선형 함수 및 아핀 함수 -

이 기사에서는 아핀 함수와 선형 함수에 대한 설명과 이 두 가지 유형의 함수 사이에 존재하는 차이점을 찾을 수 있습니다. 또한 아핀 함수와 선형 함수를 그래프로 표시하는 방법과 두 점에서 해당 표현식을 계산하는 방법에 대한 예를 볼 수 있습니다. 마지막으로, 단계별로 해결되는 여러 연습문제를 통해 훈련할 수 있습니다.

아핀함수와 선형함수란 무엇인가?

아핀 함수와 선형 함수의 정의는 다음과 같습니다.

아핀 함수는 1차 다항식 함수, 즉 그래프에 표시되는 직선 함수입니다. 관련 기능은 다음과 같습니다.

$f(x)=mx+n$

금

$m$

는 선의 기울기이고

$n$

이것이 y절편, 즉 함수가 세로 축과 교차하는 지점입니다.

수학에서 아핀 함수는 선형 대수학의 맥락에서 선형 변환이라고도 합니다.

선형 함수는 독립항이 없는 아핀 함수입니다. 따라서 선형 함수의 공식은 다음과 같습니다.

$f(x)=mx$

금

$m$

선의 기울기입니다.

선형 함수와 아핀 함수의 정의역과 범위(또는 범위)는 모두 실수입니다.

$\text{Dom } f=\mathbff{R}$

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

선형 함수와 아핀 함수의 차이점은 무엇입니까?

이제 선형 함수와 아핀 함수의 개념을 살펴보았으므로 두 개념이 서로 매우 유사하다는 것을 알게 될 것입니다. 그러나 이들 사이의 다음 차이점은 매우 중요합니다.

선형 함수와 아핀 함수의 유일한 차이점은 선형 함수에는 독립적인 항이 없는 반면 아핀 함수는 항상 절편 계수(n)가 0(0)과 다르다는 것입니다.

선형 함수

$f(x)=mx$

선형 함수

$f(x)=mx+n$

이는 선형 함수가 항상 좌표 원점(0,0)을 통과한다는 것을 의미합니다. 반면에 아핀 함수는 0이 아닌 절편을 갖기 때문에 이 지점을 절대 통과하지 못합니다.

선형 또는 아핀 함수의 기울기 및 y절편

이 섹션에서는 용어의 의미를 이해하기 위해 아핀 또는 선형 함수의 예를 분석합니다.

$m$

그리고

$n$

, 즉 기울기와 y절편입니다.

그래프에 표시된 함수의 식을 결정하고 이를 선형 함수 또는 아핀 함수로 분류합니다.

이러한 유형의 함수는 다음 표현식을 따릅니다.

$f(x)=mx+n$

$n$

이것이 y절편입니다. 즉, 함수가 수직 Y축과 교차하는 지점입니다. 따라서 이 경우:

$n=4$

다른 쪽에서는

$m$

선의 기울기입니다. Y는 두 점 사이의 y 차이를 동일한 두 점 사이의 x 차이로 나누어 계산할 수 있습니다.

$m=\cfrac{\Delta y }{\Delta x} = \cfrac{3}{2}$

$m$

“각 x에 대해 y가 얼마나 증가하는지”를 의미하므로 이 경우 함수는 “3y가 각 2x에 대해 증가합니다”입니다 .

결론적으로, 그래프에 표현된 아핀 함수의 표현식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \bm{f(x)=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x+4}$

또한 y절편이 0이 아니므로 아핀 함수 입니다.

아래에서는 이해를 돕기 위해 선형 및 아핀 함수의 더 많은 예를 보여줍니다.

이 예에서 볼 수 있듯이 기울기가 클수록 선의 가파르고 따라서 함수가 커집니다. 마찬가지로, 기울기 계수는 함수의 증가 또는 감소를 결정합니다.

기울기가 양수이면 함수는 증가합니다 . 즉, x가 증가함에 따라 증가합니다.
기울기가 음수이면 함수는 감소합니다 . 즉, x가 증가함에 따라 감소합니다.

또한 기울기를 통해 두 선이 평행인지 수직인지 알 수 있습니다.

두 선의 기울기가 같으면 평행 합니다. 즉, 어느 지점에서도 교차하지 않거나 완전히 동일합니다.

$m_1 = m_2$

반면에 두 선은 수직 입니다. 즉, 기울기가 다음 관계에 해당하는 경우 수직 각도(90°)에서 교차합니다.

$m_1 = -\cfrac{1}{m_2}$

아핀 또는 선형 함수 표현의 예

예제를 사용하여 1차 함수를 그래프로 표시하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 아핀 함수를 그래프로 그려보세요:

$f(x)=2x-1$

가장 먼저 해야 할 일은 값의 배열을 만드는 것입니다. 이를 위해 우리가 원하는 값을 부여합니다.

$x$

의 값을 얻기 위해

$f(x)$

$f(x)=2x-1$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1) = 2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

두 개의 포인트가 있는 값 테이블이면 충분하지만 그것이 올바른지 확인하기 위해 더 많은 포인트를 수행할 수 있습니다.

