쌍곡선 코사인 함수

7월 4, 2023

여기서는 쌍곡선 코사인 함수에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다: 공식, 그래픽 표현, 특성, 다른 함수와의 수학적 관계 등은 무엇입니까?

쌍곡선 코사인 공식

쌍곡선 코사인 함수는 주요 쌍곡선 함수 중 하나이며 기호 cosh(x) 로 표시됩니다. 쌍곡선 코사인은 e ^x 더하기 e ^-x를 2로 나눈 값과 같습니다.

따라서 쌍곡선 코사인의 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\text{cosh}(x)=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

따라서 쌍곡선 코사인은 수학적으로 지수 함수와 관련이 있습니다. 다음 링크에서 이러한 유형의 함수의 속성을 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 지수 함수의 속성

쌍곡선 코사인의 그래픽 표현

쌍곡선 코사인 함수의 그래픽 표현은 2차 함수(또는 포물선) 형식입니다.

쌍곡선 코사인

➤ 참고: 2차 함수의 그래픽 표현 .

이 그래프에서 우리는 쌍곡선 코사인이 y축에 대해 대칭이기 때문에 짝수 함수임을 분명히 알 수 있습니다.

반면, 쌍곡선 코사인의 그래프는 주기함수인 코사인(삼각함수)의 그래프와 매우 다릅니다. 다음 링크에서 코사인의 그래픽 표현과 쌍곡선 코사인과의 모든 차이점을 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 코사인 함수의 그래픽 표현

쌍곡선 코사인의 특성

쌍곡선 코사인은 다음 속성을 따릅니다.

쌍곡선 코사인 함수의 정의역은 모두 실수입니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

대신, 쌍곡선 코사인 함수의 범위(또는 범위)는 1이고 모든 숫자는 1보다 큽니다.

$\text{Im } f= [1,+\infty)$

쌍곡선 코사인은 연속적이고 균일한 함수입니다.

$\displaystyle \text{cosh}(-x)=\text{cosh}(x)$

이 함수는 x=0 지점에서 Y축과 교차합니다.

$(0,1)$

반면에 이 함수에는 X축과의 교차점이 없습니다.

쌍곡선 코사인 함수의 무한대에 대한 두 가지 극한(양수 및 음수)은 플러스 무한대를 제공합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{cosh}(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{cosh}(x)=+\infty$

쌍곡선 코사인은 x = 0까지 감소하고 그 지점부터 무한정 증가하므로 함수는 x = 0에서 최소값을 갖습니다.

$(0,1)$

함수는 해당 영역 전체에 걸쳐 볼록하므로 변곡점이 없습니다.

쌍곡선 코사인 함수의 파생물은 쌍곡선 사인입니다.

$f(x)=\text{cosh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\text{senh}(x)$

쌍곡선 코사인 함수의 적분은 쌍곡선 사인입니다:

$\displaystyle \int \text{cosh}(x) \ dx= \text{senh}(x) + C$

쌍곡선 코사인 함수의 테일러 다항식(또는 매클로린 급수)은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\text{cosh}(x)=1+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}+\cfrac{x^6}{6!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

쌍곡선 코사인 함수의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.

$\mathcal{L}\bigl[\text{cosh}(at)\bigr]=\cfrac{s}{s^2-a^2}$

쌍곡선 코사인의 수학적 관계

다음으로, 다른 쌍곡선 함수가 모두 수학적으로 관련되어 있기 때문에 쌍곡선 코사인을 다른 쌍곡선 함수로부터 어떻게 계산할 수 있는지 살펴보겠습니다.

기본 방정식은 쌍곡선 코사인을 쌍곡선 사인과 연관시킵니다.

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

➤ 참조: 쌍곡선 사인

세 가지 주요 쌍곡선 함수(쌍곡선 사인, 코사인 및 탄젠트)는 다음 방정식으로 연관될 수 있습니다.

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

반면에, 두 개의 서로 다른 숫자의 덧셈(또는 뺄셈)에 대한 쌍곡선 코사인은 다음 공식으로 결정될 수 있습니다.

$\text{cosh}(x+y)=\text{cosh}(x)\text{cosh}(y)+\text{senh}(y)\text{senh}(x)$

$\text{cosh}(x-y)=\text{cosh}(x)\text{cosh}(y)-\text{senh}(y)\text{senh}(x)$

두 숫자의 쌍곡선 코사인은 쌍곡선 코사인과 이 숫자의 쌍곡선 사인의 제곱의 합과 같습니다.

$\text{cosh}(2x)=\text{cosh}^2(x)+\text{senh}^2(x)$

두 쌍곡선 코사인의 덧셈이나 뺄셈은 다음 공식을 적용하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle\text{cosh}(x)+\text{cosh}(y)=2\text{cosh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\displaystyle\text{cosh}(x)-\text{cosh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{senh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

마지막으로 쌍곡선 코사인의 제곱은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

$\text{cosh}^2(x)=\cfrac{1}{2}\Bigl(\text{cosh}(2x)+1\Bigr)$

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