행렬 정의 및 행렬 유형

이 기사에서는 행렬이 무엇인지, 그리고 행렬의 차원이 어떻게 결정되는지 설명합니다. 또한 샘플 매트릭스가 표시됩니다. 그리고 마지막으로 가장 중요한 유형의 행렬이 무엇인지 알게 될 것입니다.

매트릭스란 무엇입니까?

명령 행렬

$m \times n$

로 배열된 숫자의 집합이다.

$m$

행과

$n$

열:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

행렬 예

다음은 다양한 행렬의 몇 가지 예입니다.

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

테이블의 크기

배열의 차원은 다음과 같습니다.

$\bm{m \times n}$

. 금

$m$

행렬의 행 수에 해당하며,

$n$

열 수에.

예:

차원 행렬

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

차원 행렬

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

행렬 유형

아래에서는 가장 중요한 매트릭스 유형의 특성을 설명합니다.

행 행렬

행이 하나만 있는 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

열 행렬

열이 하나만 있는 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

전치 행렬

전치 또는 전치 행렬은 행을 열로 변경하여 얻은 행렬입니다. 그리고 행렬의 오른쪽 상단에 “t”를 넣어서 표현됩니다.

$\left(A^t \right) .$

예:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

정사각형 행렬

정방행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬이다.

$(m=n ) .$

예를 들어, 3차 정사각 행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

정사각 행렬의 주대각선은 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이동하는 요소로 구성됩니다.

정사각 행렬의 2차 대각선은 왼쪽 아래 모서리에서 오른쪽 위 모서리로 이동하는 요소에 해당합니다.

정사각형 행렬은 아마도 가장 많이 사용되는 행렬 유형이므로 선형 대수학에 매우 중요하므로 모든 속성을 확인하는 것이 좋습니다.

삼각행렬

삼각행렬은 주대각선 위 또는 아래의 모든 요소가 0인 행렬입니다.

삼각 행렬은 주대각선 아래의 요소가 0인 상부 삼각 행렬 과 주대각선 위의 요소가 0인 하부 삼각 행렬 의 두 가지 유형으로 나뉩니다. 이들 간의 차이점을 완전히 이해하려면 삼각 행렬의 다른 예를 확인하세요.

상부 삼각 행렬:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

하부 삼각 행렬:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

대각행렬

대각행렬은 주대각선에 없는 모든 원소가 0인 정사각행렬이다. 이 링크에서 대각 행렬의 속성과 기타 예를 볼 수 있습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

이러한 행렬은 0이 많이 포함되어 있어 매우 단순해 보이지만 실제로는 수학에 매우 중요합니다. 실제로 행렬을 대각화하는 데는 전체 절차가 있으므로 대각화 가능한 행렬이 매우 중요합니다.

스칼라 행렬

스칼라 행렬은 주대각선의 모든 요소가 동일한 대각행렬입니다. 원한다면 여기에서 스칼라 행렬의 다른 예를 볼 수 있습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

항등 행렬 또는 단위

단위행렬은 주대각선의 모든 요소가 1인 대각행렬이다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

모든 대각 행렬과 마찬가지로 매우 간단한 유형의 행렬처럼 보입니다. 그러나 겉모습에 속지 마십시오. 이는 그 속성으로 인해 널리 사용되는 행렬입니다. 예를 들어 행렬을 반전시키는 데 사용됩니다. 단위 행렬의 유용성을 이해하려면 단위 행렬의 속성을 검토하는 것이 좋습니다.

널 행렬

제로 행렬은 모든 요소가 0인 행렬입니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

보시다시피, 이 행렬은 전혀 복잡하지 않습니다. 하지만 별 것 아닌 것 같아도 나름의 용도가 있습니다. 널 매트릭스 속성 페이지에서 해당 응용 프로그램을 볼 수 있습니다.

대칭행렬

대칭행렬 은 주대각선이 대칭축인 행렬이다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

대칭 행렬의 속성 으로 인해 대칭 행렬을 전치한 결과는 행렬 자체입니다.

비대칭 행렬

반대칭 행렬은 주대각선이 0으로 채워져 있는 행렬이며, 게다가 반대칭 축이기도 합니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

다음 링크에서 반대칭 행렬의 모든 속성과 추가 예를 볼 수 있습니다.

이제 테이블 유형을 살펴보았으므로 아마도 궁금할 것입니다. 이 모든 것의 요점이 무엇입니까? 주요 응용 프로그램 중 하나는 행렬 연산이며, 그 중 가장 중요한 것은 곱셈입니다. 곱셈 행렬 페이지에서 이 연산이 어떻게 수행되는지 확인할 수도 있습니다.