함수 변환: 변환, 확장 및 대칭

이 페이지에서는 함수 변환이 무엇인지, 그리고 이를 찾는 방법을 설명합니다. 변환에는 변환(또는 변위), 대칭 및 확장(또는 수축)의 세 가지 유형이 있습니다. 또한 의심의 여지 없이 개념을 연습하고 이해할 수 있도록 단계별로 해결되는 연습 문제도 찾을 수 있습니다.

함수 변환이란 무엇입니까?

때로는 우리가 이미 알고 있는 다른 기능과 매우 유사한 기본 기능을 그래프로 표시하라는 요청을 받을 수도 있습니다. 글쎄, 유사한 기능을 다시 표시하는 대신 기술을 사용하여 한 기능 표시에서 다른 기능 표시로 쉽고 빠르게 전환할 수 있습니다.

따라서 함수 변환은 기본 연산을 통해 함수의 그래픽 표현에서 다른 매우 유사한 함수의 그래픽 표현으로 이동할 수 있게 해주는 기술입니다.

기본적으로 기본 기능에는 세 가지 유형의 변환이 있습니다.

번역 또는 이동 : 기능을 수직 및 수평으로 이동할 수 있습니다.
반사 또는 대칭 : X축 또는 Y축을 대칭축으로 사용하여 함수를 반사할 수 있습니다.
확장 및 압축 : 기능을 확대하거나 축소할 수 있습니다.

함수 변환의 개념을 살펴본 후에는 각 수정 유형에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.

기능의 번역 또는 이동

기능 이동부터 시작하겠습니다. 수직 번역과 수평 번역의 두 가지 유형이 있습니다.

함수의 변환 또는 수직 이동

함수를 수직으로(Y축을 따라) 이동하거나 이동하려면 함수에 상수를 더하거나 빼야 합니다.

함수에 ka를 추가하여 함수를 k 단위 위로 이동합니다.

$\bm{f(x)+k}$

함수에서 ka를 빼서 함수를 k 단위 아래로 이동합니다.

$\bm{f(x)-k}$

그래프에서 볼 수 있듯이 함수에 상수를 추가하면 추가된 단위가 위로 이동합니다(녹색 함수). 반면, 함수에서 숫자를 뺄 때 뺄셈 단위는 아래로 이동합니다(빨간색 기능).

이러한 유형의 이동에서는 기능 점수의 Y 좌표만 변경되고 X 좌표는 동일하게 유지됩니다.

기능의 번역 또는 수평 이동

함수를 수평으로(X축을 따라) 이동하거나 이동하려면 독립 변수 x 에 상수를 더하거나 빼야 합니다.

그래프

$\bm{f(x+k)}$

의 그래프이다

$f(x)$

k 단위를 왼쪽으로 이동했습니다.

그래프

$\bm{f(x-k)}$

의 그래프이다

$f(x)$

k 단위를 오른쪽으로 이동했습니다.

그래프에서 볼 수 있듯이 변수 x 에 상수를 직접 추가하면 함수는 추가된 단위를 왼쪽으로 이동합니다(빨간색 함수). 반면, 변수 x 에서 숫자를 뺄 때 함수는 뺀 단위를 오른쪽으로 이동합니다(녹색 함수).

이러한 유형의 이동에서는 기능 점수의 X 좌표만 변경되고 Y 좌표는 동일한 값으로 계속됩니다.

기능 번역 또는 이동의 예

다음 함수를 위쪽으로 4단위, 오른쪽으로 3단위 이동합니다.

$f(x)=x^2$

함수를 4단위 위로 이동하려면 함수에 4단위를 추가해야 합니다.

$f(x) + 4 = x^2 + 4$

또한 함수를 오른쪽으로 3단위 이동하려면 다음을 계산해야 합니다.

$f(x-3)$

. 따라서

$x$

우리는 할 수 있다

$x-3 :$

$f(x-3) = (x-3)^2 + 4$

따라서 위로 4단위 이동하고 오른쪽으로 3단위 이동한 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x) = (x-3)^2 + 4}$

아래에는 원래 함수와 변환된 함수가 그래프로 표시되어 있어 둘 사이의 차이점을 확인할 수 있습니다.

일부 수학자들은 두 가지 유형의 운동이 동시에 발생할 때 경사 변위 또는 평행 이동을 부릅니다.

좌표축에 대한 함수의 반사 또는 대칭

다음과 같은 방법으로 직교 축에 대한 대칭 함수를 나타낼 수 있습니다.

x축에 대한 함수를 반영 하려면 함수의 부호를 변경해야 합니다. 즉, 다음을 계산해야 합니다.

$\bm{-f(x)}.$

y축에 대한 함수를 반영 하려면 독립 변수 x 를 부정해야 합니다. 즉, 다음을 계산해야 합니다.

$\bm{f(-x)}.$

이전 그래프에서 볼 수 있듯이 함수에 -1을 곱하면 그래픽적으로 함수가 반전됩니다(주황색 함수). 즉, X축을 기준으로 미러링됩니다.

