세 벡터의 혼합 곱(또는 삼중 점 곱)

이 페이지에서는 세 벡터의 혼합 곱(또는 삼중 도트 곱)이 무엇인지, 그리고 계산 방법을 설명합니다. 또한 이러한 유형의 벡터 간의 연산에 대한 예제, 연습 및 해결된 문제도 볼 수 있습니다. 그리고, 혼합제품의 특성과 활용도를 확인하실 수 있습니다.

세 벡터의 혼합곱은 무엇인가?

삼중 내적 이라고도 하는 세 벡터의 혼합 곱은 두 가지 다른 유형의 연산, 즉 내적 과 벡터 곱을 포함하는 세 벡터 간의 연속적인 곱셈입니다. 따라서 두 벡터 연산의 조합은 스칼라(실수)를 제공합니다.

구체적으로, 혼합 곱은 두 벡터의 벡터 곱을 계산한 후 세 번째 벡터에서 얻은 결과를 벡터적으로 곱하는 것으로 구성됩니다. 이렇게 작성하면 매우 복잡해 보일 수 있지만 실제로는 그렇게 많지 않습니다. 삼중점 곱의 공식을 살펴보세요.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = \vv{\text{u}} \cdot ( \vv{\text{v}}\times \vv{\text{w}})$

공식에서 볼 수 있듯이 세 벡터의 혼합 곱은 두 개의 대괄호로 표시됩니다.

세 벡터의 혼합 곱을 계산하는 방법은 무엇입니까?

삼중 내적 공식은 이전 섹션에서 본 공식이지만, 더 간단하고 빠른 또 다른 방법이 있기 때문에 일반적으로 세 벡터의 혼합 곱을 결정하는 데 사용되지 않습니다.

임의의 3개 벡터를 다음과 같이 설정합니다.

$\vv{\text{u}}= (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) \qquad \vv{\text{v}}= (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\qquad \vv{\text{w}}= (\text{w}_x,\text{w}_y,\text{w}_z)$

세 벡터 사이의 혼합 곱을 계산하려면 벡터의 구성요소로 형성된 3×3 행렬식을 간단히 풀면 됩니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]=\begin{vmatrix} \text{u}_x & \text{u}_y & \text{u}_z \\[1.1ex] \text{v}_x &\text{v}_y&\text{v}_z \\[1.1ex] \text{w}_x & \text{w}_y & \text{w}_z \end{vmatrix}$

따라서 이것이 어떻게 계산되는지에 대한 예를 볼 수 있으며 다음 세 벡터의 혼합 곱을 찾을 수 있습니다.

$\vv{\text{u}}= (1,2,0) \qquad \vv{\text{v}}= (0,-1,3)\qquad \vv{\text{w}}= (-2,4,1)$

혼합 곱을 결정하기 위해 행렬의 행에 벡터를 배치하여 3차 행렬식을 구성합니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix}$

이제 우리는 행렬식을 풀기만 하면 됩니다. 이를 위해서는 어떤 방법이든 사용할 수 있습니다. 이 경우 Sarrus의 규칙을 적용합니다(그러나 이는 덧셈이나 보조 인자로도 수행할 수 있습니다).

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= -1-12+0-0-12-0 \\[2ex] & = \bm{-25} \end{aligned}$

두 절차가 동일하다는 것을 보여주기 위해 정의를 통해 동일한 벡터의 혼합 곱을 계산합니다.

$\begin{aligned} \bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] & = \vv{\text{u}} \cdot ( \vv{\text{v}}\times \vv{\text{w}})\\[2ex] &=(1,2,0) \cdot \Bigl( (0,-1,3)\times (-2,4,1)\Bigr) \\[2ex] & = (1,2,0) \cdot \begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 0& -1 & 3 \\[1.1ex] -2 &4&1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= (1,2,0) \cdot (-13,-6,-2) \\[2ex] & = \bm{-25} \end{aligned}$

벡터의 행렬식을 통해 혼합 곱을 계산하는 것이 더 빠르고 실수할 가능성이 적기 때문에 권장됩니다. 하지만 보시다시피 어떤 방법을 사용해도 결과는 동일하므로 선호하는 방법을 사용하세요. 👍

혼합제품의 기하학적 해석

세 벡터의 혼합 곱을 찾는 방법을 알게 되면 궁금할 것입니다. 혼합 곱의 용도는 무엇입니까? 음, 수학에서는 두 가지 주요 용도가 있습니다. 평행육면체의 부피를 계산하는 것과 사면체의 부피를 계산하는 것입니다.

