역비례 함수

이 페이지에서는 역비례 함수가 무엇인지, 그리고 이를 그래프로 표시하는 방법을 설명합니다. 또한 이러한 유형의 함수의 모든 특성, 해당 도메인을 계산하는 방법, 그리고 연습을 위해 단계별로 해결되는 몇 가지 예와 연습을 찾을 수 있습니다.

역비례함수란 무엇입니까?

역비례 함수는 두 개의 반비례 수량, 즉 한 수량은 증가하면 다른 수량은 감소하고 그 반대의 경우도 관련되는 함수입니다. 일반적으로 역비례 함수는 다음 공식으로 정의됩니다.

$y=\cfrac{k}{x}$

금

$k$

비례비라고 불리는 상수이다.

따라서 역비례 함수는 항상 분모에 1차 다항식이 있는 분수로 구성됩니다. 그러므로 그것들은 일종의 유리함수이다.

역비례 함수의 예:

$y=\cfrac{5}{x} \qquad y=\cfrac{-4}{x}\qquad y=\cfrac{2}{x+1}$

일반적으로

$x$

는 일반적으로 독립변수이고

$y$

종속변수, 즉 변수

$y$

의지하다

$x.$

반면, 비례 비율(분자 항)은 양수 또는 음수일 수 있으며 그 부호는 함수의 증가 또는 감소를 나타냅니다.

만약 상수
$k$

음수이면 기능이 증가합니다.
대신, 상수라면
$k$

양수이면 기능이 감소합니다.

보시다시피, 역비례 함수의 그래프는 항상 k 의 부호에 따라 한 사분면 또는 다른 사분면에 있는 두 개의 쌍곡선으로 구성됩니다 .

역비례함수의 영역

유리함수의 일종 인 반비례함수의 정의역은 분모에서 사라지는 실수를 제외한 모든 실수이다 . 왜냐하면 분모는 무한대가 되기 때문에 0이 될 수 없기 때문입니다.

예를 들어, 다음 역비례 함수의 영역을 결정합니다.

$y= \cfrac{4}{x-1}$

분모가 0인 때를 알기 위해서는 분모의 표현식을 0으로 동일화하고 방정식을 풀어야 합니다.

$x-1=0$

$x=1$

따라서 x가 1의 값을 취하면 분모는 0이 되고 불확정성을 얻게 됩니다. 따라서 함수의 정의역은 모든 실수에서 빼기입니다.

$x=1.$

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{ 1 \}$

역비례함수를 그래프로 표현하는 방법

예제를 사용하여 역비례함수를 그래프로 표시하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 함수를 그래프로 표현하겠습니다.

$y=\cfrac{3}{x-2}$

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의역을 찾는 것입니다. 분수이기 때문에 분모는 0이 될 수 없습니다. 왜냐하면 분모는 무한대가 되기 때문입니다. 따라서 정의역은 분모가 취소된 경우를 제외하고는 모두 x가 됩니다.

따라서 도메인에 속하지 않는 x를 확인하기 위해 분모를 0으로 설정합니다.

$x-2=0$

$x=2$

따라서 함수의 정의역은 2를 제외한 모든 숫자입니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{2\}$

도메인에 속하지 않는 번호를 알고 나면 값 테이블을 만듭니다. 역비례 함수를 나타내려면 영역 (2)에 속하지 않는 숫자의 왼쪽으로 3~4개 점과 오른쪽으로 3~4개 점을 계산해야 합니다.

$y=\cfrac{3}{x-2}$

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 3 & 3 \\ 4 & 1,5 \\ 5 & 1 \\ 6 & 0,75 \\ 1 & -3 \\ 0 & -1,5 \\ -1 & -1 \\ -2 & -0,75\end{array}$

이제 그래프의 점을 표현해 보겠습니다 .

그리고 마지막으로 우리는 점들을 결합하여 역비례 함수의 두 쌍곡선을 형성합니다. 또한 쌍곡선의 가지를 늘려 계속해서 성장한다는 것을 나타냅니다.

함수는 대략적으로 나타납니다.

$x=2$

, 오른쪽과 왼쪽 모두에 있습니다. 하지만 결코 2에 도달하지 못하고, 매우 가까워지지만 결코 도달하지 않습니다. 그래서,

$x=2$

이는 수직 점근선 입니다. 왜냐하면

$x=2$

함수의 영역에 속하지 않으므로 해당 지점에는 함수가 존재하지 않습니다.

수평 X축에서도 동일한 현상이 발생합니다. 함수는 대략적으로

$y=0$

하지만 절대 만지지 마세요. 아직,

$y=0$

는 수평 점근선 입니다.

