떻게 적용되는지 확인할 수 있습니다.

세제곱 이항식의 예

이제 합의 세제곱 공식과 차이의 세제곱 공식을 알았으니, 각 유형의 이항 세제곱을 푸는 예를 보면서 개념 이해를 마무리하겠습니다.

합계 큐브의 예

공식을 적용하여 다음 큐브의 이항식을 풉니다.

$(x+2)^3$

이 문제에는 두 항이 양수인 이항식이 있습니다. 따라서 세제곱합에 대한 공식을 적용해야 합니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

이제 매개변수의 값을 찾아야 합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우,

$a$

변수에 해당

$x$

그리고

$b$

2 번입니다.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

따라서 우리는 다음의 값을 대입하여 이항식 세제곱을 계산합니다.

$a$

그리고

$b$

공식에서:

차이 큐브의 예

해당 공식을 사용하여 다음 세제곱 이항식(차이)을 계산합니다.

$(3x-2)^3$

이 연습에서는 양수 요소와 음수 요소가 있는 쌍을 갖습니다. 따라서 세제곱 차이에 대한 공식을 사용해야 합니다.

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

따라서 미지의 값을 식별하는 것이 필요합니다.

$a$

그리고

$b$

공식의. 이 경우,

$a$

단항식 3x를 나타내고

$b$

는 이항식의 독립항, 즉 2입니다.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

매개변수는

$b$

숫자의 음수 부호 없이 단순히 2와 같습니다. 공식을 올바르게 적용하려면 이 점을 염두에 두는 것이 중요합니다.

마지막으로, 우리는 다음의 값을 넣어 이항 세제곱을 푼다.

$a$

그리고

$b$

공식에서:

이항 입방체 공식의 증명

다음으로, 세제곱 이항식의 공식을 보여드리겠습니다. 분명히 알 필요는 없지만 공식 뒤에 숨어 있는 대수학을 이해하는 것은 항상 좋습니다.

양의 세제곱 이항식에서:

$(a+b)^3$

위의 표현은 수학적으로 다음 요소의 곱으로 분해될 수 있습니다.

$(a+b)$

제곱으로:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

게다가 그 쌍은

$(a+b)$

2로 올리면 이는 놀라운 항등식이므로 합계의 제곱 공식을 사용하여 이를 풀 수 있습니다.

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

이제 분배 속성을 사용하여 두 괄호를 곱합니다.

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

마지막으로 유사해 보이는 용어를 그룹화하면 됩니다.

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

검증할 세제곱 이항식의 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

논리적으로 음이항 세제곱 공식을 추론하려면 방금 수행한 것과 동일한 단계를 따르되 용어부터 시작하세요.

$b$

간판이 바뀌었어요.

한편, 세제곱 이항식의 공식은 파스칼(또는 타르탈리아) 삼각형을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 이 수학적 트릭이 무엇인지 모르시는 경우를 대비하여 단계별로 설명하는 링크를 남겨드립니다. 게다가, 당신은 그것이 가지고 있는 모든 응용 프로그램과 이 매우 특별한 대수 삼각형의 특별한 역사를 볼 수 있을 것입니다.

이항 큐브 문제 해결

3의 거듭제곱에 대한 이항식 계산에서 방금 본 이론을 연습할 수 있도록 이항식의 세제곱에 대해 단계별로 해결하는 몇 가지 연습 문제를 준비했습니다.

따라서 이 설명에 대해 어떻게 생각하는지 알려주는 것을 잊지 마세요! 그리고 궁금한 점이 있으면 언제든지 문의하실 수 있습니다! 👍👍👍

연습 1

다음 세제곱 이항식을 찾으세요.

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

해결책 보기

문제의 주목할만한 정체성을 모두 찾으려면 덧셈인지 뺄셈인지에 따라 큐브에 이항 공식을 적용하기만 하면 됩니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

연습 2

해당 공식을 적용하여 두 수량의 세제곱에 대한 다음 이항식을 결정합니다.

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

해결책 보기

운동의 모든 주목할만한 결과를 계산하려면 합계 및 세제곱 빼기 공식을 사용해야 합니다.

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

마지막 세제곱 이항식의 단항식은 분수 계수를 가지므로 이를 해결하려면 분수의 속성을 사용해야 합니다.

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

입방체 이항식이란 무엇입니까?

이항 입방체 공식

합계의 큐브

차이의 큐브

세제곱 이항식의 예

합계 큐브의 예

차이 큐브의 예

이항 입방체 공식의 증명

이항 큐브 문제 해결

연습 1

연습 2

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