쌍곡사인의 미분 - 마토리티(Mathority)

여기에서는 쌍곡선 사인(공식)을 유도하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한 쌍곡사인 도함수에 대한 몇 가지 해결된 예를 볼 수 있습니다. 그리고 마지막으로 이러한 유형의 삼각 함수의 미분 공식을 증명합니다.

쌍곡사인에서 파생된 공식

x의 쌍곡선 사인의 도함수는 x의 쌍곡선 코사인입니다.

$f(x)=\text{senh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cosh}(x)$

따라서 함수의 쌍곡선 사인의 도함수는 해당 함수의 쌍곡선 코사인과 해당 함수의 도함수의 곱과 같습니다.

$f(x)=\text{senh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cosh}(u)\cdot u'$

실제로 위의 두 공식은 동일하며 유일한 차이점은 두 번째 공식에서는 체인 규칙을 적용한다는 것입니다. 그리고 x의 미분은 1이므로 함수는 변경되지 않습니다.

보시다시피, 쌍곡선 사인 도함수 공식은 사인 도함수 공식 과 매우 유사합니다.

쌍곡선 사인 파생 공식이 무엇인지 이미 살펴보았으면 이제 쌍곡선 사인 파생의 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다. 따라서 이것이 어떻게 수행되는지에 대해 의심의 여지가 없습니다.

$f(x)=\text{senh}(2x)$

이 경우, 쌍곡사인 인수에서는 x와 다른 함수를 가지므로, 도함수를 찾기 위해 연쇄 법칙과 함께 쌍곡선 사인 도함수 공식을 사용해야 합니다:

$f(x)=\text{senh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cosh}(u)\cdot u'$

2x의 도함수는 2이므로, 2x의 쌍곡사인의 도함수는 2x 곱하기 2의 쌍곡코사인이 됩니다.

$f(x)=\text{senh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cosh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

$f(x)=\text{senh}(x^2)$

쌍곡사인 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{senh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cosh}(u)\cdot u'$

반면에 이차 함수 x ² 의 미분은 2x입니다. 따라서 전체 함수의 미분은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{senh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cosh}(x^2)\cdot 2x$

마지막으로 쌍곡사인 도함수에 대한 공식을 보여드리겠습니다. 이를 위해 쌍곡사인의 수학적 정의부터 시작하겠습니다.

$\text{senh}(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}$

이제 우리는 평등의 양면을 추론합니다.

$\displaystyle\bigl(\text{senh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'$

방정식의 우변을 도출하기 위해 나눗셈의 미분 공식을 사용합니다.

$\displaystyle\text{senh}'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

➤ 참조: e를 밑으로 하는 지수 함수의 도함수

그리고 정확하게 우리는 쌍곡선 코사인을 정의하는 표현에 도달했습니다. 쌍곡사인의 미분은 다음과 같이 증명됩니다.

$\displaystyle\text{senh}'(x)=\text{cosh}(x)$