세그먼트 중간에 대한 공식

9월 16, 2023

이 페이지에서는 세그먼트 중간점의 의미를 설명합니다. 또한 공식을 사용하여 세그먼트의 중간을 찾는 방법을 알아봅니다. 세그먼트 중간점의 예, 연습 및 해결된 문제도 확인할 수 있습니다.

세그먼트의 중간점은 무엇입니까?

수학에서 선분의 중간점 은 선분의 끝점에서 같은 거리에 위치한 점입니다. 따라서 중간은 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다.

세그먼트 중간 정의

또한 중간점은 선분의 중심에 있으므로 선분의 이등분선에 속합니다.

반면에 세그먼트의 중간점은 두 개의 기하학적 요소, 즉 세그먼트의 두 끝에서 등거리에 있는 지점이기도 합니다.

세그먼트의 중간점을 계산하는 방법은 무엇입니까?

세그먼트의 극점에 대한 데카르트 좌표가 주어지면:

$A(x_1,y_1) \qquad B(x_2,y_2)$

상기 세그먼트 중앙의 좌표는 극단점 좌표의 절반합에 해당합니다.

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

이는 데카르트 평면(R2)의 세그먼트 중앙에 대한 공식입니다. 하지만 이 공식은 R3의 데카르트 공간에도 적용 가능합니다. Z 좌표의 절반만 더하면 됩니다.

세그먼트 중간점의 좌표를 계산하는 방법의 예를 살펴보겠습니다.

다음 점으로 구성된 세그먼트의 중간점을 결정합니다.

$A(2,5) \qquad B(4,-1)$

세그먼트의 중간을 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{2+4}{2} , \frac{5+(-1)}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{6}{2} , \frac{4}{2} \right)$

$\displaystyle \bm{M\left(3,2\right)}$

세그먼트 중간에 해결된 연습 문제

연습 1

끝점이 다음 두 점인 선분의 중간점은 무엇입니까?

$A(3,-2) \qquad B(5,8)$

솔루션 보기

세그먼트의 중간을 찾으려면 다음 수식을 직접 적용해야 합니다.

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{3+5}{2} , \frac{-2+8}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{8}{2} , \frac{6}{2} \right)$

$\displaystyle \bm{M\left(4,3\right)}$

연습 2

점 A에서 시작하고 중간점이 M인 선분의 끝점 좌표를 구합니다.

$A(4,-1) \qquad M(-2,1)$

솔루션 보기

이 경우 우리는 초기점과 세그먼트 중간의 좌표를 알고 있습니다. 따라서 우리는 우리가 알고 있는 좌표를 세그먼트의 중간점에 대한 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)=(x_m,y_m)$

$\displaystyle \left(\frac{4+x_2}{2} , \frac{-1+y_2}{2} \right)=(-2,1)$

이제 이전 방정식에서 세그먼트의 끝점 좌표를 구합니다.

X 좌표

$\cfrac{4+x_2}{2} = -2$

$4+x_2 = -2 \cdot 2$

$4+x_2 = -4$

$x_2 = -4-4$

$x_2 = -8$

Y 좌표

$\cfrac{-1+y_2}{2} = 1$

$-1+y_2 = 1 \cdot 2$

$-1+y_2 = 2$

$y_2 = 2+1$

$y_2 = 3$

따라서 세그먼트의 마지막 끝 좌표는 다음과 같습니다.

$\bm{B(-8,3)}$

연습 3

다음 평행사변형이 주어지면:

세그먼트 4의 중간

우리는 M이 평행사변형의 중심이고 점 A, B, C의 좌표가 다음과 같다는 것을 알고 있습니다.

$A(1,1) \quad B(5,1) \quad C(7,3)$

이 정보와 중간점 공식을 사용하여 점 D의 좌표를 계산합니다.

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선분 중앙의 공식을 사용하여 점 D의 좌표를 찾으려면 먼저 점 M의 좌표를 계산한 다음 점 D의 좌표를 계산해야 합니다.

점 M은 세그먼트 BC의 중간점이므로 좌표는 다음과 같습니다.

$\displaystyle M\left(\frac{5+7}{2} , \frac{1+3}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(6,2 \right)$

그리고 점 M을 알면 점 D를 찾을 수 있습니다. 점 M은 또한 세그먼트 AD의 중간이므로 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\frac{1+x_2}{2} , \frac{1+y_2}{2} \right)=(6,2)$

점 D의 X 좌표

$\cfrac{1+x_2}{2} = 6$

$1+x_2 = 12$

$x_2 = 11$

점 D의 Y 좌표

$\cfrac{1+y_2}{2} = 2$

$1+y_2 = 4$

$y_2 = 3$

따라서 점 D의 좌표는 다음과 같습니다.

$\bm{D(11,3}$

연습 4

중간점에서 세그먼트 PQ에 수직인 선의 연속 방정식을 계산합니다. 포인트가 되세요

$P(1,4)$

그리고

$Q(5,-2).$

솔루션 보기

선의 방정식을 결정하려면 선의 방향 벡터와 선의 일부인 점이 필요합니다.

이 경우 선의 방향 벡터는 벡터에 수직이 됩니다.

$\vv{PQ}.$

따라서 우리는 벡터를 계산합니다

$\vv{PQ}:$

$\vv{PQ} = Q - P = (5,-2)-(1,4) = (4,-6)$

그리고 우리는 벡터 사이의 벡터 구성 요소를 변경하고 구성 요소의 부호를 변경하여 다른 벡터에 수직인 벡터를 찾을 수 있습니다. 따라서:

$\vv{PQ}_\perp =(6,4)$

이제 선의 방향 벡터가 있으므로 선에 속하는 점 하나만 있으면 됩니다. 이 경우 명령에서는 선이 세그먼트의 중간점을 통과한다고 알려주므로 다음 공식을 사용하여 중간점을 계산합니다.

$\displaystyle M\left(\frac{1+5}{2} , \frac{4+(-2)}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(3,1 \right)$

마지막으로 계산된 점과 벡터로부터 선의 연속 방정식을 구성합니다.

$\cfrac{x-3}{6}=\cfrac{y-1}{4}$

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