사인 함수 - 수학

이 페이지에서는 사인 함수에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다. 사인 함수란 무엇이며, 공식은 무엇이며, 그래프로 표현하는 방법, 함수 유형의 특성, 진폭, 주기 등이 있습니다. 또한 개념을 완전히 이해하기 위해 사인 함수의 다양한 예를 볼 수 있습니다. 그는 심지어 사인 정리와 사인 함수가 다른 삼각비와 갖는 관계에 대해서도 설명합니다.

사인 함수 공식

각도 α의 사인 함수 는 공식이 직각 삼각형(직각이 있는 삼각형)의 빗변과 반대쪽 다리 사이의 비율로 정의되는 삼각 함수입니다.

이러한 유형의 수학 함수는 종종 “sin” 또는 “sin”(라틴어 sinus 에서 유래)이라는 약어로 작성됩니다. 또한 정현파, 정현파 또는 정현파 함수라고도 합니다.

사인 함수는 코사인, 각도의 탄젠트와 함께 가장 잘 알려진 삼각비 중 하나입니다.

사인 함수의 특성값

일부 각도는 자주 반복되므로 다음 각도에서 사인 함수의 값을 아는 것이 편리합니다.

따라서 사인 함수의 부호는 각도가 위치한 사분면에 따라 달라집니다. 각도가 첫 번째 또는 두 번째 사분면에 있으면 사인은 양수이고, 각도가 세 번째 또는 네 번째 사분면에 있으면 사인은 양수입니다. , 사인은 음수입니다.

사인 함수의 그래픽 표현

이전 섹션에서 본 값 표를 사용하여 사인 함수를 그래프로 표시할 수 있습니다. 따라서 사인 함수를 그래프로 나타내면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

그래프에서 볼 수 있듯이 사인 함수의 이미지 값은 항상 +1과 -1 사이에 있습니다. 즉, 상단은 +1로 하단은 -1로 제한됩니다. 또한, 그 값은 360도(2π 라디안)마다 반복되므로 주기가 360°인 주기함수 이다.

반면에, 이 그래프에서 우리는 사인 함수가 홀수라는 것을 완벽하게 인식합니다. 그 이유는 반대 요소가 반대 이미지를 갖기 때문입니다. 즉, 원점(0,0)을 기준으로 대칭이기 때문입니다. 예를 들어, 90°의 사인은 1이고 -90°의 사인은 -1입니다.

사인 함수의 속성

사인 함수에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

사인 함수의 정의역은 그래프에서 알 수 있듯이 독립 변수 x의 모든 값에 대해 함수가 존재하기 때문에 모두 실수입니다.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

사인 함수의 경로 또는 범위는 마이너스 1부터 플러스 1까지(둘 다 포함)입니다.

$\text{Im } f= [-1,1]$

주기성이 2π인 연속적이고 홀수 함수입니다.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

이러한 유형의 삼각 함수는 점 (0,0)에서 y축(Y축)과의 단일 교차점을 갖습니다.

$(0,0)$

대신 pi의 여러 좌표에서 가로좌표(X축)를 주기적으로 가로챕니다.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

사인 함수의 최대값은 다음과 같은 경우에 발생합니다.

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

반대로 사인 함수의 최소값은 다음에서 발생합니다.

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

사인 함수의 미분은 코사인입니다.

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

마지막으로 사인 함수의 적분은 코사인 변경 부호입니다.

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

사인 함수의 주기와 진폭

그의 그래프에서 보았듯이 사인 함수는 주기 함수입니다. 즉, 그 값은 주파수에 따라 반복됩니다. 또한 진동하는 최대값과 최소값은 진폭에 따라 달라집니다. 따라서 정현파 함수를 결정하는 두 가지 특성은 주기와 진폭입니다.

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

사인 함수의 주기는 그래프가 반복되는 두 점 사이의 거리이며 다음 공식으로 계산됩니다.

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

사인 함수의 진폭은 사인 항 앞의 계수와 동일합니다.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

아래에서는 주기 또는 진폭 변경의 효과를 보여주는 그래프를 볼 수 있습니다.

녹색으로 표시된 함수에서 진폭을 두 배로 늘리면 함수가 +1에서 -1이 아닌 +2에서 -2로 바뀌는 것을 볼 수 있습니다. 반면, 빨간색으로 표시된 함수에서는 주기가 절반으로 줄어들었기 때문에 “표준” 사인 함수보다 두 배 빠르게 진행되는 것을 볼 수 있습니다.

사인 정리

사인은 일반적으로 직각 삼각형에 적용되지만 모든 유형의 삼각형에 적용되는 정리인 사인 정리도 있습니다.

사인 법칙은 삼각형의 변과 각도를 다음과 같이 연결합니다.

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

사인 함수와 다른 삼각비의 관계

아래에서는 삼각법에서 가장 중요한 삼각비와의 정현파 관계를 찾을 수 있습니다.

코사인 비율

코사인 함수의 그래프는 사인 곡선과 동일하지만 이동되었습니다.
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

따라서 두 함수는 다음 표현식으로 연관될 수 있습니다.

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \text{cos}\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right)$

사인과 코사인을 삼각법의 기본 항등식과 연관시킬 수도 있습니다.

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

접선과의 관계

증명하기는 복잡하지만 사인은 탄젠트에 따라서만 표현할 수 있습니다.

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \pm \cfrac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

코시컨트와의 관계

사인과 코시컨트는 곱셈의 역원입니다.

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\text{csc }\alpha}$

시컨트와의 관계

사인은 시컨트에만 의존하도록 지워질 수 있습니다.

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{\sqrt{\text{sec }\alpha -1 } }{\text{sec }\alpha}$

코탄젠트와의 관계

각도의 사인과 코탄젠트는 다음 방정식으로 관련됩니다.

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$