에르미트(또는 에르미트) 행렬

7월 6, 2023

이 페이지에서는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)이라고도 알려진 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)이 무엇인지 배울 수 있습니다. Hermitian 행렬의 예, 해당 행렬의 모든 속성 및 이러한 유형의 행렬이 갖는 형식을 찾아 완벽하게 이해할 수 있습니다. 마지막으로 복잡한 행렬을 에르미트 행렬과 반 에르미트 행렬의 합으로 분해하는 방법도 설명합니다.

에르미트 행렬(Hermitian Matrix) 또는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)이란 무엇입니까?

에르미트 행렬(Hermitian Matrix) 또는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)이라고도 불리는 것은 켤레 전치와 동일한 특성을 갖는 복소수를 갖는 정사각 행렬입니다.

$A=A^*$

금

$A^*$

는 다음의 켤레 전치 행렬입니다.

$A$

.

호기심에서 이러한 유형의 행렬은 수학, 특히 선형 대수학 분야에서 중요한 연구를 수행한 19세기 프랑스 수학자 Charles Hermite의 이름을 따서 명명되었습니다.

이 행렬에 이렇게 이름을 붙인 이유는 이들 특정 행렬의 고유값(또는 고유값)이 항상 실수임을 보여주기 위함인데 이에 대해서는 에르미트 행렬의 특성에서 더 자세히 설명하도록 하겠다.

마지막으로, 이 행렬은 매우 드물기는 하지만 때때로 자기 수반 행렬이라고도 합니다.

에르미트 행렬의 예

에르미트 행렬(또는 에르미트 행렬)의 정의를 확인한 후에는 다양한 차원의 에르미트 행렬의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

2×2 차 에르미트 행렬의 예

2x2 차원의 에르미트(Hermitian) 또는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)

차원 3 × 3의 에르미트 행렬의 예

3x3 차원의 에르미트(Hermitian) 또는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)

크기가 4×4인 에르미트 행렬의 예

4x4 차원의 에르미트(Hermitian) 또는 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)

이들 행렬은 모두 에르미트 행렬입니다. 왜냐하면 각각의 켤레 전치 행렬이 행렬 자체와 동일하기 때문입니다.

에르미트 행렬의 구조

에르미트 행렬은 기억하기 매우 쉬운 구조를 가지고 있습니다. 주대각선의 실수로 구성되며, i번째 행과 j번째 열에 있는 복소수 요소는 j번째 행과 j번째 열에 있는 요소의 공액이어야 합니다. i 번째 열.

다음은 Hermitian 행렬 구조의 몇 가지 예입니다.

2×2 에르미트 구조

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b\\[1.1ex] \overline{b} & c \end{pmatrix}$

3×3 에르미트 구조

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c \\[1.1ex] \overline{b} & d & e \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{e} & f\end{pmatrix}$

4×4 에르미트 구조

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c & d \\[1.1ex] \overline{b} & e & f & g \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{f} & h & i \\[1.1ex] \overline{d} & \overline{g} & \overline{i} & j \end{pmatrix}$

에르미트 행렬의 속성

이제 이러한 유형의 정사각 복소 행렬의 속성이 무엇인지 살펴보겠습니다.

모든 에르미트 행렬은 일반 행렬 입니다. 모든 일반 행렬이 에르미트 행렬은 아니지만

모든 에르미트 행렬은 대각선화 가능합니다. 또한 결과 대각 행렬에는 실수 요소만 포함됩니다.

따라서 에르미트 행렬의 고유값(또는 고유값)은 항상 실수입니다. 이 속성은 Charles Hermite에 의해 발견되었으며, 이러한 이유로 그는 이 매우 특별한 행렬을 Hermitian이라고 부르는 영광을 누렸습니다.

마찬가지로, 에르미트 행렬의 고유공간은 2×2로 직교합니다. 즉, 정규 직교 기저가 존재합니다.
$\mathbb{C}^n$

행렬의 고유벡터(고유벡터)로 구성됩니다.

실수 행렬, 즉 어떤 요소에도 허수 부분이 없다는 행렬은 대칭 행렬인 경우에만 에르미트 행렬입니다. 예를 들어 2×2 단위 행렬 과 같습니다.

에르미트 행렬은 실수 대칭 행렬과 허수 비대칭 행렬 의 합으로 표현될 수 있습니다.

$A =B+Ci$

두 에르미트 행렬의 합(또는 빼기)은 다음과 같은 이유로 다른 에르미트 행렬과 같습니다.

$(A\pm B)^* = A^*\pm B^* = A \pm B$

스칼라에 의한 에르미트 행렬의 곱의 결과는 스칼라가 실수인 경우 또 다른 에르미트 행렬입니다.

$(k \cdot A)^* = \overline{k}\cdot A^* = k \cdot A$

두 에르미트 행렬의 곱은 일반적으로 더 이상 에르미트 행렬이 아닙니다. 그러나 두 행렬이 교환 가능한 경우, 즉 두 행렬의 곱셈 결과가 곱해지는 방향에 관계없이 동일한 경우 곱은 에르미트입니다. 왜냐하면 켤레 전치 연산의 다음 조건이 성립하기 때문입니다. 행렬:

$(A \cdot B)^* = B^*\cdot A^* = B \cdot A = A \cdot B$

에르미트 행렬이 역행렬이면 그 역행렬도 에르미트 행렬이 됩니다.

$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}$

에르미트 행렬의 행렬식은 항상 실수와 동일합니다. 이 속성의 증명은 다음과 같습니다.

$det(A) = det(A^t) \ \longrightarrow \ det(A^*) = \overline{det(A)}$

목마른

$A = A^*$

:

$det(A) = \overline{det(A)}$

따라서 이 조건이 충족되려면 에르미트 행렬의 행렬식은 반드시 실수여야 합니다. 이런 식으로 결과의 켤레는 결과 자체와 같습니다.

복소 행렬을 에르미트 행렬과 반 에르미트 행렬로 분해

복소수 요소가 있는 모든 행렬은 에르미트 행렬과 또 다른 반 에르미트 행렬 의 합으로 분해 될 수 있습니다. 그러나 이를 위해서는 이러한 유형의 행렬의 다음과 같은 특징을 알아야 합니다.

정사각 복소 행렬과 전치된 공액의 합은 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)을 제공합니다.

$C + C^* = \text{Matriz Hermitiana}$

정사각 복소수 행렬과 전치된 공액 행렬의 차이는 반 에르미트(또는 반 에르미트) 행렬을 제공합니다.

$C - C^* = \text{Matriz Antihermitiana}$

따라서 모든 복소수 행렬은 에르미트 행렬과 반 에르미트 행렬의 합으로 분해될 수 있습니다. 이 정리는 테오 플리츠 분해(Teoplitz decomposition) 로 알려져 있습니다:

$\displaystyle \begin{array}{c} C = A + B \\[2ex] A = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^*) \qquad B = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^*)\end{array}$

여기서 C는 분해하려는 복소 행렬이고, C*는 전치된 켤레이며, 마지막으로 A와 B는 각각 행렬 C가 분해되는 에르미트 행렬과 반 에르미트 행렬입니다.

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