쌍곡선 탄젠트의 미분

여기에서 함수의 쌍곡선 탄젠트의 미분을 찾을 수 있습니다. 추가적으로, 쌍곡선 탄젠트의 도함수에 대한 몇 가지 해결된 예를 볼 수 있습니다. 그리고 마지막으로 쌍곡탄젠트의 미분 공식을 보여드리겠습니다.

쌍곡선 탄젠트의 도함수에 대한 공식

x의 쌍곡선 탄젠트의 도함수는 1을 x의 쌍곡선 코사인의 제곱으로 나눈 것과 같습니다. x의 탄젠트의 도함수는 x의 쌍곡선 시컨트의 제곱과 1에서 x의 쌍곡선 탄젠트의 제곱을 뺀 것과 동일합니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tanh}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=\text{sech}^2(x)=1-\text{tanh}^2(x)\end{array}$

반면에 함수 인수에 x 이외의 함수가 있는 경우 체인 규칙을 적용해야 합니다. 그리고 쌍곡선 탄젠트의 도함수에 대한 세 가지 공식은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{tanh}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}=\text{sech}^2(u)\cdot u'=\left(1-\text{tanh}^2(u)\right)\cdot u'\end{array}$

이는 쌍곡선 탄젠트를 도출할 때마다 세 가지 공식을 모두 사용해야 한다는 의미가 아니라, 그 중 어느 공식을 사용해도 이를 도출할 수 있다는 의미입니다. 따라서 쌍곡선 탄젠트 인수의 기능에 따라 하나의 공식 또는 다른 공식을 사용하는 것이 더 좋습니다. 다음은 함수의 쌍곡선 탄젠트가 어떻게 파생되는지 확인할 수 있는 몇 가지 예입니다.

쌍곡선 탄젠트의 도함수는 탄젠트의 도함수와 거의 동일하지만 완전히 다르게 만드는 작은 세부 사항이 있습니다. 다음 링크에서 차이점이 무엇인지 확인할 수 있습니다.

➤ 참고: 탄젠트 미분 공식

쌍곡선 탄젠트의 도함수 예

쌍곡선 탄젠트의 도함수에 대한 공식이 무엇인지 확인한 후, 쌍곡선 탄젠트를 유도하는 방법을 완전히 이해할 수 있도록 이러한 유형의 삼각 함수 도함수에 대한 몇 가지 해결된 예가 여기에 있습니다.

예 1: 2x 쌍곡선 탄젠트의 파생

$f(x)=\text{tanh}(2x)$

이 예에서 쌍곡선 탄젠트를 도출하기 위해 우리는 쌍곡선 코사인 공식을 사용할 것입니다. 물론 원하는 것을 사용할 수도 있습니다.

$f(x)=\text{tanh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}$

우리는 2x의 도함수가 2라는 것을 알고 있으므로 전체 함수의 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{tanh}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\text{cosh}^2(2x)}$

예 2: x 제곱의 쌍곡선 탄젠트 파생

$f(x)=\text{tanh}(x^2)$

함수의 쌍곡탄젠트 도함수에 대한 규칙은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{tanh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\text{cosh}^2(u)}$

한편으로 우리는 함수를 2x를 제공하는 인수 x ² 와 차별화한 다음 다음 공식을 사용하여 전체 함수의 도함수를 구합니다.

$f(x)=\text{tanh}(x^2)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\text{cosh}^2(x^2)}$

예제 3: 쌍곡선 탄젠트 세제곱의 도함수

$f(x)=\text{tanh}^3(7x^2)$

이 경우, 우리는 또한 거듭제곱되는 함수의 쌍곡선 탄젠트를 유도해야 합니다. 따라서 우리는 잠재적인 함수의 도함수에 대한 공식, 쌍곡선 탄젠트의 도함수에 대한 규칙 및 체인 규칙을 사용해야 합니다.

$f'(x)=3\text{tanh}^2(7x^2)\cdot \cfrac{14x}{\text{cosh}^2(7x^2)}}=\cfrac{42x\cdot \text{tanh}^2(7x^2)}{\text{cosh}^2(7x^2)}}$

탄젠트의 미분 증명

이번 섹션에서는 쌍곡선 탄젠트의 미분 공식을 보여드리겠습니다. 그리고 이를 위해 세 가지 쌍곡선 삼각비를 연결하는 삼각 항등식부터 시작하겠습니다.

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

➤ 참고: 증명을 이해하려면 쌍곡사인의 도함수가 무엇인지, 쌍곡선 코사인의 도함수가 무엇인지 알아야 합니다. 따라서 계속하기 전에 링크된 페이지를 방문하는 것이 좋습니다.

이제 몫의 미분 공식을 적용해 보겠습니다.

$\displaystyle\left(\text{tanh}(x)\right)'=\left(\frac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}\right)'$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{\text{cosh}(x)\cdot \text{cosh}(x)-\text{senh}(x)\text{senh}(x) }{\text{cosh}^2(x)}$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}$

다음 공식을 사용하여 분수의 분자 표현을 줄입니다.

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}$

보시다시피, 이전 평등은 쌍곡선 탄젠트의 도함수에 대한 첫 번째 공식에 해당합니다. 마찬가지로 쌍곡선 시컨트는 쌍곡선 코사인의 곱셈의 역이므로 두 번째 공식도 도출됩니다.

$\text{tanh}'(x)=\text{sech}^2(x)$

마지막으로, 이전 단계의 분수를 분수의 뺄셈으로 변환하여 쌍곡선 탄젠트 도함수의 세 번째 규칙에 도달할 수 있습니다.

$\text{tan}'(x)=\cfrac{\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}$

$\text{tanh}'(x)=\cfrac{\text{cosh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}-\cfrac{\text{senh}^2(x)}{\text{cosh}^2(x)}$

$\text{tanh}'(x)=1-\text{tanh}^2(x)$