라인: 정의, 특성, 유형, 방정식… -마토리티

선과 관련된 모든 것에 대한 설명: 선이 무엇인지, 존재하는 다양한 유형, 선을 수학적으로 표현하는 방법(방정식), 선의 상대적 위치, 두 선 사이의 각도를 계산하는 방법, 선의 해석 선의 기울기,…

라인이란 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 다음과 같습니다.

선은 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표현되는 무한한 연속 점 집합입니다.

반면에 선은 서로 다른 두 지점 사이의 가능한 최소 거리에 해당합니다.

또한 선은 같은 방향으로 연장되는 선이므로 하나의 차원만 갖습니다.

선 종류

우리는 방금 선이 무엇인지 살펴보았지만 각각 고유한 특성을 지닌 여러 유형의 선이 있다는 것을 알아야 합니다. 따라서 라인은 다음과 같이 분류될 수 있습니다.

평행선

평행선은 결코 교차하지 않는 선입니다. 즉, 궤적이 무한대로 확장되어도 서로 닿지 않습니다. 따라서 두 평행선의 점은 항상 서로 같은 거리를 가지며, 더욱이 두 평행선에는 공통점이 없습니다.

교차선

수학에서는 두 선이 한 점에서만 교차할 때 교차합니다 . 따라서 교차하는 선에는 공통점이 하나만 있습니다.

교차하는 선의 예로는 직각(90°) 4개를 형성하는 점에서 교차하는 선인 수직선 이 있습니다.

잘 아시다시피, 수직선은 매우 중요하므로 이러한 유형의 선에 대해 알아야 할 모든 것에 대한 설명이 포함된 페이지가 있습니다. 두 선이 수직인 경우 서로 수직인 선을 계산하는 방법, 예 수직선에 대한 연습 문제 등을 해결했습니다. 그래서 더 알고 싶으실 경우 를 대비해 선 사이의 수직성 페이지를 남겨드립니다.

반면, 교차하지만 교차하지 않고 90도 각도를 형성하는 선을 사선 이라고 합니다.

일치하는 선

두 개의 일치하는 선은 모든 점을 공유하는 두 개의 선입니다. 따라서 두 개의 일치하는 선은 완전히 동일합니다.

레이

반선(half line)은 한 점에서 잘라서 선을 나누는 두 부분 각각을 말합니다.

예를 들어 이전 선을 점 A로 나누어 절반 선을 만들 수 있습니다.

$s$

그리고

$t.$

선의 방정식

분석기하학에서는 선을 분석적으로 표현하기 위해 선의 방정식을 사용합니다. 그리고 평면(R2)이나 공간(R3)에서 선의 방정식을 찾으려면 선에 속하는 점과 선의 방향 벡터만 있으면 됩니다.

이전 줄의 그래픽 표현에서 볼 수 있듯이 줄 이름은 소문자로 지정됩니다. 이 경우

$r.$

직선의 방정식에는 여러 가지 유형이 있습니다. 모든 유형의 선 방정식의 목표는 동일합니다. 선을 수학적으로 표현하는 것입니다. 그러나 선의 각 방정식에는 고유한 속성이 있으므로 문제에 따라 둘 중 하나를 사용하는 것이 좋습니다. 아래에는 선의 모든 방정식에 대한 공식이 있습니다.

선의 벡터 방정식

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

선의 벡터 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부를 형성하는 알려진 점의 좌표입니다.

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

값이 선의 각 점에 따라 달라지는 스칼라(실수)입니다.

선의 매개변수 방정식

선의 매개변수 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부를 형성하는 알려진 점의 좌표입니다.

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

값이 선의 각 점에 따라 달라지는 스칼라(실수)입니다.

직선의 연속방정식

직선의 연속 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부를 형성하는 알려진 점의 좌표입니다.

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

직선의 암시적 또는 일반 방정식

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

선의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식 의 공식은 다음과 같습니다.

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
계수
$A$

는 선 방향 벡터의 두 번째 구성요소입니다.

$A=\text{v}_2}$
계수
$B$

방향 벡터 변경 기호의 첫 번째 구성 요소는 다음과 같습니다.

$B=-\text{v}_1}$
계수
$C$

알려진 점을 대체하여 계산됩니다.

$P$

선의 방정식에서.

공식에서 직선의 암시적 방정식은 연속 방정식의 분수를 곱하여 얻을 수도 있습니다.

직선의 명시적 방정식

직선의 명시적 방정식에 대한 공식은 다음과 같습니다.

