복소수

아마도 복소수(complex number) 라는 말을 들어보셨을 것입니다. 실수와 허수를 결합하기 때문에 아마도 가장 다루기 어려운 숫자 집합일 것입니다. 이를 통합하면 모든 실수를 사용하여 처리할 수 없는 수치적 동작을 연구할 수 있습니다.

복소수란 무엇입니까?

복소수는 실수 와 허수 의 조합입니다. 예를 들어, 4 + 5i 는 실수부가 4이고 허수가 5i인 복소수입니다. 일반적으로 다음 공식으로 표현할 수 있습니다.

여기서 Re(z) = a이고 Im(z) = b입니다.

우리가 잘 말했듯이, 복소수는 실수와 허수를 모두 포함하는 가장 큰 집합 또는 전역 집합 입니다. 다음으로 모든 세트의 계층 구조에 대한 작은 다이어그램을 보여줍니다.

따라서 실수와 허수를 조합하면 복소수가 됩니다. 그러나 두 부분 중 하나가 0인 경우가 있습니다. 이런 경우에는 어떻게 되나요? 음, 우리는 여전히 복소수를 다루고 있습니다. 왜냐하면 복소수 집합은 다른 모든 숫자 집합을 포함하기 때문입니다. 그러나 우리는 다른 하위 범주를 입력합니다.

순수 실수가 있을 때 허수값 b가 0과 같으므로 나머지 복소수는 다음과 같습니다.

z = a + 0i = a

반면에, 우리가 순수한 상상을 할 때, a는 0과 같고 결과적으로 복소수는 다음과 같이 유지됩니다:

z = 0 + bi = bi

복소수의 그래픽 표현

복소수를 표현하기 위해 복소 평면 을 사용합니다. 실제 직선과 가상 직선이라는 두 개의 직선 으로 구성됩니다. 이 두 수직선은 각 세트의 숫자를 그래픽으로 찾는 데 사용되며, 이를 합치면 다음과 같은 계획을 얻을 수 있습니다.

X축은 실제 부품 값이 위치하는 곳이기 때문에 실제 축이라고 합니다. Y축을 허수축이라고 부르는데, 여기에 허수값이 쓰여집니다. 예를 들어, 복소 평면에 숫자 3 + 2i 를 배치하겠습니다.

이미지에서 볼 수 있듯이 숫자 3과 2를 각각 축에 대한 좌표로 사용하여 숫자를 찾았습니다. 복소수 표현에 대해 더 자세히 알고 싶다면 이 글을 읽어 보시기 바랍니다.

복소수의 유형은 무엇입니까?

이제 우리는 복소수를 표현하는 방법을 살펴보겠습니다. 지금까지 우리는 실수 부분과 허수 부분의 합으로 표현되는 기본 형식(이항 형식이라고 함)만 살펴보았습니다.

그러나 실제로는 이항형, 극형, 삼각형 의 세 가지 형태가 있습니다. 각 표현 유형에는 고유한 속성이 있으며 상황에 따라 사용됩니다. 그래서 우리는 그것들을 모두 설명하고 하나에서 다른 것으로 이동하는 방법을 보여줄 것입니다.

1. 이항형

이항 형식 의 복소수는 실수부와 허수부의 합(a + bi)으로 작성됩니다. 예를 들어 숫자 6 + i는 이항 표기법으로 표현되는 복소수입니다. 이 경우 공식은 항상 동일합니다.

따라서 복소수를 이항 형식으로 표현하려면 그 실수값과 허수값만 알면 됩니다.

예를 들어, 값 3 + 2i 는 이항 형식이며 이전에 본 것처럼 다음과 같이 표현됩니다.

이항 형식은 복소수의 덧셈과 뺄셈을 푸는 데 주로 사용됩니다.

2. 극형

복소수를 극형 으로 표현하려면 해당 모듈 |z|를 계산해야 합니다. 그리고 그의 주장. 극형은 복소수의 곱셈과 나눗셈을 풀어야 할 때 주로 사용됩니다.

복소수의 모듈러스를 계산 하려면 다음 공식에 설명된 대로 a와 b의 모듈러스를 계산하면 됩니다.

그리고 z의 인수나 각도를 계산 하려면 a 사이의 b의 아크탄젠트를 계산해야 합니다.

각도 α의 값을 정확히 결정하려면 해당 각도가 어느 사분면에 있는지 식별해야 한다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 실제로 아크탄젠트 함수는 π/2와 -π/2 사이의 각도만 계산합니다. 복소수가 어느 사분면에 있는지 지정하려면 a와 b 값을 살펴봐야 합니다(양수인지 음수인지).

숫자가 어느 사분면에 속하는지 알고 나면 몇 가지 규칙을 따라야 합니다.

