가우스 방법을 사용한 방정식 시스템에 대한 토론 -

이 섹션에서는 Gauss-Jordan 방법을 사용하여 방정식 시스템을 논의하고 해결하는 방법을 살펴보겠습니다. 즉, DCS(확정 호환 시스템)인지 ICS(불확정 호환 시스템) 또는 비호환 시스템인지 확인합니다. 또한, 개념을 완벽하게 익히고 동화할 수 있도록 예문과 풀이 연습 문제도 함께 제공합니다.

다음에 설명할 내용을 이해하려면 가우스 방법을 사용하여 시스템을 해결하는 방법을 이미 알고 있는 것이 중요하므로 계속하기 전에 먼저 살펴보는 것이 좋습니다.

Gauss 방법으로 결정된 호환 시스템

가우시안 행렬의 마지막 행이

$\bm{(0 \ 0 \ n \ | \ m)}$

, BE

$n$

그리고

$m$

두 숫자 중 하나는 SCD (시스템 호환 여부 결정)입니다. 따라서 시스템 에는 고유한 솔루션이 있습니다 .

대부분의 시스템은 SCD입니다.

예:

예를 들어 다음과 같은 시스템이 있습니다.

$\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}$

확장된 행렬은 다음과 같습니다.

$\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right)$

시스템을 풀려면 행렬의 행에 대해 연산을 수행하고 주 대각선 아래의 모든 요소를 0으로 변환해야 합니다. 따라서 두 번째 행에서 첫 번째 행을 빼고 세 번째 행에서 첫 번째 행에 2를 곱한 값을 뺍니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -2f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right)$

주 대각선 아래의 모든 숫자가 0이 되면 시스템을 방정식 형식으로 전달하기 위해 돌아갑니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 6y+2z=0\\[2ex] 1z=-3 \end{array} \right\}$

따라서 이 시스템은 SCD 입니다. 행렬이 이동되고 마지막 행이 다음 유형이기 때문입니다.

$(0 \ 0 \ n \ | \ m)$

. 따라서 우리는 언제나처럼 방정식에서 미지수를 아래에서 위로 제거하여 문제를 해결합니다.

$1z=-3$

$z = \cfrac{-3}{1}$

$\bm{z=-3}$

이제 z를 알았으므로 해당 값을 두 번째 방정식에 연결하여 값을 찾습니다.

$y$

$6y+2z=0\ \xrightarrow{z \ = \ -3} \ 6y+2(-3)=0$

$6y-6=0$

$6y=6$

$y=\cfrac{6}{6}$

$\bm{y=1}$

마지막으로 첫 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다. 다른 미지수의 값을 대체하고 다음을 해결합니다.

$x$

$3x+2y-z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 1 \ ; \ z \ = \ -3} \ 3x+2(1)-(-3)=1$

$3x+2+3=1$

$3x=1-2-3$

$3x=-4$

$x=\cfrac{-4}{3}$

$\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}}$

따라서 연립방정식의 해는 다음과 같습니다.

$\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=1} \qquad \bm{z=-3}$

가우스 방법에 따른 호환되지 않는 시스템

가우스 행렬에는 세 개의 0이 연속으로 있고 숫자 하나가 있는 행이 있습니다.

$\bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ n)}$

, IS (호환되지 않는 시스템)이므로 시스템 에 해결책이 없습니다 .

예:

예를 들어, 시스템의 가우스 행렬로 작업한 후 다음과 같은 결과가 남는다고 상상해 보십시오.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

마지막 줄이 그렇듯

$(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2)$

즉, 세 개의 0과 끝에 숫자가 오는 것은 IF (호환되지 않는 시스템)이므로 시스템에 해결책이 없습니다 .

꼭 알 필요는 없지만 왜 해결책이 없는지 아래에서 확인하실 수 있습니다.

마지막 줄을 취하면 다음 방정식이 됩니다.

$(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2) \ \longrightarrow \ 0z = 2$

이 방정식은 절대 충족되지 않습니다. 왜냐하면 z 의 값이 무엇이든 여기에 0을 곱하면 결코 2가 되지 않기 때문입니다(0을 곱하는 모든 숫자는 항상 0이 됩니다). 그리고 이 방정식은 결코 충족되지 않으므로 시스템에는 해결책이 없습니다.

가우스 방법으로 결정되지 않은 호환 시스템

가우시안 행렬의 행이 0으로 채워질 때마다

$\bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ 0)}$

, SCI (Indeterminate Compatible System)이므로 시스템 에는 무한한 솔루션이 있습니다 .

ICS를 해결하는 방법의 예를 살펴보겠습니다.

