벡터의 계수를 계산하는 방법

이 페이지에서는 벡터의 크기에 대한 설명과 공식을 사용하여 벡터를 계산하는 방법을 볼 수 있습니다. 또한 원점과 끝이라는 두 지점에서 모듈을 찾는 방법을 볼 수 있습니다. 또한 모듈러스와 벡터 모듈러스의 속성에서 벡터의 구성 요소를 결정하는 방법을 알아봅니다. 예제, 연습문제, 단계별 문제를 통해 연습할 수도 있습니다.

벡터의 계수는 무엇입니까?

벡터의 크기는 원점과 끝 사이의 거리를 나타냅니다. 따라서 벡터의 크기는 해당 벡터의 길이 와 같습니다.

위의 그래픽 표현에서 볼 수 있듯이 벡터의 크기는 벡터의 양쪽에 있는 수직 막대로 기호화됩니다.

$\lvert \vv{AB}\rvert$

반면 벡터의 모듈러스는 벡터의 노름 과 동일하므로 그렇게 쓰여진 것을 볼 수도 있습니다. 이것이 바로 각 측면에 두 개의 수직 막대가 있는 벡터 모듈을 나타내는 수학자들이 있는 이유입니다.

$\lvert \lvert \vv{AB}\rvert\rvert$

벡터의 계수에 대한 공식

평면에서 벡터의 크기를 찾으려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

벡터의 크기를 결정하려면 해당 구성 요소의 제곱합의 (양수) 제곱근을 계산해야 합니다. 즉, 다음과 같은 벡터가 있는 경우:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)$

모듈은 다음과 같습니다:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

예를 들어, 다음 공식을 사용하여 다음 벡터의 크기를 계산합니다.

$\vv{\text{u}} = (4,3)$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9}=\sqrt{25} = \bm{5}$

원점과 끝의 좌표를 사용하여 벡터의 크기를 계산합니다.

우리는 방금 벡터의 구성요소를 알 때 벡터의 크기가 어떻게 결정되는지 살펴보았습니다. 하지만 벡터가 시작하는 지점과 끝나는 지점만 알면 어떻게 될까요?

따라서 원점과 끝의 좌표에서 벡터의 크기를 계산하려면 다음 두 단계를 따라야 합니다.

먼저 벡터의 구성 요소를 찾습니다. 이렇게 하려면 극값에서 원점을 뺀 값을 빼야 합니다.
그런 다음 이전 섹션에서 본 공식을 사용하여 얻은 벡터의 모듈을 계산합니다.

예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

점을 원점으로 하는 벡터의 크기를 계산합니다.
$A(2,1)$

그리고 마지막 포인트로

$B(-1,4).$

먼저 벡터의 구성요소를 찾아야 하므로 끝점에서 원점을 뺀 값을 뺍니다.

$\vv{AB}=B-A=(-1,4)-(2,1)=(-3,3)$

벡터를 알고 나면 벡터 크기 공식을 사용하여 크기를 계산합니다.

$\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}$

그리고 그 결과는 정확하지 않기 때문에 제곱근으로 남겨둡니다.

모듈러스에서 벡터의 구성 요소를 계산하는 방법

우리는 구성 요소에서 벡터의 크기를 추출하는 방법을 살펴보았지만 이 과정을 반대로 할 수도 있습니다. 즉, 모듈러스를 통해 벡터의 구성요소를 계산할 수 있습니다.

벡터의 크기에서 벡터의 구성요소를 찾는 과정을 벡터 분해 라고 합니다. 따라서 벡터를 분해하려면 크기와 가로축(X축)과 이루는 각도가 필요합니다.

따라서 벡터의 X 및 Y 구성요소는 삼각비를 사용하여 계산할 수 있습니다.

이미지에서 볼 수 있듯이 벡터의 크기는 해당 구성요소와 함께 직각삼각형을 형성하므로 삼각법의 기본 공식을 적용할 수 있습니다.

벡터의 모듈러스와 달리 사인과 코사인은 음수 값을 가질 수 있으므로 벡터의 구성 요소는 음수가 될 수 있다는 점을 고려해야 합니다.

