원주 방정식 -

이 페이지에서는 원주 방정식에 관한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 일반 방정식, 일반 방정식, 기타 유형의 원주 방정식, 원주 방정식이 올바른 경우… 또한 원주 방정식을 찾는 방법의 예도 볼 수 있습니다. 원주방정식을 풀어 연습문제를 풀어볼 수 있습니다.

원의 일반 방정식

원주 방정식이 무엇인지 알아보기 전에 원주의 개념을 떠올려 보겠습니다.

원주는 중심이라고 불리는 고정된 점으로부터 등거리에 있는 평면 위의 점들의 궤적입니다.

따라서 원 위의 모든 점은 중심으로부터의 거리가 같습니다.

또한 원은 타원, 포물선, 쌍곡선과 함께 4개의 원뿔 단면 중 하나입니다. 즉, 밑면과 평행한 평면으로 원뿔을 자르면 원을 얻을 수 있습니다.

데카르트 평면의 원을 설명하는 가장 간단한 방법은 일반 방정식을 이용하는 것입니다. 따라서 일반 원주 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

원의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

금:

$r$

원의 반지름입니다.
$a$

그리고

$b$

는 원 중심의 좌표입니다.

$C(a,b)$

조금 지루해서 보여주지는 않겠지만, 이 방정식은 피타고라스의 정리로부터 얻을 수 있습니다.

예를 들어 원의 일반 방정식이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

중심이 점인 반지름이 5인 원의 일반 방정식을 구합니다.
$C(3,-1).$

원의 일반 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

그러므로 우리는 미지의 것을 대체해야만 한다.

$r$

반경의 값과 미지의 값으로

$a$

그리고

$b$

원 중심의 각각 X와 Y 좌표로:

$(x-3)^2+(y-(-1))^2=5^2$

따라서 원의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{(x-3)^2+(y+1)^2=25}$

원의 일반 방정식

원주 방정식의 또 다른 유형은 일반 방정식으로, 실제로 가장 많이 사용됩니다. 그런 다음 일반 방정식에서 원주의 일반 방정식을 얻는 방법을 살펴보겠습니다.

원의 일반 방정식을 생각해 보세요.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

우리가 놀라운 동등성(또는 놀라운 제품)을 개발한다면:

$x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2$

$x^2-2ax+y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0$

이제 변수를 3가지 변경합니다.

$A=-2a \qquad B=-2b \qquad C=a^2+b^2-r^2$

그리고 마지막으로 원주의 일반 방정식을 얻습니다.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

따라서 원주 일반 방정식 의 공식은 다음과 같습니다.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

원의 중심은 다음과 같습니다.

$\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

그리고 원의 반지름은 다음과 같습니다.

$\displaystyle r=\sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C}$

따라서 이 원주 방정식은 항상 일반 방정식으로 구해집니다. 다음은 수행 방법을 보여주는 예입니다.

중심이 점인 반지름이 6인 원의 일반 방정식을 결정합니다.
$C(2,4).$

먼저 우리는 원의 일반 방정식을 찾아야 합니다. 이를 위해 우리는 그의 공식을 사용합니다:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$(x-2)^2+(y-4)^2=6^2$

이제 우리는 원주의 일반 방정식을 찾을 때까지, 즉 더 이상 단순화할 수 없을 때까지 작업합니다.

$x^2+2^2-2\cdot x \cdot 2+y^2+4^2-2\cdot y \cdot 4=36$

$x^2+4-4x+y^2+16-8y=36$

$x^2-4x+y^2-8y+4+16-36=0$

$x^2-4x+y^2-8y-16=0$

따라서 원의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{x^2+y^2-4x-8y-16=0}$

문제에서는 이를 필요로 하지 않았지만 이제 찾은 방정식의 중심과 반경을 계산하여 그것이 올바른지 확인할 수 있습니다.

원의 중심을 결정하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

$\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

$\displaystyle C\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{-8}{2}\right)$

$\displaystyle C\bigl(-(-2), -(-4)\bigr)$

$\displaystyle C\left(2,4\right)$

실제로 원의 중심은 진술의 중심과 일치합니다.

또한 공식을 사용하여 원주 반경을 확인합니다.

$\displaystyle \begin{aligned} r & = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C} \\[2ex] & =\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 +\left(\frac{-8}{2}\right)^2-(-16)} \\[2ex] & =\sqrt{\left(-2\right)^2 +\left(-4\right)^2+16} \\[2ex] &= \sqrt{4+16+16} \\[2ex] &= \sqrt{36} \\[2ex] & = 6 \end{aligned}$

그리고 반경도 진술의 반경과 같습니다. 따라서 계산된 원주 방정식이 정확합니다.

