삼각비란 무엇입니까?

각도의 삼각비는 직각삼각형의 세 변에서 얻은 비율입니다. 즉, 몫(나눗셈)을 사용하여 세 변을 비교한 결과 나온 값입니다. 이러한 이유는 직각 삼각형(각도가 90°인 삼각형)에만 존재한다는 점에 유의해야 합니다.

직각삼각형의 삼각비

가장 중요한 삼각비 6개는 사인, 코사인, 탄젠트, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트입니다. 다음으로, 이러한 각각의 이유가 어떻게 정의되는지 자세히 설명하고 이를 특징짓는 공식에 대해 이야기하겠습니다. 다음 설명을 이해하기 위해 다음 직각삼각형을 고려해 보겠습니다.

가슴

각도의 사인(sin 또는 sin)은 빗변(c) 사이의 반대쪽 변(a)의 몫과 동일하므로 사인 공식은 다음과 같습니다. sin(α) = a / c . 사인의 정의를 아는 것은 매우 중요합니다. 사인은 이 섹션에서 다룰 다른 이유와 함께 모든 삼각법의 기초이기 때문입니다.

트라브 사인 정리에 따르면 삼각형의 모든 변을 계산할 수 있으며 해당 변 사이에 특정 각도의 몫을 연결하여 이를 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 변 a를 계산하고 각도 A와 B에 따른 변 값이 있는 경우 a / sin (A) = b / sin (B) 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 간단한 방정식을 풀면 계산하려는 변수에 해당하는 값을 얻을 수 있습니다.

코사인

각도의 코사인(cos)은 빗변(c) 사이의 인접한 변(b)의 몫과 동일하므로 코사인 공식은 다음과 같습니다. cos (α) = b / c . 이 경우 공식은 연구하려는 각도(이 예에서는 각도 A 또는 α)와 접촉하는 삼각형의 두 변으로 구성됩니다.

코사인을 사용하면 코사인 정리에서 유래한 삼각형의 변을 계산하는 방법도 있습니다. 이를 통해 측면을 각도에 연결할 수 있으며 다음 세 가지 표현을 얻을 수 있습니다.

a² = b² + c² – 2bc cos (A)

b² = a² + c² – 2ac cos(B)

c² = a² + b² – 2ab cos (C)

접선

원래 이유 집합을 마무리하는 세 번째로 중요한 이유는 접선(tan 또는 tg)입니다. 이는 반대쪽 다리(a)와 인접한 다리(b)를 나누어 계산되므로 탄젠트 공식은 tan(α) = a / b 입니다. 아래에서 그래픽으로 볼 수 있습니다.

접선에는 접선 정리라고 불리는 자체 정리도 있습니다. 이를 통해 삼각형의 두 변의 길이를 각도의 접선 과 연관시킬 수 있습니다. 진술은 다음과 같습니다: “두 변의 뺄셈 사이의 몫은 이 변의 반대편 두 각도의 평균 탄젠트와 이들 차이의 절반의 탄젠트 사이의 몫과 같습니다.” .

파생된 삼각비

방금 논의한 세 가지 삼각비로부터 다른 파생 삼각비를 얻을 수 있습니다. 이는 사인, 코사인 및 탄젠트에 대한 역비를 취하여 얻습니다.

• 코시컨트: 사인의 역비이며 cosec(α) = c/a 및 cosec(α) = 1/sin(α) 공식으로 계산됩니다.
• 시컨트: 코사인의 역비이며 다음 공식으로 계산됩니다: sec(α) = c / b 및 sec(α) = 1 / cos(α).
• 코탄젠트: 탄젠트의 역비이며 cotg(α) = b/a 및 cotg(α) = 1/tan(α) 공식으로 계산됩니다.

삼각비 표

아래에서는 지금까지 설명한 모든 이유를 요약한 표를 볼 수 있습니다. 이 표를 사용하면 각 수식의 차이점을 쉽게 구별할 수 있으므로 모든 공식을 효과적으로 외울 수 있습니다.

원 안의 삼각비

삼각법을 연구하는 또 다른 방법은 각도 원주 또는 단위원을 통하는 것입니다. 이 원주의 반지름은 1이고 원점은 (0, 0)입니다. 그림은 원과 원 안에 묘사된 직각삼각형으로 구성됩니다. 보다 정확하게는 우리가 연구하려는 각도가 원점과 접촉해야 합니다.

