▷ 상수의 미분(해결예제)

여기에서는 상수의 도함수가 얼마나 가치가 있는지 설명합니다(예제 포함). 또한 상수에 함수를 곱한 것, 상수를 함수로 나눈 것, 상수를 함수로 곱한 것의 미분을 계산하는 방법도 가르쳐 줍니다. 마지막으로 상수의 도함수에 대한 풀이 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

상수의 미분은 무엇입니까

상수의 도함수는 상수 값에 관계없이 항상 0입니다 .

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

따라서 상수 함수의 도함수를 찾으려면 계산을 수행할 필요가 없으며 도함수는 단순히 0입니다.

상수 함수의 그래프에는 기울기가 없기 때문에 상수의 도함수는 0입니다.

상수 도함수의 예

상수 함수의 도함수에 대한 정의가 주어지면 개념을 완전히 이해하기 위해 몇 가지 해결된 예를 볼 수 있습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

보시다시피, 상수의 도함수는 항상 0을 제공합니다. 상수의 부호가 양수인지 음수인지, 상수 값이 매우 크거나 작은지 여부에 관계없이 해당 도함수는 0이 됩니다.

상수의 미분 증명

상수의 미분값이 얼마나 되는지 확인한 후에는 이러한 유형의 미분값이 0과 같은 이유를 보여줄 것입니다.

f를 임의의 값의 상수 함수로 둡니다.

$f(x)=k$

한 점에서 함수의 도함수를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ 참고: 파생상품의 정의

따라서 상수 함수의 극한을 해결하면 다음과 같습니다.

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

따라서 상수 함수의 미분은 모든 점에서 0입니다. 따라서 상수의 미분 공식을 설명합니다.

함수에 의한 상수 파생

우리는 방금 단일 상수, 즉 변수가 없는 함수의 도함수를 분석했습니다. 하지만 아시다시피 기능은 연산을 사용하여 결합될 수 있습니다. 따라서 아래에서는 다른 유형의 함수와 결합된 상수의 도함수(예: 다른 유형의 함수를 곱한 상수의 도함수)를 연구합니다.

상수에 함수를 곱한 도함수는 상수에 함수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

예를 들어, 다음 이차 함수의 미분은 다음과 같습니다.

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

따라서 이 함수에 상수를 곱한 도함수는 이전 단계에서 계산된 도함수에 상수를 곱한 것과 동일합니다.

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

함수 사이의 상수 파생

함수 간 상수의 도함수는 수정된 상수와 함수의 도함수를 제곱 함수로 나눈 값의 곱과 같습니다.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

예를 들어, 선형 함수로 나눈 다음 상수의 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

8x의 도함수는 8이기 때문입니다.

함수에서 발생하는 상수의 파생

함수로 제기된 상수의 도함수는 상수의 자연 로그에 함수로 제기된 상수와 함수의 도함수를 곱한 결과와 같습니다.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

예를 들어, 사인의 도함수는 코사인이므로 큰 상수를 사인으로 미분하면 다음과 같습니다.

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

상수의 미분에 대한 해결 연습

다음과 같은 상수의 미분을 푼다:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

솔루션 보기

연습 F)까지 모든 함수는 단순 상수 값이므로 모든 도함수는 0을 제공합니다.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

분수이거나 근이더라도 함수에 변수가 없으면 이는 상수 함수이므로 도함수는 0임을 의미합니다.

이에 비해 다음 세 가지 연습은 상수와 다른 함수의 연산을 수행하는 함수입니다. 따라서 파생 상품을 계산하려면 해당 공식을 적용해야 합니다.

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

상수에서 파생됨