둘레의 존재

모든 방정식은 다음과 같습니다.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

원에 해당합니다. 따라서 이러한 유형의 표현이 진정한 원의 방정식이 되려면 다음 3가지 조건을 충족해야 합니다.

계수
$x^2$

그리고

$y^2$

그들은 1과 같아야 합니다. 두 변수 앞에 1이 아닌 다른 숫자가 있지만 둘 다 같은 숫자인 경우 전체 방정식을 해당 숫자로 나누어 계수가 1이 될 수 있다는 점을 명심하십시오.
방정식에는 항이 있을 수 없습니다.
$xy.$
다음 표현식은 양수여야 합니다.

지금까지 살펴본 두 개의 원 방정식, 즉 일반 방정식과 일반 방정식은 평면(R2)에서 원을 수학적으로 표현하는 데 가장 많이 사용됩니다. 그러나 이 기하학적 객체를 설명하는 방정식에는 여러 유형이 있으며, 아래에서는 각각에 대한 설명을 제공합니다.

원의 정식 방정식

원의 표준 방정식 또는 축소 방정식 은 중심이 좌표의 원점, 즉 점(0,0)에 있는 원을 설명하는 데 사용됩니다. 해당 방정식은 다음과 같습니다.

$x^2+y^2=r^2$

또한 반지름이 단위 (1)과 동일하다면 원주 방정식은 다음과 같습니다.

$x^2+y^2=1$

이 마지막 방정식은 단위 원주 또는 단위 원이라고도 하는 각도 측정 원주에 해당합니다. 좌표의 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 원입니다.

두 동심원의 방정식

두 개의 동심방정식은 중심이 같은 점에 있는 방정식입니다. 그리고 두 개의 동심원이 갖는 유일한 차이점은 반지름입니다.

따라서 이 조건이 충족되려면 두 동심원의 방정식은 서로 달라야 하는 독립 항을 제외하고는 완전히 동일합니다.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$x^2+y^2+Ax+By+C'=0$

예를 들어, 다음 두 원은 독립 항을 제외하고 모든 계수가 동일하므로 동심원입니다.

$x^2+y^2+3x-4y+1=0$

$x^2+y^2+3x-4y+5=0$

원의 매개변수 방정식

선과 마찬가지로 원의 방정식도 사인과 코사인의 삼각 함수를 사용하여 매개변수화할 수 있습니다. 따라서 원의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.

$\diplaystyle \begin{cases}x= a + r \cdot \text{cos}(t) \\[2ex] y= b + r\cdot \text{sen}(t)\end{cases} \qquad t\in[0,2\pi)$

요점은 어디인가

$(a,b)$

원의 중심이고

$r$

이것은 당신의 부서입니다.

원 방정식의 문제를 해결했습니다.

연습 1

중심이 점에 있는 반지름이 5인 원의 일반 방정식을 계산합니다.

$C(-1,2).$

해결책 보기

원의 일반 방정식을 찾으려면 먼저 일반 방정식을 찾아야 합니다. 이를 위해 원의 일반 방정식에 대한 공식을 사용합니다.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$(x-(-1))^2+(y-2)^2=5^2$

$(x+1)^2+(y-2)^2=25$

일반 방정식을 알고 나면 원의 일반 방정식을 찾을 때까지 작업합니다.

$x^2+1^2+2\cdot x \cdot 1+y^2+2^2-2\cdot y \cdot 2=25$

$x^2+1+2x+y^2+4-4y=25$

$x^2+2x+y^2-4y+1+4-25=0$

$x^2+2x+y^2-4y-20=0$

따라서 원의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{x^2+y^2+2x-4y-20=0}$

연습 2

다음 각 원에 대해 중심 좌표와 반지름의 길이를 구하세요.

$\text{A)}\ (x-2)^2+(y+5)^2=36$

$\text{B)}\ x^2+y^2+8x-10y+1 = 0$

$\text{C)}\ x^2+y^2=4$

해결책 보기

둘레 A)

$(x-2)^2+(y+5)^2=36$

원주는 일반 방정식의 형태로 표현되며 그 공식은 다음과 같습니다.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

따라서 원의 중심 좌표는 다음과 같습니다.

$C(a,b)$

$\bm{C(2,-5)}$

반경은 다음과 같습니다.