금:

$m$

선의 기울기입니다.
$n$

y절편, 즉 Y축과 교차하는 높이입니다.

이 특별한 경우에 명시적 방정식을 계산하는 또 다른 방법은 암시적 방정식을 사용하는 것입니다. 이렇게 하려면 변수를 삭제하면 됩니다.

$y$

암시적 방정식의

선의 점-기울기 방정식

선의 점-기울기 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

금:

$m$

선의 기울기입니다.
$P_1, P_2$

은 선 위의 한 점의 좌표입니다

$P(P_1,P_2).$

선의 정식 또는 분절 방정식

이 선 방정식의 변형은 덜 알려져 있지만 선의 표준 방정식은 선과 데카르트 축의 교차점에서 얻을 수 있습니다.

주어진 선의 축과의 두 교차점은 다음과 같습니다.

X축으로 잘라내기:

$(a,0)$

Y축으로 잘라내기:

$(0,b)$

직선의 표준 방정식 공식은 다음과 같습니다.

우리는 방금 선의 모든 방정식에 대한 공식을 보았습니다. 그러나 원할 경우 선의 방정식에 대한 연습을 통해 더 깊이 연습할 수 있습니다. 또한 이 페이지에서는 단선 방정식에 대한 자세한 설명과 모든 유형의 단선 방정식이 계산되는 방법에 대한 예를 볼 수 있습니다.

선의 기울기의 의미

위의 모든 정보를 통해 우리는 이미 선의 방정식이 어떻게 생겼는지, 선을 설명하는 한 가지 방법은 기울기를 사용하는 것임을 완전히 알고 있습니다. 그런데 정말… 선의 기울기가 무슨 뜻일까요?

선의 기울기는 그래프의 각 수평 단위에 대해 선이 올라가는 수직 단위를 나타냅니다.

예를 들어, 다음 선의 표현에서는 기울기가 2이기 때문에 각 수평 단위에 대해 2 수직 단위만큼 전진하는 것을 볼 수 있습니다.

또한 선의 기울기는 가파른 정도를 나타냅니다.

선이 증가(상승)하는 경우 해당 기울기는 양수입니다.
선이 감소(하향)하는 경우 해당 기울기는 음수입니다.
선이 완전히 수평이면 기울기는 0과 같습니다.
선이 완전히 수직이면 기울기는 무한대와 같습니다.

평면에서 두 선의 상대적 위치

2차원(R2)으로 작업할 때 두 선 사이에 가능한 상대 위치에는 3가지 유형이 있습니다.

교차선

교차하는 두 선의 공통점은 단 하나뿐입니다.

평행선

공통점이 없으면 두 선은 평행합니다. 즉, 그들이 길을 건너지 않는 경우입니다.

일치하는 선

두 선의 점이 모두 공통이면 두 선은 동일합니다.

반면에 평면의 두 선 사이의 각도도 상대적 위치에 따라 달라집니다.

교차선은 0°(포함되지 않음)에서 90°(포함) 사이의 각도로 교차합니다. 또한 두 선이 90° 직각을 이룬다면 두 선이 수직임을 의미합니다.
평행선은 방향이 같으므로 0°의 각도를 이룹니다.
그리고 같은 이유로 일치하는 선들도 그 사이의 각도가 0°가 됩니다.

두 선 사이의 각도

두 선 사이의 각도를 계산하는 방법에는 여러 가지가 있으며 일부는 매우 복잡하므로 두 선 사이의 각도를 결정하는 가장 간단한 방법을 설명하겠습니다.

방향 벡터를 사용하여 두 선 사이의 각도를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

서로 다른 두 선의 방향 벡터가 주어지면:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

이 두 선 사이의 각도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

금

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

그리고

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

벡터의 모듈입니다

$\vv{\text{u}}$

그리고

$\vv{\text{v}}$

각기.

벡터의 크기를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

분명히 공식을 사용하여 두 선이 이루는 각도의 코사인을 계산한 후에는 각도의 값을 알기 위해 코사인을 뒤집어야 합니다.

라인이란 무엇입니까?

선 종류

평행선

교차선

일치하는 선

레이

선의 방정식

선의 벡터 방정식

선의 매개변수 방정식

직선의 연속방정식

직선의 암시적 또는 일반 방정식

직선의 명시적 방정식

선의 점-기울기 방정식

선의 정식 또는 분절 방정식

선의 기울기의 의미

평면에서 두 선의 상대적 위치

두 선 사이의 각도

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