쌍곡선 아크탄젠트의 미분

여기서는 함수의 쌍곡선 탄젠트를 유도하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한 이러한 유형의 삼각 도함수에 대한 해결된 예를 볼 수 있으며 마지막으로 쌍곡선 아크탄젠트의 도함수에 대한 공식을 보여 드리겠습니다.

쌍곡선 아크탄젠트의 미분 공식

x의 쌍곡선 아크탄젠트의 도함수는 1/1 – x 제곱입니다.

$f(x)=\text{arctanh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{1-x^2}$

따라서, 함수의 쌍곡선 아크탄젠트의 도함수는 해당 함수의 도함수를 1로 나눈 값에서 해당 함수의 제곱을 뺀 몫과 같습니다.

$f(x)=\text{arctanh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

실제로 두 공식은 동일하지만 두 번째에서는 체인 규칙이 적용됩니다. 예를 들어 x를 u로 바꾸면 x의 도함수가 1이므로 정확히 첫 번째 공식이 제공됩니다.

아크탄젠트가 탄젠트의 역함수인 것처럼, 쌍곡선 탄젠트는 쌍곡선 탄젠트의 역함수입니다. 그럼에도 불구하고 그들의 도함수는 매우 다릅니다. 여기에서 이 삼각 함수의 도함수를 확인할 수 있습니다.

➤ 참조: 쌍곡선 탄젠트의 미분 공식

쌍곡선 아크탄젠트의 도함수 예

실시예 1

$f(x)=\text{arctanh}(2x)$

논리적으로 우리는 쌍곡선 아크탄젠트의 도함수 규칙을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{arctanh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

2x의 도함수는 2이므로 분수의 분자에 2를 넣고 분모에 1 – 2x 제곱을 넣습니다.

$f(x)=\text{arctanh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{1-(2x)^2}}=\cfrac{2}{1- 4x^2}$

실시예 2

$f(x)=\text{arctanh}(e^{3x})$

이 함수의 도함수를 풀려면 쌍곡선 아크탄젠트의 도함수 공식을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{arctanh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

또한 쌍곡선 아크탄젠트 인수 함수는 복합 함수이므로 체인 규칙도 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{arctanh}(e^{3x}) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3\cdot e^{3x}}{1-\left(e^{3x}\right)^2}=\cfrac{3e^{3x}}{1-3^{6x}}$

쌍곡선탄젠트의 미분 증명

이 마지막 섹션에서는 쌍곡선 아크탄젠트의 미분 공식을 보여드리겠습니다.

$y=\text{arctanh}(x)$

쌍곡선 탄젠트가 역쌍곡선 탄젠트이므로 이전 동등성을 다른 방식으로 표현할 수 있습니다.

$x=\text{tanh}(y)$

이제 우리는 방정식의 양쪽을 구별합니다:

$1=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(y)}\cdot y'$

우리는 당신을 정리합니다:

$y'=\text{cosh}^2(y)$

반면에 우리는 쌍곡선 코사인과 쌍곡선 사인의 제곱의 차이가 1이라는 것을 알고 있습니다. 따라서 이전 표현식을 분수로 변환할 수 있습니다.

$\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)=1$

$y'=\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{1}=\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)}$

분수의 모든 항을 쌍곡선 코사인의 제곱으로 나눕니다.

$y'=\cfrac{\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}}{\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}-\cfrac{\text{senh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}}$

$y'=\cfrac{1}{1-\cfrac{\text{senh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}}$

쌍곡선 코사인 사이의 쌍곡선 사인의 몫은 쌍곡선 탄젠트와 같습니다. 따라서:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

$y'=\cfrac{1}{1-\text{tanh}^2(y)}$

그러나 증명의 시작 부분에서 보았듯이 쌍곡선 탄젠트는 변수 x와 동일하므로 표현식을 대체하여 쌍곡선 아크 탄젠트의 도함수에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

$y'=\cfrac{1}{1-x^2}$

유사한 항목

쌍곡선 코탄젠트의 도함수에 대한 공식
역탄젠트 미분 공식
아크탄젠트 미분 공식
코탄젠트 미분 공식
탄젠트의 미분 공식