이 이미지가 있으면 반지름이 빗변(1)과 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 사인과 코사인을 계산하려면 반지름 값과 빗변의 다른 변 값을 사용합니다. 삼각형. 사인을 계산하기 위해 다음 계산을 수행합니다. sin (A) = CD / AC = CD / 반경 = CD / 1 = CD 이므로 A의 사인은 a입니다. 반면, 코사인을 계산 하려면 cos (A) = AD / AC = AD / 반경 = AD / 1 = AD 계산을 수행하므로 A의 코사인은 c1입니다.

두 가지를 명심하는 것이 매우 중요합니다. 첫 번째는 삼각비 연구에서 이 원을 사용하는 이유는 삼각형으로 연구할 수 있는 각도보다 더 큰 각도를 처리해야 하기 때문이라는 것입니다. 예를 들어, 150°의 각도는 너무 크기 때문에 단순한 삼각형으로는 연구할 수 없습니다. 그리고 두 번째로 명심해야 할 점은 사인과 코사인은 절대 1보다 크고 -1보다 작은 값을 채택할 수 없다는 점입니다.

삼각비의 부호

이전에 말했듯이 삼각형보다 큰 각도를 처리하려면 각도 측정 원주를 사용합니다. 이를 위해 우리는 원주를 나누는 4개의 사분면 중 하나에 정확하게 원 내부의 삼각형을 나타냅니다. 다음 이미지에서는 4개의 사분면이 표시되는 것을 볼 수 있습니다.

따라서 30도 각도와 210도 각도를 구별하려면 동일하게 됩니다. 삼각형 내부의 분포에 관하여 , 삼각형이 위치한 사분면에 따른 부호 분포를 사용합니다. 아래에서는 각 사분면에 해당하는 기호와 그려진 예를 볼 수 있습니다.

예를 들어 각도 30°와 210°는 동일한 숫자 값을 공유하지만 사인과 코사인의 부호는 반대입니다. 따라서 sin(30) = 1/2 및 cos(30) = √3/2이고 sin(210) = -1/2 및 cos(210) = -√3/2입니다. 이 결과를 얻기 위해 우리는 원주에 두 개의 각도를 나타내고(아래 이미지) 표지판의 표시를 따랐습니다.

마지막으로, 원주가 360°에 불과하기 때문에 그렇게 보이지 않을 수도 있지만 360°보다 큰 각도를 갖는 것이 어떻게 가능합니까? 그러나 750°의 각도를 풀고 싶다면 0°에서 360° 사이의 각도로 줄일 수 있습니다. 간단히 말해서 750을 360으로 나누고 나머지가 남은 각도입니다. 750°의 경우 30°의 각도를 얻습니다.

사분면에 따른 각도 유형

서로 다른 각도 사이에는 관계가 있으며 이를 통해 비율을 계산할 수 있습니다. 원에 속하는 모든 각도의 삼각함수 값. 이러한 이유를 알아보자 첫 번째 사분면으로의 축소 . 이는 특정 각도에서 첫 번째 사분면까지 단순화한 다음 해당 기호를 적용한다는 의미입니다. 아래에는 사분면에 따라 다양한 절차가 설명되어 있습니다.

첫 번째 사분면

이 첫 번째 사분면(0° – 90°) 에서는 주어진 각도로 삼각비만 풀면 됩니다. 그리고 앞서 기호에 대해 설명했던 그림을 보면 사인과 코사인 앞에 양수 값이 있습니다(우리가 얻는 결과는 기호의 영향을 받지 않습니다).

두 번째 사분면에서 첫 번째 사분면으로 축소

두 번째 사분면(90° – 180°) 에서는 보각을 다루고 있는데, 이는 두 각도의 합이 180°라는 것을 의미합니다. 따라서 두 번째 사분면에서 첫 번째 사분면으로 축소해야 하며 공식 180 – α = β를 사용하여 이를 수행합니다. 여기서 α는 첫 번째 사분면의 각도이고 β 는 원래 각도입니다.

예를 들어, 각도 135°(두 번째 사분면에 속함)가 주어지면 첫 번째 사분면과 관련된 각도를 찾아야 합니다. 이 예에서 우리가 찾고 있는 각도(α)는 180 – 45 = 135이므로 45°입니다. 따라서 다음은 사실입니다: sin (135) = sin (180 – 45) = sin (45), cos (135) ) = cos(180 – 45) = -cos(45) 및 tan(135) = tan(180 – 45) = -tan(45).

세 번째 사분면을 첫 번째 사분면으로 축소

세 번째 사분면(180° – 270°) 에서는 80°만큼 다른 각도를 다루고 있습니다. 이는 각도가 180° 떨어져 있음을 의미합니다. 따라서 세 번째 사분면에서 첫 번째 사분면으로 줄이려면 공식 180 + α = β를 사용해야 합니다. 여기서 α는 첫 번째 사분면의 각도이고 β 는 원래 각도입니다.