• 복소수가 첫 번째 사분면(a > 0 및 b > 0)에 있으면 인수를 그대로 둡니다.
• 복소수가 두 번째 사분면(a < 0 및 b > 0)에 있으면 인수에 π를 추가합니다.
• 복소수가 세 번째 사분면(a < 0 및 b < 0)에 있으면 인수에서 π를 뺍니다.
• 복소수가 네 번째 사분면(a > 0 및 b < 0)에 있으면 인수에 2π를 추가합니다.

사분면이라고 할 때 무엇을 말하는지 모르는 경우 삼각비 에 대한 기사를 참조하는 것이 좋습니다.

z의 크기와 인수를 알면 복소수를 극형으로 표현할 수 있습니다. 이 형식은 여러 명명법을 허용하지만 두 가지 주요 명명법은 다음과 같습니다.

예를 들어 숫자 3 + 5i 를 극좌표로 변경하려면 다음 절차를 따르면 됩니다.

먼저 모듈을 계산합니다.

그런 다음 첫 번째 사분면에 있는 인수를 계산하므로 계산한 대로 유지됩니다.

그리고 우리는 숫자를 극형으로 표현합니다.

그래픽 표현은 다음과 같습니다.

3. 삼각법 형태

마지막으로 오일러 공식 으로 계산되는 삼각법 표기법이 있습니다.

예를 들어 숫자 4 – 3i를 삼각함수 형태로 표현하려면 다음 절차를 따릅니다.

극좌표 형식 섹션에서 사용한 공식을 사용하여 계수와 인수를 계산하는 것부터 시작합니다.

주의: 인수는 (a > 0 및 b < 0)이기 때문에 네 번째 사분면에 있습니다.

데이터를 삼각법 형식으로 방정식에 추가합니다.

그리고 우리는 이미 삼각법 형태로 표현된 숫자를 가지고 있습니다. 그래픽 표현은 다음과 같습니다.

한 유형에서 다른 유형으로 전환하는 방법은 무엇입니까?

이제 당신은 복소수를 표현하는 모든 방법을 알았습니다. 마지막 섹션 전체에서 각 양식에 액세스하는 방법을 볼 수 있었지만 마치기 전에 한 양식에서 다른 양식으로 이동하는 방법에 대한 간단한 요약을 제공하고 싶습니다. 이전 섹션에서 본 수식 만 사용하면 됩니다.

이항형에서 극형으로 또는 그 반대로

이항에서 극으로 이동하기 위해 다음 다이어그램을 제안합니다.

앞서 이항에서 극항으로 이동하는 예를 보았으므로 이제 위 다이어그램을 사용하여 극항에서 이항으로 이동하겠습니다. √41 _38.66을 이항식으로 변환해야 합니다.

먼저 a를 계산합니다.

그런 다음 b를 계산합니다.

그리고 이를 이항식으로 표현합니다.

이 숫자의 그래픽 표현은 다음과 같습니다.

이항 형식에서 삼각 형식으로 또는 그 반대로

이항식에서 삼각법으로 이동하려면 이전 섹션에서 설명한 공식도 적용해야 합니다. 이러한 방식으로 먼저 모듈러스와 인수를 계산한 다음 이 데이터를 삼각법 형식의 방정식에 넣습니다. 예를 들어 숫자 z = 3 + 2i를 삼각법으로 전달하겠습니다.

먼저 모듈러스와 인수를 계산합니다.

주의: (a > 0 및 b > 0) 때문에 인수는 첫 번째 사분면에 있습니다.

그런 다음 이 데이터를 사용하여 삼각함수 방정식을 완성합니다.

그리고 삼각법에서 이항법으로 가고 싶다면, 우리가 해야 할 일은 이전 식을 푸는 것뿐입니다.

극형에서 삼각법 형태로 또는 그 반대로

마지막으로 극좌표 형식에서 삼각법 형식으로 이동하겠습니다. 이는 매우 간단합니다. 이 두 형식은 모듈로(modulo)와 인수(argument) 라는 동일한 두 값으로 표현되기 때문입니다. 따라서 양식을 작성하기만 하면 됩니다.

예를 들어 숫자 z = √85 _12.53 을 삼각법 형식으로 변환하겠습니다.

삼각법 형식의 방정식에서 두 변수(모듈과 인수)를 재구성합니다.

이제 한 형태에서 다른 형태로 전환하는 방법을 알았으니 몇 가지 연습을 통해 조금씩 연습해 보는 것이 좋습니다. 이렇게 하면 이 기사에서 배운 지식을 통합할 수 있습니다. 이 주제와 관련하여 질문이 있으시면 언제든지 댓글에 남겨주세요. 그리고 복소수에 대해 더 자세히 알고 싶다면 아래 링크를 확인하세요.

복소수에 대한 추가 정보

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