▷ 모든 유형의 불확정성(한계)을 해결하는 방법

이 글에서는 불확정성이 무엇인지 설명합니다. 모든 유형의 불확정성이 무엇인지, 그리고 이를 해결하는 방법을 알게 될 것입니다. 또한, 모든 불확정성의 기능한계에 대해 단계별로 풀어가는 연습문제를 보실 수 있습니다.

불확정성이란 무엇입니까?

불확정 형태라고도 불리는 불확정은 결과가 정의되지 않은 함수의 극한 계산에 나타나는 수학적 표현입니다. 따라서 한계의 불확정성을 해결하려면 기능 유형에 따른 예비 절차를 적용해야 합니다.

즉, 불확정성을 얻는다는 것은 극한이 존재하지 않거나 해결할 수 없다는 의미가 아니라 극한의 해를 찾기 위해 함수를 변경해야 한다는 의미입니다.

불확정의 유형

불확정 또는 불확정 형태는 다음 유형으로 분류됩니다.

불확정성 무한대 빼기 무한대 (무한대-무한대)
0 사이의 불확정성 수 (k/무한대)
영(0/0) 사이의 영 불확정성
무한대 사이의 무한 불확정성 (무한대/무한대)
불확정성 1을 무한대(1 )로 올렸습니다 ^.
0 의 불확정성을 0으로 높였습니다 (0 ⁰ ).
무한대에 대한 제로 불확정성 (0·무한대)
^무한대 로 상승된 영 불확정성 (0 )
0 이 되는 무한 불확정성 (무한대 ⁰ )

그런 다음 모든 유형의 불확정을 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

무한 마이너스 무한 불확정성

무한대에서 무한대를 뺀 부정형 형태는 0이 아닙니다. 왜냐하면 두 개의 매우 큰 숫자를 빼지만 어느 숫자가 더 큰지 모르기 때문입니다. 따라서 무한대의 차이의 결과는 각 무한대의 순서에 따라 달라집니다.

$\infty-\infty$

이러한 유형의 불확정성을 해결하는 것은 쉽지 않습니다. 왜냐하면 기능 유형에 따라 하나의 절차 또는 다른 절차를 적용해야 하기 때문입니다. 따라서 다음 링크에서 전체 설명을 확인하는 것이 좋습니다.

➤ 참조: 불확정성 무한대 빼기 무한대 해결 방법

0 사이의 불확정성 수

0으로 나눈 상수의 불확정성은 유리 함수의 분모가 취소될 때 얻어집니다.

$\cfrac{k}{0}$

이러한 유형의 불확정 형태의 결과는 항상 더 무한하거나 덜 무한하거나 함수의 한계가 존재하지 않습니다. 예를 들어 극한을 풀어 이 불확정성이 어떻게 계산되는지 살펴보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\cfrac{-4}{x^2}=\cfrac{-4}{0^2}=\cfrac{-4}{0}=\infty$

우리는 0으로 나눈 숫자의 불확정성을 얻었 으므로 함수의 측면 한계를 계산해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\cfrac{-4}{0^2}=\cfrac{-4}{(-0,001)^2}=\cfrac{-4}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\cfrac{-4}{0^2}=\cfrac{-4}{0,001^2}=\cfrac{-4}{+0}=-\infty$

➤ 참고: 측면 한계란 무엇입니까?

함수의 두 측면 극한은 동일한 결과를 제공하므로 정의에 따라 x가 0에 가까워질 때 함수의 극한은 음의 무한대를 제공합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty \ \longrightarrow \ \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty$

측면 극한이 다른 값을 제공했다면 이 지점에서 함수의 극한은 존재하지 않을 것입니다.

제로 불확정성 사이의 제로

0으로 나눈 불확정 극한 0은 매우 일반적이며 분자와 분모가 상쇄되는 분수를 사용하는 함수에서 얻어집니다.

$\cfrac{0}{0}$

이러한 유형의 불확정 한계는 함수에 따라 다르게 해결됩니다. 예를 들어, 함수에 루트가 있는 경우 다른 단계를 수행해야 합니다. 다음 링크에서 이러한 유형의 불확정성에 대한 다양한 해결 방법을 볼 수 있습니다.

➤ 참조: 0 사이의 0 불확정성을 해결하는 방법

무한 사이의 무한한 불확정성

무한대 사이의 무한 불확정성은 일반적으로 분수가 있는 함수의 무한 극한에서 발생합니다. 불확정성은 두 무한대의 몫이지만 결과가 반드시 무한대일 필요는 없습니다.

$\cfrac{\infty}{\infty}$

이러한 유형의 불확정 형식은 비교를 통해 해결됩니다. 즉, 분자의 차수와 분모의 차수를 관찰하고, 어느 쪽이 더 큰지에 따라 한계 결과는 둘 중 하나입니다. 다음 링크에서 모든 사례를 볼 수 있습니다.