예를 들어, 각도 225°(세 번째 사분면에 속함)가 주어지면 이에 해당하는 첫 번째 사분면의 각도를 찾아야 합니다. 225°의 경우 180 + 45 = 225이므로 우리가 구하는 각도(α)는 다시 45°입니다. 따라서 sin(225) = sin(180 + 45) = -sin(45), cos(225)입니다. = cos (180 + 45) = -cos (45) 및 tan (225) = tan (180 + 45) = tan (45)가 충족됩니다. ).

네 번째 사분면을 첫 번째 사분면으로 축소

네 번째 사분면(270° – 360°) 에서는 반대 각도를 다루고 있습니다. 이는 각도가 수치적으로 동일하지만 부호가 반대라는 것을 의미합니다. , 30° 및 -30°(360° – 30° = 330°이므로 330°와 동일) . 반대 각도는 양의 각도와 음의 각도 또는 두 개의 양의 각도로 표시될 수 있다는 점을 명심하는 것이 중요합니다(방금 논의한 예에서는 차이점을 설명했습니다).

따라서 네 번째 사분면에서 첫 번째 사분면으로 축소하려면 공식 360 – α = β 를 사용해야 합니다. 여기서 α는 첫 번째 사분면의 각도이고 β 는 원래 각도입니다.

예를 들어, 각도 315°(네 번째 사분면에 속함)가 주어지면 먼저 이 각도와 관련된 첫 번째 사분면의 각도를 찾아야 합니다. 우리가 구하는 각도(α)의 경우 360 – 45 = 315이므로 여전히 45°입니다. 따라서 sin(315) = sin(360 – 45) = -sin(45), cos( 315) ) = cos(360 – 45) = cos(45) 및 tan(315) = tan(360 – 45) = -tan(45). 결론적으로 우리는 모든 사분면의 45°에서 파생된 각도를 확인했습니다.

가장 중요한 각도의 삼각비

삼각법에서 가장 일반적으로 사용되는 주목할만한 각도 라고 하는 여러 각도가 있습니다. 삼각비를 암기하는 것이 좋습니다. 따라서 아래에서는 이러한 각도와 그 도함수(동일한 각도이지만 90도, 180도 또는 270도의 차이)의 삼각비를 포함하는 표를 만들었습니다.

삼각비의 관계

서로 다른 삼각비를 연관시키는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이러한 관계로부터 우리는 삼각 항등식이라고 부르는 다양한 삼각 함수 간의 일종의 동일성을 얻습니다. 이러한 유형의 ID 덕분에 우리는 다른 ID를 기준으로 비율을 계산할 수 있습니다. 표현 자체를 뒷받침하는 관계 유형에 따라 분류되는 다양한 유형의 삼각 항등식이 있다는 점에 유의해야 합니다.

삼각비 문제 해결

다음으로, 이 기사에서 설명하는 모든 이론을 실제로 적용할 수 있는 일련의 연습을 제공합니다. 언제든지 막히거나 질문이 있는 경우 기사를 다시 읽을 수 있으며 두 번째 읽기를 통해 모든 것을 훨씬 더 잘 이해할 수 있다는 것을 기억하십시오. 즉, 연습을 시작할 수 있습니다:

연습 1

각도 225°의 6가지 삼각비를 계산합니다.

각도(α)를 계산하는 것부터 시작하겠습니다. 이는 180 + α = 225°이므로 α = 45°입니다.

죄(225) = 죄(180 + 45) = -sin(45) = -√2/2

cos(225) = cos(180 + 45) = -cos(45) = -√2/2

탄(225) = 탄(180 + 45) = 탄(45) = 1

연습 2

각도 120°의 6가지 삼각비를 계산합니다.

각도(α)를 계산하는 것부터 시작하겠습니다. 이는 180 – α = 120°이므로 α = 60°입니다.

죄(120) = 죄(180 – 60) = 죄(60) = √3/2

cos(120) = cos(180 – 60) = -cos(60) = -1/2

tan(120) = tan(180 – 60) = -tan(60) = -√3

연습 3

각도 510°의 6가지 삼각비를 계산합니다.

시작하기 전에 각도 감소를 수행해야 합니다: 510 / 360 = 1 회전 및 남은 각도 150. 다음으로 각도(α)를 계산합니다. 이는 180 – α = 150이므로 α = 30°입니다.

죄(150) = 죄(180 – 30) = 죄(30) = 1/2

cos(150) = cos(180 – 30) = -cos(30) = -√3/2

tan(150) = tan(180 – 30) = -tan(30) = -√3/3