완전제곱삼항식

9월 17, 2023

이 페이지에서는 완전제곱 삼항식이 무엇인지, 그리고 그것이 어떻게 설명되는지 설명합니다. 또한, 단계별 완전제곱 삼항식 연습을 통해 여러 예와 연습을 볼 수 있습니다.

완전제곱삼항식은 무엇인가요?

분명히 완전제곱삼항식의 의미를 보기 전에 삼항식이 무엇인지 알아야 하므로 계속하기 전에 이 링크된 페이지(자세히 설명되어 있음)를 살펴보는 것이 좋습니다.

따라서 완전제곱삼항식의 정의는 다음과 같습니다.

수학에서 TCP 라고도 알려진 완전제곱 삼항식은 이항식을 제곱하여 얻은 삼항식입니다.

따라서 완전제곱식 삼항식은 두 개의 완전제곱식과 이들 제곱수의 이중곱인 또 다른 항으로 구성됩니다.

완전제곱 삼항식

위의 두 공식에서 볼 수 있듯이 완전제곱 삼항식은 두 가지 주목할만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품)에서 얻어지기 때문에 이것이 매우 중요합니다. 특히, 덧셈의 제곱 이나뺄셈의 제곱을 풀 때 완전제곱 삼항식을 구합니다.

완전제곱 삼항식 예제

완전제곱삼항식의 개념 이해를 마무리하기 위해 2가지 예를 단계별로 설명하겠습니다.

실시예 1

$x^2+6x+9$

이 예는 대수적 표현에 두 개의 완전제곱수가 있기 때문에(즉, 정확한 제곱근을 가짐) 완전제곱삼항식입니다.

$x^2$

9는 다음과 같습니다.

$x$

3은 각각 2의 거듭제곱으로 증가됩니다.

$(x)^2 = x^2$

$(3)^2 = 9$

그리고 더 나아가, 삼항식의 마지막 남은 항

$(6x)$

이전 두 정사각형의 밑변에 2를 곱하여 얻습니다.

$2\cdot x \cdot 3 = 6x$

따라서 이 연습에서 주목할만한 모든 정체성은 다음과 같습니다.

$(x+3)^2 =x^2+6x+9$

실시예 2

$16x^2-40x+25$

이 다른 예 역시 3가지 필수 조건이 충족되므로 완전제곱 삼항식입니다. 두 항은 두 개의 완전제곱수에 해당하고, 다른 항은 이 제곱들의 밑수를 서로 곱하고 2를 곱한 결과입니다.

$(4x)^2 = 16x^2$

$(5)^2 = 25$

$2\cdot 4x \cdot 5 =40x$

이 경우 완전 제곱 삼항식은 음의 단항식을 가지므로 이는 제곱 차이의 주목할만한 동일성의 발전에 해당합니다.

$(4x-5)^2 = 16x^2-40x+25$

완전제곱 삼항식을 인수분해하는 방법

대수학에서 매우 일반적인 문제는 완전제곱삼항식(PCT)을 인수분해하는 것입니다. 이것이 무엇을 의미하는지 모르는 경우, 다항식을 인수분해한다는 것은 해당 표현식을 인수의 곱으로 변환하는 것을 의미합니다.

따라서 이러한 유형의 대수 삼항식을 인수분해하려면 다음 규칙을 준수해야 합니다.

삼항식은 두 개의 완전제곱수를 가져야 하며, 이를 우리는 다음과 같이 부를 것입니다.
$a^2$

그리고

$b^2.$
삼항식의 나머지 세 번째 항은 두 완전제곱수의 두 곱과 같아야 하며, 이는 수학적으로 다음 표현식에 해당합니다.
$2\cdot a \cdot b.$
인수분해된 삼항식은 다음과 같습니다.
$(a+b)^2$

완전제곱 삼항식의 모든 항이 양수인 경우, 그렇지 않고 제곱 밑수의 이중 곱이 음수 부호를 갖는 경우 인수분해된 삼항식은 다음과 같습니다.

$(a-b)^2.$

절차 이해를 마치기 위해 단계별로 연습을 해결하겠습니다.

다음 완전제곱 삼항식을 인수분해합니다.

$x^2-12x+36$

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 삼항식에 완전제곱수인 두 개의 요소가 있는지, 즉 삼항식의 제곱근이 소수를 나타내지 않는지 확인하는 것입니다. 이 문제에서는

$x^2$

변수의 제곱이다

$x$

36은 6의 제곱입니다.

$\sqrt{x^2} = x$

$\sqrt{36} = 6$

따라서 삼항식에는 두 개의 완전제곱수가 있습니다.

둘째, 중간 항이 이전 단계에서 계산된 두 근의 이중 곱과 동일한지 확인해야 합니다.

$2 \cdot x \cdot 6 = 12x$

이 규칙도 존중됩니다.

그러면 모든 조건이 충족됩니다. 따라서, 인수분해된 완전제곱 삼항식은 발견된 두 근에 의해 형성된 이항식입니다(

$x$

그리고 숫자 6)을 제곱하면 다음과 같습니다.

$x^2-12x+36=(x-6)^2$

중간항은 음수이므로 괄호 안에 마이너스 기호도 넣어야 합니다. 반면에 양수이면 합계를 추가해야 합니다.

$x^2+12x+36=(x+6)^2$

논리적으로 인수분해는 복잡한 절차이므로 아래 연습을 수행하는 것 외에도 다항식 인수분해의 예를 살펴보는 것이 좋습니다. 이 링크에서는 삼항식뿐만 아니라 모든 유형의 다항식도 빠르게 인수분해하는 데 사용되는 방법을 설명합니다.

완전제곱 삼항식의 문제 해결

해당 공식을 적용하여 다음 삼항식을 정사각형 이항식으로 변환합니다.

$\text{A)} \ x^2+8x+16$

$\text{B)} \ x^2-14x+49$

$\text{C)} \ x^4-20x^2+100$

$\text{D)} \ 81x^2+90x+25$

$\text{E)} \ 64x^4-176x+121$

솔루션 보기

완전 제곱 삼항식을 제곱 이항식의 거듭제곱으로 변환하려면 다음과 같은 합의 제곱과 차이의 제곱의 중요한 항등식을 사용해야 합니다.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

아직:

$\text{A)} \ x^2+8x+16 = (x+4)^2$

$\text{B)} \ x^2-14x+49 = (x-7)^2$

$\text{C)} \ x^4-20x^2+100 = (x^2-10)^2$

$\text{D)} \ 81x^2+90x+25 = (9x+5)^2$

$\text{E)} \ 64x^4-176x+121 =\left( 8x^2-11)^2$

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