선형 및 2차 보간

이 페이지에서는 함수를 보간한다는 것이 무엇을 의미하는지 배우게 됩니다. 구체적으로 선형 보간과 2차 보간을 설명합니다. 또한 여러 예제를 볼 수 있으므로 함수가 어떻게 보간되는지에 대해 의심의 여지가 없습니다.

함수 보간이란 무엇입니까?

보간의 정의는 다음과 같습니다.

수학에서 보간은 끝점이 알려진 구간의 한 지점에서 함수가 취하는 값을 근사화하는 데 사용되는 절차입니다.

보간과 외삽의 차이점은 무엇입니까?

보간과 외삽은 둘 다 알려진 두 지점의 한 지점에서 함수 값을 추정하는 것과 관련되므로 매우 유사한 의미를 갖습니다.

그러나 보간법은 알려진 두 점에 의해 형성된 간격에 위치한 점의 근사치를 만드는 것으로 구성됩니다. 대신, 외삽한다는 것은 알려진 두 점이 구성되는 간격 외부의 점에서 함수 값을 추정하는 것을 의미합니다.

위 그래프에서 볼 수 있듯이 알려진 점은 (2,3)과 (6,5)입니다. 이 경우 알려진 점 사이에 있기 때문에 x=4로 보간하고 싶고, 알려진 간격 밖에 있기 때문에 x=8로 외삽하려고 합니다.

분명히 보간된 값은 외삽된 값보다 훨씬 더 신뢰할 수 있습니다. 왜냐하면 외삽에서는 함수가 유사한 경로를 따른다고 가정하기 때문입니다. 그러나 함수의 기울기가 알려진 구간의 범위를 벗어나서 추정이 잘못될 가능성이 있습니다.

선형 보간

선형 보간은 뉴턴 다항식 보간의 특별한 경우입니다. 이 경우 1차 다항식, 즉 선형 또는 아핀 함수를 사용하여 한 점에서의 함수 값을 추측합니다.

두 가지 알려진 점을 고려하면,

$P_1(x_1,y_1)$

그리고

$P_2(x_2,y_2)$

, 선형 보간을 수행하는 공식은 다음과 같습니다.

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

금

$x$

그리고

$y$

보간된 점의 좌표입니다.

우리는 이 공식이 선의 점-기울기 방정식과 일치함을 확인할 수 있습니다.

선형 보간의 예

다음으로 선형 보간의 개념 이해를 마무리하기 위한 예제로 문제를 살펴보겠습니다.

공장에서는 4시간에 2개의 품목이 생산되고, 8시간에 10개의 품목이 생산됩니다. 생산된 품목의 수가 작업 시간과 선형 관계에 있다면 5시간 동안 몇 개의 품목이 생산됩니까?

먼저, 작업한 시간과 생산된 품목을 연결하는 선형 함수를 정의해야 합니다. 이 경우 X는 근무 시간, Y는 제조된 품목이 됩니다. 작업한 시간에 따라 더 많거나 더 적은 품목이 생산되기 때문입니다. 즉, 생산은 시간에 따라 달라지는 것이지 그 반대는 아닙니다.

이 명령문을 통해 함수가 점 (4,2)와 (8,10)을 통과한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 해당 지점에 보간하려면 공식을 적용하는 것으로 충분합니다.

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

점의 값을 방정식으로 대체합니다.

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

그리고 우리는 다음 작업을 수행합니다.

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

즉 5시간이면 4개의 아이템이 생산됩니다.

2차 보간

2차 보간에는 1차 다항식 대신 2차 다항식으로 보간하는 작업이 포함됩니다. 따라서 이 경우 2차 또는 포물선 함수가 사용됩니다.

$y = ax^2+bx+c$

일반적으로 2차 보간은 1차 보간보다 차수가 높기 때문에 더 정확합니다. 반대로 보간을 수행하려면 한 점이 더 필요합니다.

수학자 라그랑주는 n차 보간 함수를 찾는 공식을 개발했습니다. 2차 경우의 경우 라그랑주 보간 다항식은 다음과 같습니다.

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

알려진 지점

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

그리고

$P_3(x_3,y_3)$

가로좌표에서 함수의 값을 찾는 데 사용됩니다.

$x.$

그러나 실제로는 라그랑주 보간법을 일반적으로 사용하지 않고, 관찰된 3개의 점으로부터 2차 함수를 계산한 후 함수에 보간할 점을 평가한다. 다음은 이것이 어떻게 수행되는지 확인하기 위한 해결된 연습입니다.

2차 보간 예

점 (0,1), (1,0) 및 (3,4)를 통과하는 2차 함수를 결정한 후 다음 값을 보간합니다.
$x=-1.$

이차 함수는 2차 다항식이므로 보간 함수는 다음과 같습니다.

$y = ax^2+bx+c$

따라서 계수를 계산해야 합니다.

$a$

$b$

그리고

$c$

. 이를 위해 알려진 점의 좌표를 함수로 대체합니다.

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

이제 방정식 시스템을 해결합니다.

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

우리는 이미 그 가치를 알고 있습니다.

$c$

, 따라서 우리는 대체 방법으로 시스템을 풀 수 있습니다: 우리는 알려지지 않은 것을 지웁니다

$a$

두 번째 방정식에서 마지막 방정식에 있는 표현식을 대체합니다.

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$