평행육면체의 부피는 기하학적 장의 3차원을 표시하는 벡터의 혼합 곱의 절대값과 같습니다.

혼합 생성물의 또 다른 응용은 사면체의 부피를 결정하는 것입니다. 기하학적으로 혼합 생성물의 절대값의 6번째 부분은 사면체의 부피를 나타내기 때문에:

혼합제품 또는 삼중점 제품의 특성

혼합 제품 또는 삼중 스칼라 제품은 다음과 같은 특성을 갖습니다.

일반적으로 혼합곱 벡터의 순서 가 바뀌면 부호도 바뀌게 된다. 따라서 혼합된 제품 벡터의 순서가 중요합니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = -\bigl[\vv{\text{v}},\vv{\text{u}},\vv{\text{w}}\bigr] = -\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{w}},\vv{\text{v}}\bigr] = - \bigl[\vv{\text{w}},\vv{\text{v}},\vv{\text{u}}\bigr]$

그러나 순서를 주기적으로 변경하면 부호는 변경되지 않습니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] = \bigl[\vv{\text{v}},\vv{\text{w}},\vv{\text{u}}\bigr] = \bigl[\vv{\text{w}},\vv{\text{u}},\vv{\text{v}}\bigr]$

3차원 공간(R3)에서 3개의 선형 종속 또는 동일 평면 벡터(동일한 평면에 속함)의 혼합 곱은 0과 같습니다.

혼합 제품 문제 해결

연습 1

3개의 벡터가 주어지면:

$\vv{\text{u}}= (3,-1,2) \qquad \vv{\text{v}}= (-2,0,1)\qquad \vv{\text{w}}= (5,1,-1)$

세 벡터의 혼합 곱을 계산합니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]$

해결책 보기

혼합 곱을 찾으려면 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 풀어야 합니다.

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\[1.1ex] -2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 5 & 1 & -1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 0-5-4-0-3+2 \\[2ex] & = \bm{-10} \end{aligned}$

연습 2

3개의 벡터가 주어지면:

$\vv{\text{u}}= (7,2,-3) \qquad \vv{\text{v}}= (2,4,9)\qquad \vv{\text{w}}= (4,3,-1)$

세 벡터 사이의 혼합 곱을 결정합니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]$

해결책 보기

혼합 곱을 찾으려면 선 형태의 벡터의 데카르트 좌표를 갖는 행렬식을 풀어야 합니다.

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 7 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 9 \\[1.1ex] 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= -28+72-18+48-189+4 \\[2ex] & = \bm{-111} \end{aligned}$

연습 3

세 변이 다음 벡터인 평행육면체의 부피를 계산하세요.

$\vv{\text{u}}= (0,2,5) \qquad \vv{\text{v}}= (-1,6,2)\qquad \vv{\text{w}}= (3,1,2)$

해결책 보기

평행육면체의 부피는 모서리로 갖는 3개의 벡터를 혼합한 곱의 절대값과 같습니다. 따라서 먼저 벡터의 삼중 교차 곱을 계산합니다.

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 6 & 2 \\[1.1ex] 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 0+12-5-90-0+4 \\[2ex] & = -79 \end{aligned}$

따라서 평행 육면체의 부피는 혼합 제품 결과의 절대 값입니다.

$V= \lvert -79 \rvert = \bm{79}\ \mathbf{u}\bm{^3}$

연습 4

정점이 다음 점인 사면체의 부피를 계산하십시오.

$A(1,0,2) \qquad B(3,3,2)\qquad C(5,-1,4)\qquad D(4,2,1)$

해결책 보기

먼저, 사면체의 모서리를 나타내는 벡터를 계산합니다.

$\vv{AB}=B-A= (3,3,2)-(1,0,2)=(2,3,0)$

$\vv{AC}=C-A= (5,-1,4)-(1,0,2)=(4,-1,2)$

$\vv{AD}=D-A= (4,2,1)-(1,0,2)=(3,2,-1)$

사면체의 부피는 모서리에 대해 갖는 벡터 3개의 혼합 곱 절대값의 6분의 1에 해당합니다. 따라서 먼저 발견된 벡터의 혼합 곱을 계산합니다.

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] 4 & -1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 2+18+0-0-8+12 \\[2ex] & = 24 \end{aligned}$

따라서 사면체의 부피는 혼합된 제품의 절대값의 1/6이 됩니다.

$V= \cfrac{1}{6} \cdot \lvert 24 \rvert = \cfrac{24}{6} = \bm{4} \ \mathbf{u}\bm{^3}$

세 벡터의 혼합곱(또는 삼중점곱)

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