삼항식 - 수학

이 페이지에서는 삼항식이 무엇인지에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한, 존재하는 다양한 유형의 삼항식과 더불어 삼항식과 관련된 모든 공식도 볼 수 있습니다.

삼항식이란 무엇입니까?

수학에서 삼항식의 정의는 다음과 같습니다.

삼항식은 세 개의 단항식만으로 구성된 다항식입니다 . 즉, 삼항식은 더하기(+) 또는 빼기(-) 기호로 연결된 3개의 다른 항만으로 구성된 대수식입니다.

삼항식(trinomial)이라는 단어는 그리스어에서 유래되었으며 다음을 의미하는 두 가지 어휘 구성 요소( tri 및 nomos )로 구성됩니다.

sort : 접두사 의미 3.
nomos : 부분을 의미합니다.

그러므로 우리는 삼항식의 의미를 추론할 수 있습니다: 세 부분으로 구성된 다항식(또는 세 개의 단항식).

반면에, 삼항식을 인수분해하는 것이 많은 경우에 매우 유용하다는 것을 알아야 합니다. 그리고 다항식을 인수분해하기 위해서는 FOIL 곱셈법이나 루피니의 법칙 등 여러 절차가 있는데, 삼항식인 경우에는 방정식을 풀어서 더 빨리 처리할 수 있습니다. 2차 다항식을 인수분해하는 방법 에서 이 방법에 대해 알아보세요.

삼항식의 예

삼항식의 개념을 완전히 이해하기 위해 이러한 유형의 다항식에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

이차 삼항식의 예:

$x^2-5x+6$

3차 삼항식의 예:

$x^3+4x^2+1$

4차 삼항식의 예:

$-3x^4+x^2-8x$

이제 삼항식이 무엇인지 알았으니 다양한 유형이 있는지 알아보고 공식을 사용하여 삼항식 연산을 쉽게 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

완전제곱 삼항식

완전제곱 삼항식 (간결하게 TCP 라고도 함)은 덧셈 이항식 또는 뺄셈 이항식 중 이항식을 제곱하여 얻은 삼항식입니다.

따라서 완전제곱삼항식은 두 개의 완전제곱수(그 제곱근은 정확함)와 부호가 양수 또는 음수일 수 있는 이 두 제곱수의 이중 곱인 다항식으로 구성됩니다.

한편, 합의 제곱과 차이의 제곱은 주목할만한 항등식(또는 주목할만한 곱)이므로 수학에서 널리 사용되는 두 가지 공식이라는 점을 고려해야 합니다.

예:

$x^2+6x+9$

이 예는 대수적 표현에 두 개의 완전제곱수가 있기 때문에 완전제곱 삼항식입니다. 왜냐하면 다음의 제곱근은 다음과 같습니다.

$x^2$

9개 중 정답입니다.

$\sqrt{x^2}=x$

$\sqrt{9}=3$

그리고 게다가 삼항식의 마지막 남은 항은

$(6x)$

이전 두 정사각형의 밑변에 2를 곱하여 얻습니다.

$2\cdot x \cdot 3 = 6x$

따라서 이 연습에서 주목할만한 모든 정체성은 다음과 같습니다.

$x^2+6x+9 =(x+3)^2$

자세히 살펴보면 방금 우리가 한 일은 완전제곱 삼항식을 인수분해한 것입니다. 왜냐하면 우리는 삼항식을 성공적으로 인수분해했기 때문입니다. 따라서 이 공식은 완전제곱 삼항식을 인수분해하는 데 도움이 되지만, 다른 유형의 삼항식을 인수분해하는 데 관심이 있는 경우 삼항식이란 무엇인지 (2차 다항식을 인수분해하는 방법) 섹션에 있는 위의 링크를 확인하는 것이 좋습니다. .

제곱 삼항식

제곱 삼항식의 거듭제곱을 계산하는 데 사용되는 공식은 다음과 같습니다.

삼항식 제곱은 첫 번째 항의 제곱, 두 번째 항의 제곱, 세 번째 항의 제곱, 첫 번째 항의 두 배, 첫 번째 항의 두 배, 두 번째 항의 두 배와 같습니다. 세 번째.

삼항식의 제곱을 계산하는 예를 살펴보겠습니다.

예:

다음 삼항식을 2의 거듭제곱으로 계산합니다.

$\left(x^2+x+3\right)^2$

삼항식의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

따라서 먼저 매개변수 값을 식별해야 합니다.

$a,b$

그리고

$c$

공식의. 이 연습에서는

$a$

동쪽

$x^2,$

계수

$b$

에 해당

$x,$

그리고

$c$

독립항 3은 다음과 같습니다.

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

값을 이미 알고 있으면 이 값을 공식에 대입하고 계산을 수행하면 됩니다.

삼항식 세제곱

세제곱 삼항식의 거듭제곱을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

예를 들어, 다음 삼항식을 3제곱으로 계산하려고 하면:

$\left(x^2+5x-3\right)^3$

삼항식의 세제곱에 대한 공식을 사용해야 합니다:

$(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$

따라서 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

$\begin{aligned}\left(x^2+5x-3\right)^3 & = \left(x^2\right)^3+(5x)^3+(-3)^3+3\left(x^2+5x\right)\left(x^2+(-3)\right)\bigl(5x+\left(-3\right)\bigr) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(x^4+5x^3-3x^2-15x\right)\bigl(5x-3\bigr)\\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(5x^5+22x^4-30x^3-66x^2+45x\right) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+15x^5+66x^4-90x^3-198x^2+135x \\[2ex] & = \bm{x^6+15x^5+66x^4+35x^3-198x^2+135x-27}\end{aligned}$

2차 삼항식

대수학에서 한 변수의 이차 삼항식은 다음과 같은 유명한 이차 방정식 공식으로 풀 수 있습니다.

$ax^2+bx+c=0$

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

다음으로, 예를 들어 2차 삼항식 문제를 풀어보겠습니다.

$x^2-2x-3=0$

실제로는 2차 삼항식입니다. 그러므로 우리는 이차 방정식에 공식을 적용해야 합니다:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

이제 우리는 각각의 알려지지 않은 값을 식별해야 합니다.

$a$

는 이 경우 1의 가치가 있는 최고 단항식의 계수입니다.

$b$

는 중간항의 계수인 -2에 해당하며, 마지막으로

$c$

-3인 독립항을 나타냅니다.

$a=1 \qquad b=-2 \qquad c=-3$

따라서 거기에 있는 값을 대체하여 공식을 적용합니다.

$x=\cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 1}$

마지막으로 작업을 계산합니다.

$\displaystyle x=\cfrac{+2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \cfrac{2\pm \sqrt{16}}{2} = \cfrac{2 \pm 4}{2} = \begin{cases} \cfrac{2+4}{2}=3 \\[4ex] \cfrac{2-4}{2} = -1 \end{cases}$

따라서 이차 방정식의 해는 다음과 같습니다.

$x = 3 \qquad x=-1$