이전 그래프에서 볼 수 있듯이 변수 x 를 부정함으로써 Y축(밝은 녹색 함수)을 기준으로 함수를 미러링합니다.

함수 미러링의 예

다음 이차 함수의 OX 축에 대한 대칭 함수와 OY 축에 대한 대칭 함수를 계산합니다.

$f(x)=x^2-4x+6$

X축에 대해 대칭인 함수를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

$-f(x)$

$-f(x)=-\bigl[x^2-4x+6\bigr]$

$\bm{-f(x)=-x^2+4x-6}$

그리고 Y축에 대해 대칭인 함수를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

$f(-x)$

. 그러므로, 우리는

$x$

원래 함수에서는 용어로

$-x :$

$f(x)=x^2-4x+6$

$f(-x)=(-x)^2-4\cdot (-x)+6$

$f(-x)=x^2-4\cdot (-x)+6$

$\bm{f(-x)=x^2+4x+6}$

아래에는 원래 함수와 발견된 대칭 함수가 모두 표시되어 있습니다.

기능 확장 및 수축

번역과 마찬가지로 수직 및 수평의 두 가지 유형의 확장 또는 축소가 있습니다.

기능의 수직 확장 및 축소

정수 함수에 계수를 곱하면 이를 확장하거나 축소할 수 있습니다.

Y축의 함수를 확장(또는 확장) 하려면 함수에 1보다 큰 숫자를 곱해야 합니다.

$kf(x)\qquad k>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”121″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p style=$ Y축에서 함수를 축소 하려면 함수에 1보다 작은 양수를 곱해야 합니다.

$kf(x)\qquad 0</div> <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/expansion-et-contraction-d-une-fonction.webp" alt="expansion et contraction verticales d'une fonction" class="wp-image-320" width="442" height="438" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Comme vous pouvez le voir dans le graphique précédent, si on multiplie une fonction par un coefficient supérieur à 1 (fonction verte) on la rend plus grande le long de l’axe OY, en revanche, si on multiplie une fonction par un coefficient supérieur à 0 mais plus petit que 1 (fonction rouge), nous le rendons plus petit le long de l’axe OY.</p> <h3 class="wp-block-heading"> Expansion et contraction horizontales d’une fonction</h3> <p> Dans ce cas, au lieu de multiplier la fonction entière par un coefficient, pour qu’une fonction se dilate ou se contracte horizontalement, nous devons multiplier la variable indépendante <em>x</em> . </p> <div style="padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px;"> Pour <strong>étendre (ou dilater) une fonction sur l’axe X,</strong> il faut multiplier tous les <em>x</em> par un nombre compris entre 0 et 1 :” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”392″ width=”2425″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> f(kx)\q쿼드 0</p> <p style=$ X축의 함수를 축소 하려면 모든 x 에 1보다 큰 숫자를 곱해야 합니다.

$f(kx)\qquad k>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”121″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </div> <div class=$

이전 그래프에서 볼 수 있듯이, 함수의 모든 x 에 0보다 크고 1보다 작은 계수(녹색 함수)를 곱하면 OX 축을 따라 확대됩니다. 반면에 다음을 곱하면 1보다 큰 계수에 의한 함수(빨간색 함수)를 OX 축을 따라 줄입니다.

함수를 확장하거나 축소하는 방법의 예

다음 무리 함수를 수직 및 수평으로 복제합니다.

$f(x)=\sqrt{9-x^2}$

y축의 함수를 2로 확장하려면 전체 함수에 2를 곱해야 합니다.

$2f(x)=2\sqrt{9-x^2}$

그리고 x축에서 함수를 2만큼 확장하려면 함수의 모든 x 에 다음을 곱해야 합니다.

$\displaystyle \frac{1}{2}:$

$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}x\right)=2\sqrt{9-\left(\frac{1}{2}x\right)^2}$

따라서 두 좌표축에 중복된 함수는 다음과 같습니다.

$\displaystyle\bm{f(x) = 2\sqrt{9-\left(\frac{1}{2}x\right)^2}}$

아래에는 원래 함수와 변환된 함수가 그래픽으로 표시되어 있어 두 함수 사이의 차이점을 확인할 수 있습니다.

보시다시피, 새로운 기능(보라색)은 원래 기능(파란색)보다 수직 및 수평으로 두 배 크기 때문에 기능이 확장되었습니다.

함수 변환에 대한 해결된 연습

연습 1

다음 3도 함수를 5단위 위로 이동합니다.

$f(x) = 4x^3-9x-2$

솔루션 보기

함수를 5단위 위로 이동하려면 함수에 5를 추가합니다.

$\begin{aligned} f(x) + 5 & = 4x^3-9x-2 + 5 \\[2ex] & = 4x^3-9x+3 \end{aligned}$

따라서 5단위만큼 이동된 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x) = 4x^3-9x+3}$

연습 2

다음 이차 함수의 Y축에 대한 대칭 함수를 찾습니다.

$f(x) = 2x^2-3x+6$

솔루션 보기

Y축에 대해 대칭인 함수를 찾으려면 다음을 계산해야 합니다.

$f(-x)$

즉, 교체해야 합니다.