이는 모든 역비례 함수가 항상 점근선을 갖기 때문에 불연속적이라는 것을 의미합니다.

당사 웹사이트에서 점근선과 함수의 한계에 대해 자세히 알아볼 수 있습니다.

역비례 함수의 문제 해결

연습 1

다음 역비례 함수의 영역을 계산합니다.

$y=\cfrac{1}{3x+6}$

해결책 보기

역비례 함수는 분모가 0일 때 존재하지 않습니다. 그 이유는 함수가 0을 산출하기 때문입니다. 따라서 x가 분모를 취소하고 정의역에 속하지 않는다는 것을 확인하려면 함수의 분모를 0으로 설정해야 합니다.

$3x+6 = 0$

$3x = -6$

$x=\cfrac{-6}{3} = -2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

연습 2

다음 역비례 함수를 그래프로 나타내십시오.

$y=\cfrac{3}{x}$

해결책 보기

가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의역을 계산하는 것입니다.

$x =0$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{ 0 \}$

어떤 숫자가 도메인에 속하지 않는지 알고 나면 다음 함수를 사용하여 값 배열을 만듭니다.

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 1 & 3 \\ 2 & 1,5 \\ 3 & 1 \\ 4 & 0,75 \\ -1 & -3 \\ -2 & -1,5 \\ -3 & -1 \\ -4 & -0,75 \end{array}$

마지막으로, 얻은 점을 그래프에 표현하고 쌍곡선을 그려서 역비례 함수를 형성합니다.

연습 3

다음 역비례 함수를 그래프로 나타내십시오.

$y= \cfrac{-1}{x-3}$

해결책 보기

가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의역을 계산하는 것입니다.

$x -3=0$

$x =3$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{ 3 \}$

함수의 영역을 알고 나면 값 테이블을 구성합니다.

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 3,5 & -2 \\ 4 & -1 \\ 5 & -0,5 \\ 6 & -0,33 \\ 2,5 & 2 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0,5 \\ 0 & 0,33\end{array}$

마지막으로, 얻은 점을 그래프에 나타내고 쌍곡선을 그려서 역비례 함수를 형성합니다.

연습 4

다음 역비례 함수를 그래프로 나타내십시오.

$y= \cfrac{4}{2x-4} +1$

해결책 보기

먼저 함수의 도메인을 계산해야 합니다.

$2x-4=0$

$2x =4$

$x =\cfrac{4}{2} =2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{ 2 \}$

함수의 영역을 알고 나면 값 배열을 만듭니다.

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 2,5 & 5 \\ 3 & 3 \\ 4 & 2 \\ 6 & 1,5 \\ 1,5 & -3 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ -2 & 0,5\end{array}$

그리고 마지막으로 그래프에서 얻은 점을 표현하고 쌍곡선을 그려 역비례 함수를 형성합니다.

연습 5

다음 유리함수를 그래프로 그려보세요:

$y=\cfrac{2x+3}{2x+6}$

해결책 보기

가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의역을 계산하는 것입니다.

$2x+6=0$

$2x =-6$

$x =\cfrac{-6}{2} =-3$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{ -3 \}$

함수의 영역을 알고 나면 값 테이블을 구성합니다.

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -2,5 & -2 \\ -2 & -0,5 \\ -1 & 0,25 \\ 1 & 0,63 \\ -3,5 & 4 \\ -4 & 2,5 \\ -5 & 1,75 \\ -7 & 1,38\end{array}$

마치려면 그래프에서 얻은 점을 간단히 표현하고 쌍곡선을 그리면 분수 함수가 형성됩니다.

역비례함수의 응용

역비례함수는 물리학과 수학에서 많은 경우에 나타난다.

예를 들어, 일정한 온도 k를 받는 이상기체의 압력과 부피 사이의 관계를 설명하는 데 사용됩니다. 이 함수를 보일-마리오트 법칙(P×V=k)이라고 하며 역비례 함수의 한 예입니다. 분명히 이 함수의 정의 영역은 음의 부피나 압력이 없기 때문에 양의 분기에만 제한됩니다.

일정한 전위차에 따른 전류 강도와 전기 저항 사이의 관계도 역비례 함수의 지배를 받습니다. 이 함수는 옴의 법칙(V=I×R)으로 알려져 있습니다.

역비례함수란 무엇입니까?

역비례함수의 영역

역비례함수를 그래프로 표현하는 방법

역비례 함수의 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

역비례함수의 응용

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