아크사인 파생물

이 글에서는 함수의 아크사인을 유도하는 방법을 설명합니다. 함수의 아크사인 도함수의 예를 찾을 수 있으며 단계별로 연습문제를 풀어 연습할 수도 있습니다. 마지막으로 아크사인 파생 공식의 시연도 볼 수 있습니다.

아크사인의 미분은 무엇입니까?

x의 아크사인 도함수는 1 – x 제곱의 제곱근 나누기 1입니다.

$f(x)=\text{arcsen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

따라서 함수의 아크사인 도함수는 해당 함수의 도함수를 1의 제곱근에서 제곱 함수를 뺀 값으로 나눈 몫과 같습니다.

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

논리적으로 두 번째 공식은 첫 번째 공식에 연쇄 법칙을 적용하여 얻어집니다.

아크사인은 사인의 역함수이므로 역사인이라고도 합니다.

아크사인 파생물의 예

아크사인 도함수의 공식이 무엇인지 확인한 후 이러한 유형의 삼각 도함수에 대한 몇 가지 예를 설명하겠습니다. 이렇게 하면 함수의 아크사인이 어떻게 파생되는지 이해하는 것이 더 쉬울 것입니다.

예 1: 2x 아크사인의 파생

$f(x)=\text{arcsen}(2x)$

아크사인 함수의 미분을 찾으려면 해당 공식을 사용해야 합니다.

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

따라서 2x의 도함수는 2이므로 2x의 아크사인 도함수는 2를 1의 루트에서 2x 제곱을 뺀 값으로 나눈 값입니다.

$f(x)=\text{arcsen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

예 2: x 제곱의 아크사인 파생

$f(x)=\text{arcsen}(x^2)$

이를 도출하기 위해 아크사인 파생 공식을 사용합니다.

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

함수 x ² 는 2차이므로 그 도함수는 2x입니다. 따라서 x의 아크사인을 2제곱한 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{arcsen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

예 3: e ^x 아크사인의 파생

$f(x)=\text{arcsen}(e^x)$

이 예의 함수는 복합 함수이므로 도함수를 풀기 위해 체인 규칙을 적용해야 합니다.

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

e ^x 의 도함수는 그 자체이므로 전체 함수의 도함수는 다음과 같습니다.

$f(x)=\text{arcsen}(e^x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{e^x}{\sqrt{1-\left(e^x\right)^2}}=\cfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

아크사인 파생 문제 해결

다음 아크사인 함수를 도출합니다.

$\text{A) }f(x)=\text{arcsen}(6x)$

$\text{B) }f(x)=\text{arcsen}(x^2-4x)$

$\text{C) }f(x)=\text{arcsen}\left(3x^4-6x^3+9+e^{x^2}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{arcsen}\left(\log_5(3x)\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{arcsen}\left(\sqrt{4x}\right)$

해결책 보기

$\text{A) }f'(x)=\cfrac{6}{\sqrt{1-(6x)^2}}=\cfrac{6}{\sqrt{1-36x^2}}$

$\text{B) }f'(x)=\cfrac{2x-4}{\sqrt{1-(x^2-4x)^2}}$

$\text{C) }f'(x)=\cfrac{12x^3-18x^2+2x\cdot e^{x^2}}{\sqrt{1-(3x^4-6x^3+9+e^{x^2})^2}}$

$\text{D) }f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_5(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 5}=\cfrac{1}{x\cdot \ln 5\cdot \sqrt{1-\left(\log_5(3x)\right)^2}}$

$\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}$