▷ 극한의 속성(또는 법칙)은 무엇인가요?

여기서는 함수 극한의 모든 속성(또는 법칙)을 찾을 수 있습니다. 이러한 속성은 특히 함수 연산으로 극한을 처리할 때 극한 계산을 단순화하는 데 도움이 됩니다.

함수 극한의 속성(또는 법칙)은 무엇입니까?

다음으로, 함수 극한, 즉 함수 극한의 법칙이라고도 불리는 모든 속성을 설명하겠습니다. 또한 각 극한 속성에 대한 해결 연습을 볼 수 있으므로 개념을 완전히 이해할 수 있습니다.

합계 한도의 속성

한 지점에서 두 함수의 합의 극한은 동일한 지점에서 개별적으로 각 함수의 극한의 합과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

예를 들어 다음과 같은 두 가지 함수가 있다고 가정합니다.

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

x가 1일 때 각 함수의 극한은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

따라서 같은 지점에 더해진 두 함수의 극한은 4(1+3=4)가 됩니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

이 속성은 단계별로 한도를 계산하여 입증할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

뺄셈의 극한의 성질

한 지점에서 두 함수의 뺄셈(또는 차이)의 극한은 동일한 지점에서 각 함수의 극한을 개별적으로 뺄셈과 동일합니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

이전 예제의 함수 사용:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

x=3 지점에서 각 함수의 한계는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

그런 다음 x=3에서 뺀 두 함수의 극한은 이전 단계에서 얻은 값의 차이입니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

함수의 뺄셈을 계산한 후 극한을 풀어서 극한의 속성을 증명할 수 있습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

제품의 속성 제한

한 점에서 두 함수의 곱의 극한은 해당 점에서 각 함수의 극한을 곱한 것입니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

예를 들어, 다음과 같은 두 가지 다른 기능이 있는 경우:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

x=2에서 각 함수의 한계는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

따라서 두 함수의 곱의 극한을 결정하기 위해 두 함수를 곱할 필요는 없지만 각 극한에서 얻은 결과를 곱하면 충분합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

이렇게 하면 두 함수를 곱하는 것이 어려울 수 있으므로 시간과 계산이 절약됩니다.

몫의 극한 속성

두 함수의 몫(또는 나누기)의 극한은 함수의 극한의 몫과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

이 조건은 분모함수의 극한이 0이 아닌 한 만족됩니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

우리는 이 극한의 속성(또는 법칙)의 예를 풀 것입니다. 함수 f(x)와 g(x)를 고려해보세요:

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

먼저 x=0에서 각 함수의 극한을 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

따라서 x=0에서 두 함수의 나눗셈의 극한은 쉽게 찾을 수 있습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

이 경우 g(x)의 극한이 0이 아니기 때문에 이 속성을 적용하여 극한을 해결할 수 있습니다.

상수의 극한의 성질

상수 함수의 극한은 극한이 계산되는 지점에 관계없이 항상 상수 자체를 초래합니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

이 속성은 확인하기가 매우 간단합니다. 예를 들어 다음과 같은 상수 함수가 있는 경우입니다.

$f(x)=5$

논리적으로 임의의 지점에서 상수 함수의 한계는 5입니다.

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

상수배의 극한의 성질

곱의 극한과 상수의 극한의 성질로부터 우리는 다음과 같은 성질을 추론할 수 있습니다:

상수를 곱한 함수의 극한은 해당 상수와 함수의 극한을 곱한 것과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

이 속성을 사용하여 다음 극한 계산을 단순화하는 방법에 주목하세요.

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

힘의 한계의 속성

지수로 올려진 함수의 극한은 함수의 극한을 계산한 다음 극한의 결과를 해당 지수로 올리는 것과 같습니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

예를 들어, 선형 함수의 극한은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

음, 이차 함수의 극한은 선형 함수의 극한을 찾은 다음 결과를 제곱하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

지수함수의 극한의 성질

지수 함수의 극한은 함수의 대수적 표현의 극한까지 올려진 함수의 상수 와 같습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

그런 다음 이 속성을 확인하기 위해 가능한 두 가지 방법으로 지수 함수의 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

함수 거듭제곱의 한계 속성

다른 함수로 상승된 함수의 극한은 두 번째 함수의 극한으로 상승된 첫 번째 함수의 극한입니다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

예를 들어, 이 법칙을 적용하여 다음 한도를 결정합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

무리함수 극한의 성질

근(또는 근수)의 극한은 극한의 근과 같습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

이 속성을 사용하려면 루트 인덱스가 짝수인 경우 함수의 한계가 0보다 크거나 같아야 한다는 점을 명심해야 합니다.

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

이 공식을 적용하여 다음 한계가 어떻게 계산되었는지 확인하세요.

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

로그 함수의 극한 속성

로그의 극한은 극한의 동일한 밑 로그와 동일합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

이 속성을 적용하는 다음 한도의 해결 방법을 살펴보세요.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$