보수 또는 보조 인자로 4×4 행렬의 행렬식을 계산하는 방법

이 페이지에서는 덧셈이나 보조 인자로 행렬식을 푸는 방법과 4×4 차원 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 그러나 4차 행렬의 행렬식을 풀려면 먼저 행이나 열의 수반을 사용하여 행렬식을 계산하는 방법을 알아야 합니다. 그러므로 우리는 먼저 adjoints 또는 cofactors로 행렬식을 찾는 방법을 살펴본 다음 차수 4의 행렬식을 만드는 방법을 살펴보겠습니다 .

덧셈이나 보조 인자로 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?

행렬식은 임의의 행이나 열에 있는 요소의 각 보수(또는 보조인자)를 곱하여 계산할 수 있습니다.

이 방법을 수반인 또는 보조인자로 행렬식을 푸는 방법이라고 하며, 라플라스의 법칙(또는 라플라스의 정리)을 알려주는 수학자도 있습니다.

대리인이 행렬식을 해결하는 예:

3×3 행렬의 행렬식을 수접으로 푸는 실제적인 예를 살펴보자. 다음 행렬식을 만들어 보겠습니다.

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

먼저, 행렬식의 열이나 행을 선택해야 합니다. 이 경우 첫 번째 열을 선택합니다 . 0이 있으므로 해결하기가 더 쉽기 때문입니다.

이제 첫 번째 열의 요소에 해당 대리인을 곱 해야 합니다.

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

0의 보수는 계산할 필요가 없습니다. 왜냐하면 0을 곱하면 취소되기 때문입니다. 따라서 다음을 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

이제 보완 계산을 진행합니다.

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

대리인 을 계산하려면 다음을 기억하십시오.

$a_{ij}$

, 즉 광고 항목

$i$

그리고 열

$j$

, 다음 공식을 적용해야 합니다.

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

여기서 보완적인 마이너는

$a_{ij}$

행을 제거하여 행렬의 행렬식입니다.

$i$

그리고 열

$j$

우리는 거듭제곱과 행렬식을 푼다:

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

그리고 우리는 계산기를 사용하여 작업합니다.

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

따라서 행렬식의 결과는 -3입니다.

Sarrus의 규칙을 사용하여 행렬식을 계산하면 동일한 결과를 얻습니다.

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

대리인이 행렬식을 계산하는 방법을 알았으면 이제 4차 행렬식의 결과를 찾는 방법을 볼 수 있습니다.

4×4 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?

차수가 4인 행렬의 행렬식을 풀려면 대리인에 대해 방금 본 절차를 적용해야 합니다. 즉, 행이나 열을 선택하고 해당 요소의 각 요소의 곱을 추가합니다.

그러나 4×4 행렬식을 사용하는 이 절차를 사용하면 많은 3×3 행렬식을 계산해야 하며 시간이 오래 걸리는 경향이 있습니다. 따라서 인접점을 계산하기 전에 가우시안 방법과 유사하게 선에 대한 변환이 수행됩니다 . 행렬식의 행은 같은 행과 다른 행의 합에 숫자를 곱한 값으로 대체될 수 있습니다.

따라서 대리인이 4차 행렬식을 계산하려면 가장 많은 0을 포함하는 열을 선택해야 합니다. 이렇게 하면 계산이 쉬워집니다. 그런 다음 행에 대해 내부 작업을 수행하여 열의 모든 요소가 하나만 제외하고 null이 되도록 합니다.

예를 들어 4×4 행렬식이 어떻게 만들어지는지 살펴보겠습니다.

4×4 행렬식을 푸는 예:

우리는 다음 4×4 정사각 행렬의 행렬식을 풀 것입니다:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

이 경우 0이 가장 많은 열이 첫 번째 열입니다. 따라서 우리는 첫 번째 열을 선택합니다.

그리고 이 열에 1이 있다는 사실을 활용하여 첫 번째 열의 다른 모든 요소를 0으로 변환합니다. 1이 있는 행으로 계산을 수행하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

따라서 열의 다른 모든 요소를 0으로 바꾸려면 첫 번째 행을 두 번째 행에 더하고 네 번째 행에서 첫 번째 행에 2를 곱한 값을 뺍니다 . 세 번째 행은 첫 번째 열에 이미 0이 있으므로 변경할 필요가 없습니다.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

선택한 열의 한 요소를 제외한 모든 요소를 0으로 변환한 후에는 대리인별로 행렬식을 계산합니다. 즉 , 각 대리인별로 열 요소의 곱을 추가합니다.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

조건에 0을 곱하면 취소되므로 단순화됩니다.

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

따라서 1의 수반을 계산하는 것으로 충분합니다.

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Sarrus 규칙과 거듭제곱을 사용하여 행렬식을 계산합니다.

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

마지막으로 계산기를 사용하여 작업을 해결합니다.

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

4×4 행렬식의 해결된 연습

연습 1

다음 차수 4의 행렬식을 풉니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

해결책 보기

우리는 cofactor 방법을 사용하여 4×4 행렬식의 결과를 찾을 것입니다. 하지만 먼저 행에 대한 작업을 수행하여 열의 요소 중 하나만 제외하고 모든 요소를 0으로 설정합니다.

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

이제 우리는 마지막 열과 인접하여 행렬식 4×4를 푼다.

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

용어를 단순화합니다.

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

우리는 1의 수반을 계산합니다:

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

그리고 마지막으로 Sarrus의 규칙을 사용하여 3×3 행렬식을 계산합니다.

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

연습 2

다음 차수 4의 행렬식을 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

해결책 보기

우리는 보조 인자로 4×4 행렬식을 계산할 것입니다. 그러나 이를 수행하려면 먼저 행에 대한 작업을 수행하여 열의 모든 요소 중 하나를 제외하고 0으로 설정합니다.

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

이제 두 번째 열과 인접하여 행렬식 4×4를 푼다.

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

용어를 단순화합니다.

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

우리는 1의 수반을 계산합니다:

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

그리고 마지막으로 Sarrus 규칙과 계산기를 사용하여 3×3 행렬식을 계산합니다.

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

연습 3

다음 차수 4 행렬식의 결과를 구합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

해결책 보기

우리는 대리인을 통해 4×4 행렬식을 해결할 것입니다. 먼저 행에 대한 작업을 수행하여 열의 한 요소를 제외한 모든 요소를 0으로 변환합니다.

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

이제 우리는 세 번째 열의 대리인에 의해 행렬식 4×4를 푼다.

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

용어를 단순화합니다.

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

우리는 1의 수반을 계산합니다:

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

마지막으로 Sarrus 규칙과 계산기를 사용하여 3×3 행렬식을 해결합니다.

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

연습 4

차수 4의 다음 행렬식의 결과를 계산합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

해결책 보기

라플라스의 법칙을 이용하여 행렬식 4×4를 풀어보겠습니다. 하지만 먼저 행에 대한 작업을 수행하여 열의 요소 중 하나만 제외하고 모든 요소를 0으로 설정해야 합니다.

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

이제 우리는 첫 번째 열을 사용하여 행렬식 4×4를 대리인으로 해결합니다.

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$