값 테이블을 만든 후에는 그래프에 점을 그립니다.

마지막으로 점들을 결합하고 선을 그립니다.

이런 식으로 우리는 이미 함수를 그래프로 표현했습니다. 보시다시피, 복잡하지 않습니다. 먼저 값의 표를 만든 다음 그래프에 점을 표시하면 됩니다.

두 점에서 선형 또는 아핀 함수를 계산하는 방법

이제 예제를 사용하여 두 점에서 선형 또는 아핀 함수를 찾는 방법을 살펴보겠습니다.

다음을 충족하는 선형 함수를 계산합니다.
$f(3)=5$

그리고 포인트를 통과해

$(1,-1).$

가장 먼저,

$f(3)=5$

이는 함수가 점을 통과한다는 것을 의미합니다.

$(3,5)$

따라서 함수가 통과하는 두 개의 점이 있으므로 기울기를 계산할 수 있습니다.

$m$

기능:

두 가지 점을 고려하면,

$P_1=(x_1,y_1)$

그리고

$P_2=(x_2,y_2)$

, 경사

$m$

함수의 계산은 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

우리의 경우 함수는 점을 통과합니다.

$(3,5)$

그리고

$(1,-1)$

. 그래서 경사는

$m$

기능은 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{-1-5}{1-3} = \cfrac{-6}{-2} = 3$

따라서 함수의 형식은 다음과 같습니다.

$f(x) = mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 3} \ f(x)=3x+n$

일단 우리가 알면

$m$

우리는 미스터리를 풀 수 있어요

$n$

. 이를 위해 함수에 속하는 점의 좌표를 방정식에 대체합니다. 예를 들어 점 (3.5):

$f(x) = 3x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ 5} \ 5=3\cdot 3+n$

결과 방정식을 해결합니다.

$5=3\cdot 3+n$

$5= 9 + n$

$5-9=n$

$-4=n$

따라서 선형 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x)=3x-4}$

선형 및 아핀 함수에 대한 해결된 연습

연습 1

다음 아핀 함수의 기울기와 원점을 결정합니다.

$f(x)=-5x-2$

솔루션 보기

선형 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

$f(x)=mx+n .$

따라서 함수의 기울기는 x 에 수반되는 숫자이며, 이 경우에는 -5입니다.

$\bm{m=-5}$

그리고 y절편은 독립항이며 이 경우에는 -2입니다.

$\bm{n=-2}$

연습 2

다음 아핀 함수를 그래프로 그려보세요:

$f(x)=x+1$

솔루션 보기

우리는 먼저 가치를 부여합니다

$x$

값 테이블을 생성하려면:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0+1 = 1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1+1= 2$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2+1 = 3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=3+1 = 4$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=4+1 = 5$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{array}$

그런 다음 값 표의 점을 그래프에 표시하고 선을 그립니다.

연습 3

그래프에 다음 아핀 함수를 플롯합니다.

$f(x)=-2x+6$

솔루션 보기

우리는 먼저 가치를 부여합니다

$x$

값 테이블을 생성하려면:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-2\cdot0+6=6$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-2\cdot1+6=4$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2\cdot2+6=2$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-2\cdot3+6=0$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=-2\cdot4+6=-2$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 6 \\ 1 & 4 \\ 2 & 2 \\ 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{array}$

마지막으로 값 표의 점을 그래프에 표시하고 선을 그립니다.

연습 4

점 (2,3)과 (0,1)을 통과하는 아핀 함수의 표현식을 찾으십시오.

솔루션 보기

함수는 점 (2,3)과 (0,1)을 통과하므로 함수의 기울기는 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{1-3}{0-2} = \cfrac{-2}{-2} = 1$

그리고 함수의 형식은 다음과 같습니다.

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 1} \ f(x)=1x+n$

m을 알면 n을 계산할 수 있습니다. 이를 위해서는 함수에 속하는 점의 좌표를 방정식에 대입해야 합니다. 예를 들어 점 (2,3)은 다음과 같습니다.

$f(x)=x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 2 \ ; \ f(x) \ = \ 3}$

$3=2+n$

이제 결과 방정식을 풀어야 합니다.

$3-2=n$

$1 = n$

따라서 함수는 다음 표현식에 해당합니다.

$\bm{f(x)=x+1}$

연습 5

다음 아핀 함수를 그래프로 그려보세요:

$f(x)=2x-1$

솔루션 보기

우리는 먼저 가치를 부여합니다

$x$

값 테이블을 생성하려면:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

그런 다음 값 표의 점을 그래프에 표시하고 선을 그립니다.

연습 6

다음 두 조건을 만족하는 선형 함수를 계산합니다.

$\begin{array}{c}f(3) =-2 \\[3ex] f(-1)=6 \end{array}$

솔루션 보기

그것이 실현되기를

$f(3)=-2$

이는 함수가 점 (3,-2)를 통과한다는 것을 의미합니다. 그리고 같은 방식으로,

$f(-1)=6$

이는 함수가 점(-1.6)을 통과한다는 의미입니다.