➤ 참고: 무한대 사이의 무한한계에 대한 연습 문제 풀기

불확정성 1이 무한대로 상승함

수학적으로 1의 거듭제곱 은 1과 같으므로 1에서 무한대로 1이 된다고 생각할 수도 있습니다. 그러나 이 항은 불확정성이므로 그 결과를 쉽게 추론할 수 없습니다.

$1^{\infty}$

이러한 유형의 불확정성은 다음 공식을 적용하여 계산됩니다.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}e^{g(x)\cdot [f(x)-1]}$

예를 들어, 다음 극한은 무한대의 거듭제곱을 제공하므로 불확정입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1-\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=(1-0)^{+\infty}=1^{+\infty}$

따라서 우리는 이러한 유형의 불확정에 대해 다음 공식을 사용해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x\cdot\left[1-\frac{1}{x}-1\right]}=\lim_{x\to+\infty}e^{x\cdot\left[-\frac{1}{x}\right]}=\lim_{x\to+\infty}e^{-1}=\frac{1}{e}$

그래서 우리는 이미 무한대로 올라간 불확정 극한을 해결했습니다.

제로 불확정성이 제로로 바뀌었습니다.

0의 거듭제곱에 대한 0의 불확정성은 복잡한 기능의 한계 내에서 나타납니다.

$0^0$

이러한 유형의 불확실한 제한을 해결하려면 다음 제한 속성을 사용해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}}$

예를 들어, 다음 극한은 불확정 형식 0의 0승을 제공합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{1}{+\infty}\right)^{\frac{1}{+\infty}}=0^0$

그러나 극한에 로그를 적용하면 그 값을 찾을 수 있습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right)}}=\\[5ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln1-\ln x}{x}}}=\\[5ex]=\displaystyle e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-\ln x}{x}}}=e^{^{\displaystyle\frac{-\infty}{+\infty}}}=e^0=1\end{array}$

무한대에 대한 불확정성 제로

0과 무한대의 곱의 불확정성을 만나는 것은 어렵지만 그렇다고 결정하기 쉽다는 의미는 아닙니다.

$0\cdot \infty$

이러한 유형의 불확정성을 해결하는 단일 방법은 없지만 기능 유형에 따라 다릅니다. 이 경우 함수를 무한대로 나눈 무한 불확정성 또는 0으로 나눈 0의 불확정성으로 변환해야 하며, 거기에서 각 불확정성에 대해 위에서 본 해결 방법을 적용해야 합니다.

따라서 한 함수의 극한이 0이고 다른 함수의 극한이 인데:

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\qquad\lim_{x\to a}g(x)=\infty$

다음과 같이 변경하면 이 유형을 무기한으로 변환할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)\begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}=\frac{0}{0}\\[10ex]\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}=\frac{\infty}{\infty}\end{cases}$

예를 들어 불확정 극한을 해결하여 이를 수행하는 방법을 살펴보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\cdot x=e^{-\infty}\cdot (+\infty)=0\cdot \infty$

무한대에 대한 무한 불확정성을 얻기 위해 함수를 조작한 다음 극한을 찾습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\cdot x=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\displaystyle\frac{1}{e^{-x}}}=\\[6ex]=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x}=\frac{+\infty}{e^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=0\end{array}$

무한대로 상승된 불확정성 0

무한대로 올려진 불확정성 0은 이해하기 조금 어렵습니다. 아주 작은 숫자를 아주 큰 숫자로 올리기 때문입니다.

$0^{\infty}$

이러한 불확정 형태를 얻으려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}}$

이러한 유형의 불확정성을 계산하는 방법을 더 잘 이해하기 위해 예를 풀어보겠습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{x}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\cdot \ln(x)}}=\\[3.5ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\frac{1}{0^+}\cdot \ln(0^+)}}=e^{+\infty\cdot (-\infty)}\\[3ex]\displaystyle =e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}}=0\end{array}$

무한한 불확정성을 0으로 만들었습니다.

일반적으로 0으로 올린 거듭제곱은 1이 되지만, 0으로 올린 무한대의 불확정성은 반드시 이런 식일 필요는 없습니다.

$\infty^0$

0을 0으로 올리고 0을 무한대로 올리는 불확정에서와 같이 이러한 유형의 불확정 극한을 해결하려면 로그를 적용해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}}$

단계별 예제를 계산하여 이러한 유형의 불확실한 한계가 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\cdot \ln(x)}}=\\[3ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x}}}=e^{^{\displaystyle\frac{\ln(+\infty)}{+\infty}}}=\\[3ex]\displaystyle =e^{^{\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}}}=e^0=1\end{array}$

불확정 유형(불확정 한계)

불확정성이란 무엇입니까?

불확정의 유형

무한 마이너스 무한 불확정성

0 사이의 불확정성 수

제로 불확정성 사이의 제로

무한 사이의 무한한 불확정성

불확정성 1이 무한대로 상승함

제로 불확정성이 제로로 바뀌었습니다.

무한대에 대한 불확정성 제로

무한대로 상승된 불확정성 0

무한한 불확정성을 0으로 만들었습니다.

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