$x$

을 위한

$-x$

함수에서:

$f(-x) = 2(-x)^2-3\cdot (-x)+6$

$f(-x) = 2x^2+3x+6$

따라서 OY 축에 대한 대칭 기능은 다음과 같습니다.

$\bm{f(x) = 2x^2+3x+6}$

연습 3

다음 함수를 해당 표현의 1/3로 수평 압축을 수행합니다.

$f(x) = x^3-4x^2-5x+1$

솔루션 보기

기능 을 축소하려면

$f(3x) = (3x)^3-4(3x)^2-5(3x)+1$

$f(3x) = 27x^3-4\cdot 9 x^2-15x+1$

$f(3x) = 27x^3-36 x^2-15x+1$

따라서 축소된 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x) = 27x^3-36 x^2-15x+1}$

연습 4

오른쪽으로 4단위 변환된 다음 함수의 OX 축을 기준으로 대칭 함수를 계산합니다.

$f(x) = 3x^3-x^2+5x+8$

솔루션 보기

대칭 함수를 계산하기 전에 먼저 함수를 오른쪽으로 4단위 이동해야 합니다. 따라서:

$f(x-4) = 3(x-4)^3-(x-4)^2+5(x-4)+8$

$f(x-4) = 3(x-4)^3-(x-4)^2+5x-20+8$

$f(x-4) = 3(x-4)^3-(x-4)^2+5x-12$

그리고 함수를 이동한 후에는 X축을 기준으로 대칭 함수를 계산합니다. 이렇게 하려면 얻은 함수를 부정해야 합니다.

$\displaystyle -f(x) = -\Bigl[3(x-4)^3-(x-4)^2+5x-12\Bigr]$

$-f(x) = -3(x-4)^3+(x-4)^2-5x+12$

간단히 말해서, 모든 기본 연산을 적용한 후의 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x) =-3(x-4)^3+(x-4)^2-5x+12}$

연습 5

다음 함수를 왼쪽으로 2단위 이동한 다음 수직으로 4배로 확장합니다.

$f(x) = x^4-5x^3-x-3$

솔루션 보기

먼저 함수를 왼쪽으로 두 단위 이동합니다.

$f(x+2) = (x+2)^4-5(x+2)^3-(x+2)-3$

$f(x-4) = (x+2)^4-5(x+2)^3-x-2-3$

$f(x-4) = (x+2)^4-5(x+2)^3-x-5$

그런 다음 Y축을 따라 4배로 함수를 확장합니다.

$4\cdot f(x) = 4\cdot \Bigl[(x+2)^4-5(x+2)^3-x-5\Bigr]$

$f(x) = 4(x+2)^4-20(x+2)^3-4x-20$

결론적으로 모든 기본 변환을 적용한 후의 함수는 다음과 같습니다.

$\bm{f(x) =4(x+2)^4-20(x+2)^3-4x-20}$

연습 6

기능에서

$f(x)=x,$

그래프의 어떤 표현이 함수에 해당하는지 결정하십시오.

$f(x)=x-3 .$

솔루션 보기

기능

$f(x)=x-3$

기능은

$f(x)=x$

3단위 아래로 이동했습니다. 함수에서 숫자를 빼면 함수가 아래로 이동하기 때문입니다.

따라서 표현은

$f(x)=x-3$

b) 선 에 해당합니다. 왜냐하면 선에 비해 3 단위 아래로 이동했기 때문입니다.

$f(x)=x .$

이는 수직 축을 보면 알 수 있습니다.

$f(x)=x$

0을 통과하면 빨간색 선이 -3을 통과하므로 3단위 아래로 이동합니다.

연습 7

기능에서

$f(x)=x^2+2,$

어느 포물선이 함수를 표현하는지 결정

$f(x)=(x-6)^2+2 .$

솔루션 보기

기능

$f(x)=(x-6)^2+2$

기능은

$f(x)=x^2+2$

오른쪽으로 6칸 이동했습니다. 계산을 통해 이를 확인할 수 있습니다.

$f(x-6):$

$f(x)=x^2+2$

$f(x-6)=(x-6)^2+2$

따라서 표현은

$f(x)=(x-6)^2+2$

포물선 c) 에 해당합니다. 왜냐하면 6단위만큼 오른쪽으로 이동했기 때문입니다.

$f(x)=x^2+2$

이는 포물선의 꼭지점을 보면 알 수 있습니다. 즉, 포물선의 꼭지점 사이의 거리입니다.

$f(x)=x^2+2$

포물선 c)의 꼭지점은 6단위이므로 후자는 첫 번째에 비해 오른쪽으로 6단위 이동됩니다.

함수 변환: 변환, 대칭, 확장 및 압축

함수 변환이란 무엇입니까?

기능의 번역 또는 이동

함수의 변환 또는 수직 이동

기능의 번역 또는 수평 이동

기능 번역 또는 이동의 예

좌표축에 대한 함수의 반사 또는 대칭

함수 미러링의 예

기능 확장 및 수축

기능의 수직 확장 및 축소

함수를 확장하거나 축소하는 방법의 예

함수 변환에 대한 해결된 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

연습 7

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