수직 점근선

여기서는 함수의 수직 점근선이 무엇인지 찾을 수 있습니다(예제 포함). 또한 함수의 수직 점근선을 찾는 방법을 설명하고, 추가로 단계별로 연습문제를 풀어 연습할 수 있습니다.

수직 점근선이란 무엇입니까?

함수의 수직 점근선은 그래프가 교차하지 않고 무한정 접근하는 수직선입니다. 따라서 수직 점근선의 방정식은 x=k 입니다. 여기서 k 는 수직 점근선의 값입니다.

즉, x가 k 에 접근할 때 함수의 극한이 무한대인 경우 k 는 수직 점근선입니다.

함수의 수직 점근선을 계산하는 방법

함수의 수직 점근선을 계산하려면 다음 단계를 따라야 합니다:

함수의 정의역을 찾으세요. 모든 점이 정의역에 있으면 함수에는 수직 점근선이 없습니다.
정의역에 속하지 않는 점에서 함수의 극한을 계산합니다.
함수의 수직 점근선은 극한이 무한대를 제공하는 모든 값이 됩니다.

함수는 하나 이상의 수직 점근선을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 접선 함수의 그래프에는 무한히 많은 수직 점근선이 있습니다.

➤ 참조: 접선 함수의 특성

수직 점근선의 예

예를 들어, 다음 유리 함수의 모든 점근선을 찾아 이것이 어떻게 수행되는지 확인할 수 있습니다.

$f(x)=\cfrac{1}{x-2}$

일반적으로 수직 점근선이 있는 점은 함수 영역에 속하지 않습니다. 따라서 먼저 함수의 정의역을 계산하겠습니다.

이는 유리함수이므로 도메인에 속하지 않는 점을 결정하기 위해 분모가 사라지는 시점을 살펴봅니다.

$x-2=0$

$x=2$

따라서 함수의 정의역은 x=2를 제외한 모든 실수입니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{2\}$

따라서 x=2는 함수의 수직 점근선이 될 수 있습니다. 이를 확인하려면 이 시점에서 함수의 극한을 계산해야 합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}=\frac{1}{2-2}=\frac{1}{0}=\infty$

이 경우 우리는 0 사이의 숫자의 불확정성을 얻었으므로 극한을 풀려면 측면 극한을 계산하여 그것이 플러스 무한대인지 마이너스 무한대인지 또는 극한이 존재하지 않는지 알아야 합니다. 그러나 수직 점근선을 계산할 때 측면 극한을 할 필요는 없지만 이 불확정성을 구하는 것만으로도 수직 점근선이라고 할 수 있습니다.

간단히 말해서, x가 2에 접근할 때 함수의 극한은 무한대를 제공하므로 x=2는 수직 점근선입니다.

아래는 그래픽으로 표현된 함수입니다. 보시다시피, x=2 선(왼쪽과 오른쪽 모두에서)에 매우 가깝지만 수직 점근선이기 때문에 결코 교차하지 않습니다.

또한 그래프에서 x=2 지점에서 함수의 측면 한계를 추론할 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty \qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty$

수직 점근선 문제 해결

연습 1

다음 유리 함수의 수직 점근선을 계산합니다.

$\displaystyle f(x)=\frac{3x-1}{2x-1}$

해결책 보기

함수의 수직 점근선을 계산하는 공식은 없지만 함수의 정의역을 찾고 함수가 정의되지 않은 지점에서 극한이 무한대를 제공하는지 확인해야 합니다.

따라서 우리는 정의역에 속하지 않는 점을 찾기 위해 유리함수의 분모를 0으로 설정합니다.

$2x -1 =0$

$2x= 1$

$x = \cfrac{1}{2}$

따라서 함수의 정의역은 x=1/2를 제외한 모든 실수입니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{ \cfrac{1}{2} \right\}$

따라서 x=1/2는 수직 점근선이 될 수 있습니다. 이를 확인하기 위해 이 시점에서 함수의 한계를 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} } \cfrac{3x-1}{2x-1} = \cfrac{3\cdot\cfrac{1}{2}-1}{2\cdot\cfrac{1}{2}-1} = \cfrac{ \cfrac{3}{2} -1 }{\cfrac{2}{2} -1 } = \cfrac{ \cfrac{1}{2} }{1-1}=\cfrac{\cfrac{1}{2}}{0} =\infty$

따라서 x=1/2는 수직 점근선입니다 . 왜냐하면 이 지점에서 함수의 극한은 무한대를 제공하기 때문입니다.

연습 2

다음 분수 함수의 수직 점근선을 모두 구합니다:

$\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}$

해결책 보기

먼저, 함수의 정의역에 없는 값을 확인하기 위해 분수의 분모를 0으로 설정합니다.

$x^2-9=0$

불완전한 이차 방정식을 푼다:

$x^2=9$

$x=\pm 3$

따라서 유리 함수의 영역은 다음과 같습니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{3, -3\right\}$

따라서 이 두 값 중 어느 것이 수직 점근선인지 확인하기 위해 각 점에서 함수의 극한을 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{2x+1}{x^2-9}=\frac{2\cdot3+1}{3^2-9}=\frac{7}{9-9}=\frac{7}{0}=\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to -3}\frac{2x+1}{x^2-9}=\frac{2\cdot(-3)+1}{(-3)^2-9}=\frac{-5}{9-9}=\frac{-5}{0}=\infty$

두 극한은 무한대를 제공하므로 x=3과 x=-3은 문제 함수의 두 수직 점근선입니다 .

연습 3

다음 유리 함수의 수직 점근선을 모두 찾으십시오:

$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2+2x-3}$

➤ 참조: 0 사이의 0 불확정성

해결책 보기

먼저, 분수의 분모를 상쇄하는 값을 찾기 위해 이차 분모 방정식을 풀어보겠습니다.

$x^2+2x-3=0$

$\begin{aligned}\displaystyle x&=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\\[3ex]\displaystyle &=\cfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\cfrac{-2\pm 4}{2}=\begin{cases}\cfrac{-2+4}{2}=1\\[3ex]\cfrac{-2-4}{2}=-3\end{cases}\end{aligned}$

따라서 함수의 도메인은 다음과 같습니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{1, -3\right\}$

따라서 먼저 x=1에서 함수의 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x+3}{x^2+2x-3}=\frac{1+3}{1^2+2\cdot 1-3}=\frac{4}{0}=\infty$

그리고 반면에 x가 -3에 가까워질 때 함수의 극한을 해결합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to -3}\frac{x+3}{x^2+2x-3}=\frac{-3+3}{(-3)^2+2\cdot(-3)-3}=\frac{0}{0}=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x \to -3}\frac{\cancel{x+3}}{(x-1)\cancel{(x+3)}}=\lim_{x \to -3}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{-3-1}=-\frac{1}{4}\end{array}$

이전 극한은 0 사이의 부정형 0을 제공하므로 이를 해결하려면 다항식을 인수분해해야 합니다. 우리가 어떻게 한계를 해결했는지 의문이 든다면, 연습 문 링크에서 이러한 유형의 불확정성을 해결하는 방법에 대한 전체 설명을 볼 수 있습니다.

이 경우 x=1 지점에서 함수의 극한만이 무한대를 제공하므로 x=1은 함수의 유일한 수직 점근선입니다 .

수직 점근선이란 무엇입니까?

함수의 수직 점근선을 계산하는 방법

수직 점근선의 예

수직 점근선 문제 해결

연습 1

연습 2

연습 3

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