예:

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\}$

항상 그렇듯이 먼저 시스템의 확장된 매트릭스를 만듭니다.

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)$

이제 주 대각선 아래의 모든 숫자가 0이 되기를 원합니다. 따라서 두 번째 행에 첫 번째 행에 -2를 곱한 값을 추가합니다.

$\begin{array}{lrrr|r} &2 & 3 & -1 & -2 \\ + & -2 & -2 & -4 & -12 \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -2f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -2f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)$

3을 0으로 변환하려면 세 번째 줄에 -3을 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.

$\begin{array}{lrrr|r} & 3 & 4 & 1 & 4 \\ + & -3 & -3 & -6 & -18 \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -3f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -3f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)$

마지막 줄의 1을 0으로 변환하려면 세 번째 줄에 -1을 곱한 두 번째 줄을 추가합니다.

$\begin{array}{lrrr|r} & 0 & 1 & -5 & -14 \\ + & 0 & -1 & 5 & 14 \\ \hline & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -1f_2} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

마지막 줄은 모두 0 이므로 제거할 수 있습니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)$

그리고 전체 행이 0으로 채워졌으므로 이것은 SCI입니다.

따라서 우리는 다음과 같은 시스템을 갖게 됩니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] y-5z=-14 \end{array} \right\}$

시스템이 SCI인 경우 알려지지 않은 매개변수 값을 가져와야 합니다.

$\lambda$

. 그리고 우리는 이 매개변수를 기반으로 시스템을 풀어야 합니다.

$\bm{\lambda}$

그러므로 우리는

$\lambda$

z 로 :

$z = \lambda$

값을 취하기 위해 다른 미지수를 선택할 수도 있지만

$\lambda$

이제 두 번째 방정식에서 y를 분리하고 이를 다음의 함수로 둡니다.

$\lambda$

$y-5z=-14 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ y-5(\lambda )= -14$

$y-5\lambda=-14$

$y =-14+ 5\lambda$

그리고 마지막으로 첫 번째 방정식에서 x를 삭제하고 이를 다음의 함수로 남겨둡니다.

$\lambda$

$x+y+2z=6 \ \xrightarrow{ y \ = \ -14 + 5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda } \ x+ (-14+ 5\lambda )+2(\lambda ) = 6$

$x-14 +5\lambda +2\lambda = 6$

$x=14- 5\lambda -2\lambda + 6$

$x=20- 7\lambda$

따라서 시스템 솔루션은 다음과 같습니다.

$\bm{z = \lambda} \qquad \bm{y =-14+ 5\lambda } \qquad \bm{x=20 - 7\lambda}$

보시다시피, 시스템이 SCI인 경우 매개변수에 따라 솔루션을 남겨둡니다.

$\lambda$

. 그리고 그것이 취하는 가치에 따라 무한한 해결책이 있다는 것을 기억하십시오.

$\lambda$

, 해결책은 둘 중 하나입니다.

연습문제를 풀기 전에 이 기사에서는 Gauss의 방법을 사용하지만 선형 방정식 시스템을 논의하고 해결하는 또 다른 방법은 Rouche의 정리 라는 것을 알아야 합니다. 실제로는 더 많이 사용되는 것 같습니다.

Gauss-Jordan 방법을 사용하여 방정식 시스템을 논의하기 위한 연습 문제 해결

연습 1

어떤 유형의 시스템이 관련되어 있는지 확인하고 가우스 방법을 사용하여 다음 방정식 시스템을 풉니다.

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\}$

해결책 보기

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 시스템의 확장된 매트릭스입니다.

$\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex] 3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right)$

이제 기본 배열 아래의 모든 숫자를 0으로 만들어야 합니다.

따라서 첫 번째 열의 마지막 두 항을 취소하기 위해 행 연산을 수행합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex]3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 3f_1}& \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & -4 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & -9 \end{array} \right)$

우리는 3개의 0과 숫자로 구성된 행렬의 행을 얻었습니다. 따라서 이는 IS (호환되지 않는 시스템)이며 시스템 에는 솔루션이 없습니다.

연습 2

어떤 유형의 시스템인지 확인하고 가우스 방법을 사용하여 다음 방정식 시스템의 해를 구합니다.

$\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\}$

해결책 보기

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 시스템의 확장된 매트릭스입니다.

$\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right)$

이제 기본 배열 아래의 모든 숫자를 0으로 만들어야 합니다.

따라서 첫 번째 열의 마지막 두 항을 취소하기 위해 행 연산을 수행합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)$

이제 두 번째 열에서 마지막 요소를 제거해 보겠습니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

하지만 우리는 전체 행에 0을 얻습니다. 이것은 SCI 이고 시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

하지만 ICS이기 때문에 다음을 기반으로 시스템을 해결할 수 있습니다.

