쌍곡선 역시컨트의 파생물

여기에서는 함수의 쌍곡선 시컨트의 미분을 계산하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한, 쌍곡선 역시컨트의 미분의 해결된 예를 볼 수 있습니다.

쌍곡선 역법 미분 공식

x의 쌍곡선 시컨트의 도함수는 -1을 x 곱하기 1 빼기 x 제곱의 곱으로 나눈 값과 같습니다.

f(x)=\text{arcsech}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}

그러므로, 함수의 쌍곡초시분의 도함수는 해당 함수의 도함수를 함수 곱하기 1의 근에서 제곱 함수를 뺀 곱으로 나눈 값입니다.

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

즉, 쌍곡선 역시컨트 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

쌍곡선 역시컨트에서 파생됨

두 표현식은 실제로 동일한 수식에 해당하지만 체인 규칙이 두 번째 수식에 적용됩니다. 실제로 u를 항등함수 x로 대체하면 x의 도함수는 1이므로 첫 번째 공식을 얻게 됩니다.

쌍곡선 역시컨트의 도함수 예

쌍곡선 역시컨트의 도함수 공식이 무엇인지 확인한 후, 이러한 유형의 역삼각 도함수에 대한 두 가지 단계별 연습 문제를 풀어보겠습니다. 따라서 함수의 쌍곡선 시컨트를 파생하는 방법을 정확히 볼 수 있습니다.

실시예 1

이 예에서는 2x 쌍곡선 역시컨트의 도함수를 결정합니다.

f(x)=\text{arcsech}(2x)

쌍곡선 역시컨트 인수에는 x 이외의 함수가 있으므로 이를 파생하려면 체인 규칙 공식을 사용해야 합니다.

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

함수 2x는 선형이므로 그 도함수는 2입니다. 따라서 도함수를 찾으려면 공식에 u를 2x로, u’를 2로 대체하면 됩니다.

f(x)=\text{arcsech}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-4x^2}}

실시예 2

이 두 번째 연습에서는 다항식 함수의 쌍곡선 시컨트를 유도합니다.

f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x)

이 연습의 기능은 복합적입니다. 쌍곡선 역시컨트는 인수에 또 다른 기능을 갖고 있기 때문입니다. 따라서 파생을 수행하려면 체인 규칙과 함께 쌍곡선 역시컨트 파생 공식을 사용해야 합니다.

f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}

따라서 분수의 분자에 인수의 다항식 함수의 미분을 넣고 분모에 다항식 함수로 u를 변경합니다.

\begin{aligned}f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(3x^2-4)}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-3x^2+4}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\end{aligned}

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