▷ 시컨트의 미분(공식 및 풀이 연습)

여기서는 함수의 시컨트를 도출하는 방법을 알아봅니다. 또한 시컨트의 미분에 대해 단계별로 해결되는 여러 연습 문제를 볼 수 있습니다. 그리고 마지막으로 이러한 유형의 삼각법 도함수에 대한 공식의 데모를 찾을 수 있습니다.

시컨트의 미분은 무엇입니까?

x의 시컨트의 도함수는 x의 시컨트와 x의 탄젠트의 곱과 같습니다.

$f(x)=\text{sec}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(x)\cdot \text{tan}(x)$

삼각법 공식을 적용하여 x의 시컨트의 도함수는 x의 사인을 x의 코사인의 제곱으로 나눈 몫으로 정의할 수도 있습니다.

$f'(x)=\text{sec}(x)\cdot \text{tan}(x)=\cfrac{1}{\text{cos}(x)}\cdot \cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}=\cfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}^2(x)}$

그리고 체인 규칙을 적용하면 함수의 시컨트의 도함수는 함수의 시컨트 곱하기 함수의 탄젠트 곱하기 함수의 도함수의 곱입니다.

$f(x)=\text{sec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(u)\cdot \text{tan}(u)\cdot u'$

요약하면 시컨트 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

시컨트 도함수의 예

시컨트 도함수의 공식이 무엇인지 확인한 후에는 이러한 유형의 삼각 도함수에 대한 몇 가지 예를 풀 것입니다.

예 1: 2x 시컨트의 파생

이 예에서 우리는 2x 시컨트의 미분이 얼마나 가치가 있는지 볼 것입니다:

$f(x)=\text{sec}(2x)$

2x 함수의 시컨트를 도출하려면 해당 공식을 사용해야 합니다. 또한 시컨트 인수에는 x 이외의 함수가 있으므로 체인 규칙을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{sec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(u)\cdot \text{tan}(u)\cdot u'$

함수 2x는 선형이므로 도함수는 2입니다. 따라서 도함수를 찾으려면 공식에서 u를 2x로 바꾸고 u’를 2로 바꾸면 됩니다.

$f(x)=\text{sec}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(2x)\cdot \text{tan}(2x)\cdot 2$

예 2: x 제곱의 시컨트 파생

이 연습에서 우리는 x 제곱 시컨트의 도함수가 무엇인지 볼 것입니다:

$f(x)=\text{sec}(x^2)$

함수의 시컨트를 도출하려면 위에서 본 두 공식 중 하나를 사용할 수 있지만, 이 경우 시컨트와 탄젠트 간의 곱셈 공식으로 함수를 차별화하겠습니다.

$f(x)=\text{sec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(u)\cdot \text{tan}(u)\cdot u'$

x의 2승 도함수는 2x를 제공하므로 x 제곱 시컨트의 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{sec}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(x^2)\cdot \text{tan}(x^2)\cdot 2x$

예제 3: 다항식의 시컨트 큐브의 파생

$f(x)=\text{sec}^3(x^5+4x^2-3)$

함수의 시컨트 도함수에 대한 규칙은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{sec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{sec}(u)\cdot \text{tan}(u)\cdot u'$

그러나 이 경우에는 시컨트가 3승으로 올라가고 더욱이 그 논증에서 다항식 함수를 가지기 때문에 복합 함수를 유도해야 합니다. 따라서 전체 기능을 차별화하려면 체인 규칙을 적용해야 합니다.

$\begin{aligned}f'(x)& =3\text{sec}^2(x^5+4x^2-3)\text{sec}(x^5+4x^2-3)\text{tan}(x^5+4x^2-3)(5x^4+8x)\\[1.5ex]&=3\text{sec}^3(x^5+4x^2-3)\text{tan}(x^5+4x^2-3)(5x^4+8x)\end{aligned}$

시컨트의 미분에 대한 해결된 연습

다음 시컨트 함수를 파생시킵니다.

$\text{A) }f(x)=\text{sec}(x^6-6x^3)$

$\text{B) }f(x)=\text{sec}^4(5x^4)$

$\text{C) }f(x)=\text{sec}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{D) }f(x)=\text{sec}\left(e^{x^2+3x}\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{sec}\left(\sqrt{5x+1}\right)$

솔루션 보기

$\text{A) }f(x)=\text{sec}(x^6-6x^3)\cdot \text{tan}(x^6-6x^3)\cdot (6x^5-18x^2)$

$\begin{aligned}\text{B) }f(x)& =4\text{sec}^3(5x^4)\cdot \text{sec}(5x^4)\cdot \text{tan}(5x^4)\cdot 20x^3\\[1.5ex] &=4\text{sec}^4(5x^4)\cdot \text{tan}(5x^4)\cdot 20x^3\end{aligned}$