쌍곡선 아크코사인의 미분

이 페이지에서는 쌍곡선 아크코사인(공식)의 미분이 무엇인지 볼 수 있습니다. 또한 함수의 쌍곡선 코사인 도함수에 대해 단계별로 해결되는 연습 문제도 찾을 수 있습니다. 그리고 마지막으로 이러한 유형의 삼각 함수의 미분 공식에 대한 데모를 찾을 수 있습니다.

쌍곡선 아크코사인의 미분 공식

x의 쌍곡선 아크코사인의 미분은 x 제곱 – 1의 제곱근 분의 1입니다.

$f(x)=\text{arccosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

따라서 함수의 쌍곡선 아크코사인의 도함수는 해당 함수의 도함수를 해당 함수의 제곱근에서 1을 뺀 값으로 나눈 몫과 같습니다.

$f(x)=\text{arccosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2-1}}$

두 번째 공식에는 체인 규칙이 포함되어 있으므로 쌍곡선 아크코사인을 유도하는 데 사용할 수 있습니다. 실제로, x를 u로 대체하면 첫 번째 공식을 얻게 됩니다. 대신, 첫 번째 공식은 x의 쌍곡선 아크코사인 도함수에만 적용됩니다.

쌍곡선 아크코사인은 쌍곡선 코사인의 역함수이므로 두 함수는 서로 관련되어 있습니다. 여기를 클릭하면 이 삼각 함수의 미분 공식을 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 쌍곡선 코사인의 미분 공식

$f(x)=\text{arccosh}(5x)$

쌍곡선 아크코사인의 도함수를 찾으려면 해당 공식을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{arccosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2-1}}$

따라서 분수의 분자에 5x의 도함수인 5를 넣어야 합니다. 분모에는 인수 함수의 제곱근에서 1을 뺀 값을 넣으면 됩니다.

$f(x)=\text{arccosh}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{(5x)^2-1}}=\cfrac{5}{\sqrt{25x^2-1}}$

$f(x)=\text{arccosh}(x^4-5x^2)$

이 연습에서 파생되는 함수는 쌍곡선 아크코사인이므로 다음 공식을 사용하여 파생합니다.

$f(x)=\text{arccosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2-1}}$

따라서 분자에는 함수 인수의 미분을 쓰고 분모에는 2에서 1을 뺀 인수 함수의 제곱근을 씁니다.

$f(x)=\text{arccosh}(x^4-5x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{4x^3-10x}{\sqrt{\left(x^4-5x^2\right)^2-1}}$

마지막으로 쌍곡선 아크코사인의 미분 공식을 보여드리겠습니다.

$y=\text{arccosh}(x)$

먼저 쌍곡선 아크 코사인을 쌍곡선 코사인으로 변환합니다.

$x=\text{cosh}(y)$

우리는 평등의 양쪽 측면에서 추론합니다.

$1=\text{senh}(y)\cdot y'$

우리는 당신을 정리합니다:

$y'=\cfrac{1}{\text{senh}(y)}$

이제 분모를 수정하기 위해 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인을 연결하는 삼각법 항등식을 사용합니다.

$\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)=1 \ \longrightarrow \ \text{senh}(y)=\sqrt{\text{cosh}^2(y)-1}$

$y'=\cfrac{1}{\sqrt{\text{cosh}^2(y)-1}}$

그러나 먼저 x가 y의 쌍곡선 코사인과 동일하다고 추론했으므로 방정식은 그대로 유지됩니다.

$y'=\cfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$