다른 점, 선, 평면에 대해 대칭인 점

여기서는 다른 점, 선 및 평면을 기준으로 대칭점을 계산하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한 단계별로 해결되는 예제와 연습문제도 볼 수 있습니다.

다른 점과 대칭인 점

대칭점이 어떻게 계산되는지 살펴보기 전에 다른 점에 대한 대칭점이 정확히 무엇인지 검토해 보겠습니다.

점 A’는 점 A’가 점 M으로부터 점 A와 점 M 사이의 거리와 동일한 거리에 대칭적으로 위치할 경우 다른 점 M에 대한 점 A의 대칭점입니다. 따라서 M은 다음으로 형성된 선분의 중간점입니다. 점 A와 A’.

$d(A,M) = d(A',M )$

한편, 점 M이 대칭중심이라고도 말합니다.

따라서 대칭점의 좌표를 계산하기 위해 세그먼트의 중간점에 대한 공식을 사용합니다.

$\cfrac{A+A'}{2}=M$

이 방정식에서 우리는 알려지지 않은 점 A’를 추출하고 다른 점에 대해 대칭인 점에 대한 공식을 얻습니다.

$\color{orange} \boxed{ \color{black} \quad A' = 2M - A \quad \vphantom{\Bigl)}}$

다른 점을 기준으로 대칭인 점을 찾는 예

예를 들어, 점 M에 대한 점 A의 대칭점을 계산합니다. 두 점을 고려하십시오.

$A(1,3,0) \qquad \qquad M(-1,4,2)$

이 두 점 사이의 대칭점을 결정하기 위해 다른 점에 대한 대칭점 공식을 적용합니다.

$A' = 2M - A$

이제 수식의 점을 바꿉니다.

$A' = 2(-1,4,2) -(1,3,0)$

그리고 우리는 다음을 운영합니다:

$A' = (-2,8,4) -(1,3,0)$

$\bm{A'=(-3,5,4)}$

직선에 대칭인 점

우리는 다른 점에 대해 대칭인 점의 개념을 방금 보았습니다. 음, 선에 대한 점의 대칭점은 매우 유사합니다.

점 A’는 두 점 A’와 A가 선에 수직인 동일한 선 위에 있고, 또한 점 A’와 선 사이의 거리가 거리와 같을 때 선에 대한 점 A의 대칭점입니다. 점 A와 선 사이.

$d(A,r)= d(A',r)$

따라서 선 r은 점 사이의 대칭축이기도 합니다.

따라서 직선 r 에 대한 점 A의 대칭점을 결정하려면 다음 절차를 따라야 합니다.

점 A를 통과하는 직선 r 에 수직인 평면(이전 그래픽 표현의 평면 π)을 찾습니다. 이를 위해서는 평면의 법선 벡터가 되는 선의 방향 벡터를 사용해야 합니다.
발견된 평면과 선(이전 이미지의 점 M) 사이의 교차점을 계산합니다.
점 M에 대한 점 A의 대칭 점을 찾기 위해 점 공식에 대한 대칭 점(위 섹션 참조)을 사용합니다. 결과는 우리가 찾고 있던 대칭 점입니다.

선에 대한 대칭점 계산의 예

선을 기준으로 다른 점의 대칭점을 계산하는 방법을 알게 되면 예제로 해결되는 연습 문제를 볼 수 있습니다.

직선 r을 기준으로 점 A의 대칭점을 구합니다. 점과 선으로 말하면:

$\displaystyle A(4,0,-1) \qquad \qquad r: \ \begin{cases}x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end{cases}$

먼저 점 A를 통과하는 선 r에 수직인 평면을 계산해야 합니다. 이 평면에 수직인 벡터는 선의 방향 벡터가 되며 그 구성 요소는 매개변수 앞의 항입니다.

$t$

파라메트릭 방정식의 형태로 표현되기 때문입니다.

$\vv{n}=(1,4,-3)$

그리고 평면 방정식의 계수 A, B 및 C는 법선 벡터의 좌표와 일치하므로 다음과 같습니다.

$\vv{n}=(1,4,-3) \quad \longrightarrow \quad \pi : \ 1x+4y-3z+D=0$

점 A는 이 평면 위에 있어야 하므로 이제 점 A를 평면의 방정식으로 대체하여 계수 D를 찾을 수 있습니다.

$A(4,0,-1)$

$4+4\cdot 0-3\cdot (-1)+D=0$

$4+3+D=0$

$7+D=0$

$D=-7$

따라서 점 A를 통과하는 직선 ry에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

$\pi : \ x+4y-3z-7=0$

평면의 방정식을 알았으면 평면과 선의 교점을 계산해야 합니다. 이를 위해 선의 좌표를 평면의 방정식으로 대체하고 결과 방정식을 풉니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end{cases} \qquad \qquad \pi : \ x+4y-3z-7=0$

$(1+t)+4(5+4t)-3(-4-3t)-7=0$

$1+t+20+16t+12+9t-7=0$

$26t+26=0$

$26t=-26$

$t=\cfrac{-26}{26}$

$t=-1$

이제 우리는

$t$

선의 방정식에서 얻었습니다.

$\displaystyle t=-1 \ \longrightarrow \ \begin{cases}x=1 -1=0 \\[1.7ex] y=5 +4\cdot (-1)=1\\[1.7ex] z=-4-3\cdot (-1)=-1 \end{cases}$

따라서 직선 r과 이에 수직인 평면 사이의 교차점은 다음과 같습니다.

$M(0,1,-1)$

마지막으로 점 M을 기준으로 점 A의 대칭점을 찾는 것으로 충분합니다. 이를 위해 이 페이지 시작 부분에 표시된 공식을 사용할 수 있습니다.

$\begin{aligned} A' & = 2M - A \\[2ex] &= 2(0,1,-1) - (4,0,-1) \\[2ex] & = (0,2,-2)-(4,0,-1)\\[2ex] & = \bm{(-4,2,-1)} \end{aligned}$

평면에 대칭인 점

평면을 기준으로 다른 점의 대칭점을 결정하는 방법을 보기 전에 해당 정의가 무엇인지 살펴보겠습니다.

점 A’는 두 점 A’와 A가 평면에 수직인 동일한 선상에 있고, 또한 점 A’와 평면 사이의 거리가 거리와 같다면 평면에 대한 점 A의 대칭점입니다. 점 A와 평면 사이.

$d(A,\pi)= d(A',\pi)$

따라서 평면은 두 점 사이의 대칭 평면이기도 합니다.

따라서 평면 π에 대한 점 A의 대칭점의 데카르트 좌표를 알려면 다음 단계를 따라야 합니다.

점 A를 통과하는 평면에 수직인 선의 방정식을 찾습니다. 이를 위해 평면에 수직인 벡터를 선의 방향 벡터로 사용합니다.
평면과 발견된 선(이전 이미지의 M 지점) 사이의 교차점을 계산합니다.
점 M에 대한 점 A의 대칭 점을 찾기 위해 점 공식(시작 부분에서 본)에 대한 대칭 점을 사용합니다. 결과는 우리가 찾고 있던 대칭 점입니다.