이항 넷째 - Mathority

이 페이지에서는 네 번째 이항식의 공식을 찾을 수 있으며, 이러한 유형의 이항 연산을 해결하는 방법을 예제와 함께 설명합니다. 또한, 또래부터 4학년까지 단계별로 풀어나가는 연습문제로 연습할 수 있게 됩니다.

분기 이항식

수학에서 4제곱의 이항식은 두 항으로 구성된 4승 다항식입니다.

따라서 분기 이항식을 계산하는 데 사용되는 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

이 공식은 뉴턴의 일반 이항식 에서 파생될 수 있습니다. 실제로 뉴턴의 이항식을 사용하면 임의의 거듭제곱으로 거듭제곱된 이항식을 계산할 수 있으므로 뉴턴의 이항식을 배우는 것이 가장 좋습니다. 이전 링크를 클릭하여 이 공식이 어떤 모습인지 알아보세요.

따라서 네 번째 항의 이항식은 첫 번째 항을 네 번째 항에 곱한 후 첫 번째 항과 두 번째 항의 4 곱하기, 첫 번째 항과 두 번째 항의 제곱 곱하기 6, 더하기 4 곱하기의 곱과 같습니다. 첫 번째 항에 3을 곱한 두 번째 항을 곱하고 두 번째 항을 네 번째 항에 곱합니다.

이 공식은 이항식 합에 해당합니다(두 요소는 양수입니다). 그러나 네 번째까지의 이항 뺄셈 공식 에서 두 번째와 네 번째 곱의 부호는 음수입니다.

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

4학년 또래의 예

이러한 유형의 이항식에 대한 공식이 주어지면 우리는 이항식을 4차로 푸는 몇 가지 예를 볼 수 있습니다. 먼저 양이항식을 계산한 다음 음이항식을 푼다.

실시예 1

다음의 4승 이항식을 계산합니다.

$(x+2)^4$

합 이항식의 4제곱 거듭제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

따라서 운동에 대한 이항식을 계산하려면 공식에서 두 개의 이항식 양을 간단히 대체하면 됩니다.

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

그리고 마지막으로 작업을 해결합니다.

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

실시예 2

다음의 4제곱수를 구하는 이항식을 구하세요.

$(x-3)^4$

4차로 승격된 차이 이항식에 대한 강화 공식은 다음과 같습니다.

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

따라서 문제의 이항식을 결정하려면 공식의 변수를 이항식 값으로 대체하면 됩니다.

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

마지막으로 결과 작업을 해결합니다.

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

네 번째에서 이항식의 공식 시연

네 번째까지의 이항식의 개념을 탐구하기 위해 우리는 그 공식을 여러 가지 방법으로 보여줄 것입니다.

4로 올린 쌍에서:

$(a+b)^4$

4차 이항식의 대수적 표현은 이를 소인수로 확장하여 인수분해할 수 있습니다.

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

따라서 다항식의 각 곱을 풀어서 우리는 4차 이항식의 공식에 도달합니다.

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

반면, 네 번째 이항식에 대한 공식은 세제곱에 대한 이항식 에 대한 공식을 사용하여 검증할 수도 있습니다.

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

마찬가지로 주목할만한 제품(또는 주목할만한 아이덴티티)을 통해서도 증거를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 합의 제곱의 주목할 만한 곱에 대한 공식을 사용하면 다음과 같습니다.

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

각각,뺄셈의 제곱 에 대한 주목할만한 항등식은 이항 뺄셈의 공식을 확증하는 데 사용됩니다.

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

4학년 친구들을 위한 연습문제 해결

다음과 같은 4계승 이항식의 거듭제곱을 풀어보세요.

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

해결책 보기

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

네 번째로 짝을 이루다