예를 들어, OX 축과의 크기와 각도가 다음과 같은 벡터의 벡터 분해를 풀어 보겠습니다.

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert = 10 \qquad \alpha = 60º$

벡터의 수평 구성 요소는 모듈에 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

$\text{u}_x= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{cos}(60º)= 10 \cdot 0,5 = 5$

그리고 벡터의 수직 구성 요소는 모듈에 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.

$\text{u}_y= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{sen}(60º)= 10 \cdot 0,87 = 8,7$

따라서 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5 \ ,\ 8,7)}$

벡터의 모듈러스 속성

모듈러스(Modulus)는 다음과 같은 특징을 갖는 벡터 연산의 한 유형입니다.

벡터의 크기는 결코 음수일 수 없으며 항상 0보다 크거나 같습니다.

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert \geq 0$

실제로 크기가 0인 유일한 벡터는 0 벡터, 즉 벡터입니다.

$\vv{\text{u}}= (0,0) .$

벡터와 실수(또는 스칼라)의 곱의 크기는 스칼라의 절대값에 벡터의 크기를 곱하는 것과 동일합니다. 따라서 다음과 같은 등식이 성립합니다.

$\lvert k \cdot \vv{\text{u}} \rvert = \lvert k \rvert \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert$

삼각 부등식이 검증됩니다. 두 벡터의 합의 모듈러스는 개별 모듈의 합보다 작거나 같습니다.

$\lvert \vv{\text{u}}+\vv{\text{v}} \rvert \leq \lvert\vv{\text{u}} \rvert+\lvert\vv{\text{v}} \rvert$

또한 두 벡터의 합의 크기는 다음 방정식에 의해 내적과 관련됩니다.

$\lvert \vv{\text{u}}+\vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{\lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2+\lvert \vv{\text{v}} \rvert ^2 +2\cdot \vv{\text{u}}\cdot \vv{\text{v}} \vphantom{\sqrt{x^2}}}$

단위 벡터

수학에서 단위 벡터는 모듈러스가 1인 벡터입니다.

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert=1$

따라서 단위 벡터의 길이는 1단위입니다.

벡터가 정확히 1의 모듈러스를 갖는 것은 매우 어려워 보일 수 있지만 실제로는 이러한 유형의 벡터를 찾는 것이 쉽습니다.

벡터의 단위 벡터를 찾으려면 간단히 모듈러스로 나누면 됩니다.

$\vv{\text{v}}_u = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

금

$\vv{\text{v}}_u$

은 다음의 단위 벡터입니다.

$\vv{\text{v}},$

그리고

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

당신의 모듈.

단위 벡터는 versor 또는 정규화된 벡터라고도 합니다.

또한 단위 벡터는 원래 벡터와 동일한 방향 및 방향을 갖습니다.

예를 들어, 다음 벡터의 단위 벡터를 계산합니다.

$\vv{\text{v}}=(1,-1)$

벡터를 정규화하려면 먼저 크기를 계산해야 합니다.

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert=\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$

그리고 마지막으로 원래 벡터를 모듈러스로 나누어 단위 벡터를 계산합니다.

$\displaystyle \vv{\text{v}}_u = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}= \bm{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}$

해결 벡터 모듈 연습

연습 1

다음 벡터의 크기를 계산합니다.

$\vv{a}=(6,8)$

해결책 보기

벡터의 모듈을 계산하려면 다음 공식을 적용해야 합니다.

$\lvert\vv{a} \rvert= \sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \bm{10}$

연습 2

다음 벡터를 가장 짧은 것부터 긴 것 순으로 정렬하세요.

$\vv{a}=(4,-2)$

$\vv{b}=(3,1)$

$\vv{c}=(5,12)$

$\vv{d}=(-6,-3)$

해결책 보기

벡터의 길이는 크기와 같습니다. 따라서 모든 벡터의 모듈러스를 계산해야 합니다.

