▷ 사인의 미분 (공식 및 연습문제 풀기)

이 문서에서는 사인 파생(공식)을 만드는 방법을 설명합니다. 정현파 함수의 미분 예와 연습할 수 있는 단계별 연습 문제를 찾을 수 있습니다. 추가적으로 사인의 2차 도함수와 사인의 역도함수를 보여 드리며 사인의 도함수에 대한 공식도 보여드립니다.

사인의 미분은 무엇입니까?

사인 함수의 미분은 코사인 함수입니다. 따라서 x 사인의 도함수는 x의 코사인과 같습니다.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

사인 인수에 함수가 있는 경우 사인의 도함수는 해당 함수의 코사인에 함수의 도함수를 곱한 값입니다.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

사인 도함수에 대한 이 두 번째 공식은 첫 번째 공식에 연쇄 규칙을 적용하여 얻습니다. 요약하면, 사인 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

사인 파생물의 예

사인 파생 공식이 무엇인지 확인한 후에는 사인 함수 파생 방법을 완전히 이해할 수 있도록 이러한 유형의 삼각 파생 형식에 대한 몇 가지 예를 설명합니다.

예 1: 2x 사인의 파생

$f(x)=\text{sen}(2x)$

사인 인수에는 x와 다른 함수가 있으므로 사인을 유도하려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

2x의 도함수는 2이므로, 2x의 사인 도함수는 2x의 코사인 곱하기 2의 곱입니다.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

예 2: x 제곱의 사인 파생

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

사인 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

그리고 x ² 의 도함수는 2x와 같으므로 x 사인의 2승 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

예 3: 사인 큐브의 미분

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

이 예에서 사인 함수는 다른 함수로 구성되므로 사인을 구별하려면 다음 규칙을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

따라서 함수의 미분은 다음과 같습니다.

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ 이 함수를 도출하려면 거듭제곱의 도함수 공식 도 적용해야 합니다.

사인의 2차 도함수

그런 다음 사인 함수의 2차 도함수를 분석할 것입니다. 왜냐하면 삼각 함수이기 때문에 특정 특성을 나타내기 때문입니다.

위에서 본 것처럼 사인의 미분은 코사인입니다. 음, 코사인의 미분은 사인이지만 부호가 변경되었습니다. 이는 사인의 2차 도함수가 사인 자체이지만 부호가 변경되었음을 의미합니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

그러나 사인 인수가 x가 아닌 경우 체인 규칙 항을 끌어야 하므로 이 조건이 변경됩니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

역정현파 도함수

잘 아시다시피, 모든 삼각함수는 역함수를 가지므로 역사인도 미분 가능합니다.

역사인의 도함수는 인수 함수의 도함수를 1의 제곱근에서 인수 함수의 제곱을 뺀 값으로 나눈 몫과 같습니다.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

역사인은 아크사인이라고도 함을 기억하세요.

예를 들어, 5x의 역사인 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

사인 파생물에 대한 해결된 연습

다음 정현파 함수의 도함수를 계산합니다.

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

솔루션 보기

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

사인 파생물의 시연

이 섹션에서는 도함수의 정의를 사용하여 x 사인의 도함수가 x의 코사인임을 보여줍니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

이 경우 파생되는 함수는 sin(x)이므로 다음과 같습니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

합계의 사인은 다음 삼각법 항등식을 적용하여 다시 작성할 수 있습니다.

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

분수를 동일한 분모를 가진 두 개의 분수로 변환합니다. 우리는 합계 한도의 법칙 덕분에 이 작업을 수행할 수 있습니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ 참고: 극한의 법칙

x의 사인과 x의 코사인 항은 h 값에 의존하지 않으므로 극한에서 벗어날 수 있습니다.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

이제 우리가 해야 할 일은 다음 두 가지 삼각법 한계를 적용하는 것입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ 참고: 당사 웹사이트의 검색 엔진에서 이전의 두 삼각법 극한에 대한 데모를 검색할 수 있습니다.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

그리고 우리는 x의 사인의 도함수가 x의 코사인이라는 것을 보여줍니다.

유방 유래

사인의 미분은 무엇입니까?

사인 파생물의 예

예 1: 2x 사인의 파생

예 2: x 제곱의 사인 파생

예 3: 사인 큐브의 미분

사인의 2차 도함수

역정현파 도함수

사인 파생물에 대한 해결된 연습

사인 파생물의 시연

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