따라서 함수는 점 (3,-2)와 (-1,6)을 통과하므로 기울기는 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{6-(-2)}{-1-3} = \cfrac{8}{-4} = -2$

따라서 함수의 형식은 다음과 같습니다.

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -2} \ f(x)=-2x+n$

m을 알면 n을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 함수에 속하는 점의 좌표를 방정식에 대체합니다. 예를 들어 점 (3,-2)는 다음과 같습니다.

$f(x)=-2x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ -2} \ -2=-2(3)+n$

그리고 우리는 결과 방정식을 푼다:

$-2=-6+n$

$-2+6=n$

$4 = n$

따라서 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x)=-2x+4}$

연습 7

수행하는 아핀 함수를 찾아보세요.

$f(1) =6$

(3.5) 지점을 통과합니다.

솔루션 보기

그것이 실현되기를

$f(1)=6$

이는 함수가 점 (1,6)을 통과한다는 것을 의미합니다.

따라서 함수는 점 (1.6)과 (3.5)를 통과하므로 기울기는 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{5-6}{3-1} = \cfrac{-1}{2} = -\cfrac{1}{2}$

따라서 함수의 형식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -\frac{1}{2}} \ f(x)=-\frac{1}{2}x+n$

m 이라는 항을 알면 계수 n을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 함수에 속하는 점의 좌표를 방정식에 대체합니다. 예를 들어 점 (1,6)은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 1 \ ; \ f(x) \ = \ 6} \ 6=-\frac{1}{2}\cdot 1+n$

결과 방정식을 해결합니다.

$6=-\cfrac{1}{2}+n$

$6+\cfrac{1}{2}=n$

분수를 더하려면 먼저 분수를 공통 분모로 줄인 다음 분자를 더해야 한다는 점을 기억하세요.

$\cfrac{2 \cdot 6}{2} +\cfrac{1 \cdot 1}{2}=n$

$\cfrac{12}{2} +\cfrac{1}{2}=n$

$\cfrac{13}{2}=n$

따라서 함수는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \bm{f(x)=-}\mathbf{\frac{1}{2}}\bm{x +}\mathbf{\frac{13}{2}}$

연습 8

선형 및 아핀 함수와 관련된 다음 문제를 해결합니다.

한 매장에서는 가격이 €15/개일 때 40개 제품을 판매하고, 가격이 €10/개일 때 65개 제품을 판매합니다.

아핀 함수라고 가정하고 제품에 대한 수요 함수를 계산합니다.
가격이 €12/개로 설정되면 몇 개가 판매됩니까?

솔루션 보기

아핀 함수이기 때문에 함수는 다음 유형이 됩니다.

$f(x)=mx+n .$

금

$x$

제품의 단가가 됩니다.

$f(x)$

판매된 단위가 됩니다.

보도 자료에 따르면 가격이 €15/개일 때 40개 단위가 판매됩니다. 그러므로 다음과 같이

$x$

가격이고

$f(x)$

단위가 판매된 경우 다음 평등이 존중되어야 합니다.

$f(15)=40$

그리고 가격이 €10/개일 때 65개 단위가 판매됩니다. 따라서 동일한 추론을 사용하면 다음과 같습니다.

$f(10)=65$

그것이 실현되기를

$f(15)=40$

이는 함수가 점(15.40)을 통과한다는 의미입니다. 그리고

$f(10)=65$

이는 함수가 점(10.65)을 통과한다는 의미입니다.

따라서 함수의 기울기는 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{65-40}{10-15} = \cfrac{25}{-5} = -5$

따라서 함수의 형식은 다음과 같습니다.

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -5} \ f(x)=-5x+n$

m을 알면 n을 계산할 수 있습니다. 이를 위해 함수에 속하는 점의 좌표를 방정식에 대체합니다. 예를 들어 시점(오후 3시 40분)은 다음과 같습니다.

$f(x)=-5x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 15 \ ; \ f(x) \ = \ 40} \ 40=-5\cdot 15+n$

그리고 우리는 결과 방정식을 푼다:

$40=-75+n$

$40+75=n$

$115 = n$

따라서 판매를 가격에 연결하는 기능은 다음과 같습니다.

$\bm{f(x)=-5x+115}$

반면에 함수에서는

$x$

가격을 나타냅니다. 따라서 가격이 €12/개일 경우 얼마나 많은 단위가 판매될지 알아보려면 다음을 계산해야 합니다.

$f(12):$

$f(x)=-5x+115 \ \xrightarrow{x \ = \ 12} \ f(12)=-5\cdot 12+115$

$f(12)=-60+115$

$f(12)=\bm{55}$

따라서 가격이 €12/개라면 55개 단위가 판매됩니다.

아핀함수와 선형함수란 무엇인가?

선형 함수와 아핀 함수의 차이점은 무엇입니까?

선형 또는 아핀 함수의 기울기 및 y절편

아핀 또는 선형 함수 표현의 예

두 점에서 선형 또는 아핀 함수를 계산하는 방법

선형 및 아핀 함수에 대한 해결된 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

연습 8

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