$\lambda$

. 따라서 0 줄을 삭제합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)$

이제 미지수를 갖는 방정식 시스템의 형태로 행렬을 표현합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-2y+3z=1 \\[2ex] 1y+5z=7 \end{array} \right\}$

우리는 다음과 같은 가치를 부여합니다.

$\lambda$

을 위한

$z :$

$\bm{z = \lambda}$

우리는

$z$

두 번째 방정식에서 값을 구합니다.

$y :$

$1y+5z=7 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ 1y+5(\lambda )=7$

$y+5\lambda =7$

$\bm{y=7-5\lambda}$

그리고 첫 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다. 다른 미지수의 값을 대체하고 지웁니다.

$x :$

$1x-2y+3z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 7-5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda} \ 1x-2(7-5\lambda )+3(\lambda )=1$

$x-14+10\lambda+3\lambda=1$

$x=1+14-10\lambda-3\lambda$

$\bm{x=15-13\lambda}$

따라서 연립방정식의 해는 다음과 같습니다.

$\bm{x=15-13\lambda} \qquad \bm{y=7-5\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}$

연습 3

어떤 유형의 시스템인지 알아보고 가우스 방법으로 다음 방정식 시스템을 풀어보세요.

$\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6 \end{array} \right\}$

해결책 보기

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 시스템의 확장된 매트릭스입니다.

$\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6\end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)$

가우스 방법을 적용하려면 첫 번째 줄의 첫 번째 숫자가 1이면 더 간단합니다. 따라서 줄 1과 2의 순서를 변경합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 \rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 \rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)$

이제 기본 배열 아래의 모든 숫자를 0으로 만들어야 합니다.

따라서 첫 번째 열의 마지막 두 항을 취소하기 위해 행 연산을 수행합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 4f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right)$

이제 두 번째 열의 마지막 요소를 0으로 변환합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{8f_3 + f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right)$

이 시스템은 SCD 입니다. 왜냐하면 우리는 행렬을 이동시켰고 마지막 행은 다음과 같은 유형이기 때문입니다.

$(0 \ 0 \ n \ | \ m)$

. 따라서 독특한 솔루션을 갖게 될 것입니다.

주대각선 아래의 모든 숫자가 0이 되면 이제 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. 이를 위해 우리는 미지수를 갖는 방정식 시스템의 형태로 행렬을 다시 표현합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+3y+1z=2 \\[2ex] -16y-3z=-12 \\[2ex] 5z=20 \end{array} \right\}$

그리고 방정식의 미지수를 아래에서 위로 해결합니다. 먼저 마지막 방정식을 푼다.

$5z=20$

$\bm{z}=\cfrac{20}{5} = \bm{4}$

이제 z 값을 두 번째 방정식에 대입하여 y 값을 찾습니다.

$-16y-3z=-12 \ \xrightarrow{z \ = \ 4} \ -16y-3(4)=-12$

$-16y-12=-12$

$-16y=-12+12$

$-16y=0$

$\bm{y}=\cfrac{0}{-16}= \bm{0}$

그리고 우리는 첫 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다. 다른 미지수의 값을 대체하고 x를 해결합니다.

$x+3y+1z=2 \ \xrightarrow{y \ = \ 0 \ ; \ z \ = \ 4} \ x+3(0)+1(4)=2$

$x+0+4=2$

$x=2-4$

$\bm{x=-2}$

따라서 연립방정식의 해는 다음과 같습니다.

$\bm{x=-2} \qquad \bm{y=0} \qquad \bm{z=4}$

연습 4

어떤 유형의 시스템인지 확인하고 가우스 방법으로 다음 방정식 시스템을 푼다.

$\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\}$

해결책 보기

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 시스템의 확장된 매트릭스입니다.

$\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\} \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right)$

이제 기본 배열 아래의 모든 숫자를 0으로 만들어야 합니다.

따라서 첫 번째 열의 마지막 두 항을 취소하기 위해 행 연산을 수행합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 3f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + 2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right)$

이제 두 번째 열에서 마지막 요소를 제거해 보겠습니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

하지만 우리는 전체 행에 0을 얻습니다. 이것은 SCI 이고 시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

하지만 ICS이기 때문에 다음을 기반으로 시스템을 해결할 수 있습니다.

$\lambda$

. 따라서 0 줄을 삭제합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right)$

이제 미지수를 갖는 방정식 시스템의 형태로 행렬을 표현합니다.

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-1y+4z=2 \\[2ex] -6y+15z=13 \end{array} \right\}$