$\left|\vv{a}\right|= \sqrt{4^2+(-2)^2} =\sqrt{16+4} = \sqrt{20}$

$|\vv{b}|= \sqrt{3^2+1^2} =\sqrt{9+1} = \sqrt{10}$

$\begin{vmatrix}\vv{c}\end{vmatrix}= \sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$

$|\vv{d}| = \sqrt{(-6)^2+(-3)^2} =\sqrt{36+9} = \sqrt{45}$

따라서 가장 작은 길이(또는 모듈)에서 가장 큰 길이(또는 모듈)로 정렬된 벡터는 다음과 같습니다.

$|\vv{b}|< \begin{vmatrix}\vv{a}\end{vmatrix} < |\vv{d}| < \begin{vmatrix}\vv{c}\end{vmatrix}$

연습 3

점이 원점인 벡터의 크기를 결정합니다.

$A(-3,2)$

그리고 마지막 포인트로

$B(7,-4).$

해결책 보기

모듈을 계산하려면 먼저 벡터를 찾아야 합니다. 이를 위해 극값에서 원점을 뺀 값을 뺍니다.

$\vv{AB}=B-A=(7,-4)-(-3,2)=(10,-6)$

벡터를 알고 나면 모듈러스 공식을 사용하여 모듈러스를 계산합니다.

$\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{10^2+(-6)^2} = \sqrt{100+36}=\bm{\sqrt{136}}$

연습 4

다음 벡터를 분해하고 해당 구성요소를 찾습니다.

$\lvert \vv{a} \rvert =8 \qquad \alpha = 45º$

해결책 보기

벡터의 수평 구성 요소는 모듈에 각도의 코사인을 곱한 것과 같습니다.

$a_x= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{cos}(45º)= 8 \cdot 0,71 = 5,66$

그리고 벡터의 수직 구성 요소는 모듈에 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.

$a_y= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{sen}(45º)= 8 \cdot 0,71 = 5,66$

따라서 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5,66 \ ,\ 5,66)}$

이 경우 두 구성 요소는 동일합니다. 즉, 벡터의 경사각은 45°입니다.

연습 5

다음 벡터와 동일한 방향 및 방향을 사용하지만 모듈 1을 사용하여 벡터를 계산합니다.

$\vv{a} = (-4,3)$

해결책 보기

동일한 방향과 동일한 방향을 가지지만 모듈 1을 갖는 벡터는 단위 벡터입니다. 이를 계산하기 위해 먼저 벡터의 모듈을 찾습니다.

$\lvert \vv{a} \rvert=\sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

이제 원래 벡터를 모듈러스로 나누어 단위 벡터를 계산합니다.

$\displaystyle \vv{a}_u = \cfrac{\vv{a}}{\lvert \vv{a} \rvert} = \frac{(-4,3)}{5}= \bm{\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5} \right)}$

연습 6

다음 벡터를 벡터적으로 분해하고 해당 단위 벡터를 계산합니다.

$\lvert \vv{a} \rvert =6 \qquad \alpha = 20º$

해결책 보기

먼저 벡터를 분해하고 좌표를 찾습니다.

$a_x= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{cos}(20º)= 6 \cdot 0,94 = 5,64$

$a_y= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{sen}(20º)= 6 \cdot 0,34 = 2,05$

따라서 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{a}= (5,64 \ ,\ 2,05)}$

이제 모듈에서 얻은 벡터를 나누어 단위 벡터를 계산합니다.

$\displaystyle \vv{a}_u = \cfrac{\vv{a}}{\lvert \vv{a} \rvert} = \frac{(5,64 \ ,\ 2,05)}{6}= \bm{(0,94 \ , \ 0,34) }$

단위 벡터의 구성요소는 X축과 이루는 각도의 코사인 및 사인과 같습니다.

벡터의 모듈러스를 계산하는 방법

벡터의 계수는 무엇입니까?

벡터의 계수에 대한 공식

원점과 끝의 좌표를 사용하여 벡터의 크기를 계산합니다.

모듈러스에서 벡터의 구성 요소를 계산하는 방법

벡터의 모듈러스 속성

단위 벡터

해결 벡터 모듈 연습

연습 1

연습 2

연습 3

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연습 6

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