선의 기울기(공식)

이 페이지에서는 선의 기울기에 대한 가장 자세한 설명을 볼 수 있습니다. 공식은 무엇인지, 계산 예는 무엇인지, 선의 기울기 개념이 무엇을 의미하는지 등… 또한 기울기를 쉽게 식별하는 방법도 볼 수 있습니다. 방정식에서 직선을 추출하고, 또한 단계별로 풀어가는 연습문제를 통해 연습할 수 있습니다.

선의 기울기 공식

선의 기울기는 두 점 사이의 수직 변위를 동일한 두 점 사이의 수평 변위로 나눈 값과 같습니다.

즉, 한 직선에 두 개의 점이 주어집니다.

$P_1(x_1,y_1) \qquad P_2(x_2,y_2)$

선의 기울기 공식은 다음과 같습니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

두 점에서 선의 기울기를 계산하는 예

다음으로, 다음 공식을 사용하여 선의 기울기를 계산하는 방법의 예를 살펴보겠습니다.

다음 두 점을 통과하는 선의 기울기를 계산합니다.

$P_1(3,1) \qquad P_2(5,7)$

이 선의 기울기를 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{7-1}{5-3}=\cfrac{6}{2} = \bm{3}$

따라서 선의 기울기는 3과 같습니다.

방정식에서 선의 기울기 찾기

위 섹션에서 우리는 선의 기울기를 수치적으로 결정하는 방법을 살펴보았습니다. 그러나 항상 계산을 해야 하는 것은 아니지만, 그 값은 선의 방정식을 통해 확인할 수도 있습니다. 각 방정식의 유형이 다르기 때문에 각 사례를 별도로 분석하겠습니다.

직선의 명시적 방정식이 주어진 기울기

선의 명시적 방정식은 다음 표현식을 따릅니다.

$y =\color{blue}\bm{m}\color{black}x+n$

그런 다음 매개변수

$m$

선의 기울기에 해당합니다.

선의 점-기울기 방정식이 주어진 기울기

선의 점-기울기 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$y -y_0=\color{blue}\bm{m}\color{black}(x-x_0)$

이전과 마찬가지로 계수는

$m$

선의 기울기에 해당합니다.

선의 암시적 방정식이 주어진 기울기

직선의 암시적 방정식이 주어지면(일반 또는 데카르트 방정식이라고도 함):

$Ax+By+C=0$

선의 기울기는 다음을 수행하여 찾을 수 있습니다.

$m=-\cfrac{A}{B}$

선의 방향 벡터를 고려한 경사

선의 방향 벡터는 방향을 표시하는 벡터입니다. 따라서 선의 방향 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

이 선의 기울기는 다음과 같습니다.

$m=\cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

각도에 따른 경사

마지막으로 선이 각도를 이룬다면

$\alpha$

가로축(X축)의 양수 부분에서 기울기는 각도의 탄젠트와 같습니다.

$m = \text{tg}(\alpha)$

선의 기울기의 의미

위의 모든 정보를 통해 우리는 선의 기울기를 찾는 방법을 이미 완벽하게 알고 있습니다. 그런데 정말… 선의 기울기가 무슨 뜻일까요?

선의 기울기는 그래프의 각 수평 단위에 대해 선이 올라가는 수직 단위를 나타냅니다.

예를 들어, 다음 선의 표현에서는 기울기가 2이기 때문에 각 수평 단위에 대해 2 수직 단위만큼 전진하는 것을 볼 수 있습니다.

또한 선의 기울기는 가파른 정도를 나타냅니다.

선이 증가(상승)하는 경우 해당 기울기는 양수입니다.
선이 감소(하향)하는 경우 해당 기울기는 음수입니다.
선이 완전히 수평이면 기울기는 0과 같습니다.
선이 완전히 수직이면 기울기는 무한대와 같습니다.

선의 상대적 위치

반면에 두 선 사이의 상대적 위치는 경사의 속성을 통해 알 수도 있습니다.

두 선의 기울기가 다르다면 이는 두 선이 교차한다는 의미입니다. 즉, 한 점에서 교차합니다.

또한 경사면을 가로지르는 두 선 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$\text{tg}(\alpha) = \cfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2}$

둘째, 두 직선의 기울기가 같다면 평행 하다는 뜻입니다.

마지막으로 두 개의 수직선 또는 직교선 (90°를 형성함)의 기울기는 다음 조건을 충족합니다.

이는 두 선이 서로 평행한지 아니면 수직인지 확인하는 한 가지 방법이지만, 다른 방법도 있으며 일부는 더 빠릅니다. 자세한 내용은 선 간의 수직성과 평행성에 대한 설명을 참조하세요. 또한 이 페이지에서는 다른 선과 수직(또는 평행)인 선을 찾는 방법도 설명합니다.

선의 기울기 문제 해결

연습 1

다음 두 점을 지나는 선의 기울기를 구합니다.

$P_1(5,6) \qquad P_2(8,3)$

해결책 보기

선의 기울기를 계산하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{3-6}{8-5}=\cfrac{-3}{3} = \bm{-1}$

연습 2

다음 두 점을 통과하는 선의 기울기를 계산합니다.

$P_1(-3,1) \qquad P_2(-2,-4)$

해결책 보기

선의 기울기를 찾으려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{-4-1}{-2-(-3)}=\cfrac{-5}{-2+3}=\cfrac{-5}{1} = \bm{-5}$

연습 3

각 선의 기울기는 얼마입니까?

$\begin{array}{lll} A) \ y= 2x+3 & \qquad & B) \ y-3=4(x+1) \\[2ex] C) \ 6x+2y-7=0 & \qquad & D) \ \begin{cases}x=3-t \\[2ex] y=1+2t \end{cases} \end{array}$