$r^2=36$

$\bm{r=6}$

둘레 B)

$x^2+y^2+8x-10y+1 = 0$

이 원주는 일반 방정식의 형태로 표현되므로 중심 좌표를 계산하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

$\displaystyle C\left(-\frac{8}{2}, -\frac{-10}{2}\right)$

$\displaystyle C\bigl(-4, -(-5)\bigr)$

$\displaystyle \bm{C(-4, 5)}$

반면에 원의 반지름을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{aligned} r & = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C} \\[2ex] & =\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 +\left(\frac{-10}{2}\right)^2-1} \\[2ex] & =\sqrt{\left(4\right)^2 +\left(-5\right)^2-1} \\[2ex] &= \sqrt{16+25-1} \\[2ex] &= \bm{\sqrt{40}} \end{aligned}$

둘레 C)

$x^2+y^2=4$

원주는 일반 방정식의 형태로 표현되며 그 공식은 다음과 같습니다.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

따라서 원의 중심 좌표는 다음과 같습니다.

$C(a,b)$

이 경우 방정식에는 항이 없습니다.

$a$

어느 것도 아니다

$b,$

따라서 좌표의 원점을 중심으로 합니다.

$\bm{C(0,0)}$

반경은 다음과 같습니다.

$r^2=4$

$\bm{r=2}$

연습 3

다음 방정식 중 원의 방정식은 무엇입니까?

$\text{A)}\ x^2+y^2+4x-6y-1=0$

$\text{B)}\ x^2+y^2+5x+5y+2xy-4 = 0$

$\text{C)}\ 2x^2+2y^2-8x+4y+2=0$

$\text{D)}\ x^2+y^2+x+2y+6=0$

해결책 보기

식이 원의 방정식이 되려면 다음 조건이 충족되어야 합니다.

1. 계수

$x^2$

그리고

$y^2$

1과 같아야 합니다.
2. 방정식에는 항이 있을 수 없습니다.

$xy.$

삼.

방정식 A)

$x^2+y^2+4x-6y-1=0$

계수

$x^2$

그리고

$y^2$

은 1이고 방정식에는 항이 없습니다.

$xy.$

따라서 세 번째 조건을 확인하는 것으로 충분합니다.

$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”216″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”146″ style=”vertical-align: -5px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”103″ style=”vertical-align: -2px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”49″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ 방정식은 3가지 조건을 만족하므로 원의 방정식이 됩니다.

방정식 B)

$x^2+y^2+5x+5y+2xy-4 = 0$

방정식에는 다음과 같은 항이 있습니다.

$xy,$

방정식이 원에 해당하지 않는 경우.

방정식 C)

$2x^2+2y^2-8x+4y+2=0$

계수

$x^2$

그리고

$y^2$

는 1이 아니지만 모든 항을 나누어 방정식을 변환할 수 있습니다.

$x^2+y^2-4x+2y+1=0$

이런 식으로 이제 계수는

$x^2$

그리고

$y^2$

예, 그들은 1이고 게다가 방정식에는 항이 없습니다

$xy.$

따라서 우리는 세 번째 조건만 확증하면 됩니다.

$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”189″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”158″ style=”vertical-align: -5px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”103″ style=”vertical-align: -2px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”42″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ 방정식은 3가지 조건을 만족하므로 원의 방정식이 됩니다.

방정식 D)

$x^2+y^2+x+2y+6=0$

계수

$x^2$

그리고

$y^2$

은 1이고 방정식에는 항이 없습니다.

$xy.$

따라서 세 번째 조건을 확인하는 것으로 충분합니다.

$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”175″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”128″ style=”vertical-align: -4px;”> } \ 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”82″ style=”vertical-align: -4px;”> <p class=$ 방정식은 마지막 조건을 만족하지 않으므로 원의 방정식이 아닙니다 .

연습 4

다음 세 점을 통과하는 원의 방정식을 결정합니다.

$A(0,0) \quad B(3,0) \quad C(2,-2)$

해결책 보기

모든 원의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

따라서 매개변수를 찾기 위해서는 점의 좌표를 원 방정식에 대입해야 합니다.

$A,$

$B$

그리고

$C.$

첫 번째 점으로 우리는 계수를 찾습니다.

$C:$

$A(0,0) \ \longrightarrow \ 0^2+0^2+A\cdot 0 +B\cdot 0+C=0 \ \longrightarrow \ \bm{C = 0}$

두 번째 점을 사용하여 계수를 찾습니다.

$A:$

$\begin{aligned}A(3,0) \ \longrightarrow \ & 3^2+0^2+A\cdot 3 +B\cdot 0+C=0 \\[2ex] & 9+A\cdot 3 =0\\[2ex]& \bm{A=-3} & \end{aligned}$

그리고 세 번째 점에서 우리는 계수를 찾습니다.

$B:$

$\begin{aligned} A(2,-2) \ \longrightarrow \ & 2^2+(-2)^2+A\cdot 2 +B\cdot (-2)+C=0 \\[2ex] & 4+4+(-3)\cdot 2+ B\cdot (-2)+0=0 \\[2ex] & 8-6-2B=0 \\[2ex] & \bm{B=1} \end{aligned}$