동일 평면(또는 동일 평면) 벡터

이 페이지에서는 동일 평면 벡터가 무엇인지, 그리고 2, 3, 4개 이상의 벡터가 동일 평면에 있는지 확인하는 방법을 배웁니다. 또한 동일 평면 벡터에 대해 단계별로 해결되는 예제와 연습을 볼 수 있습니다.

동일 평면 벡터란 무엇입니까?

해석 기하학에서 동일 평면(또는 동일 평면) 벡터의 의미는 다음과 같습니다.

동일 평면 벡터는 동일한 평면에 속하는 벡터입니다.

따라서 평면은 최소 2개의 벡터로 구성될 수 있으므로 두 벡터는 항상 동일 평면에 있습니다. 반면에 3, 4개 이상의 벡터가 있는 경우 벡터 중 하나가 동일한 평면에 포함되지 않아 동일 평면에 있지 않을 수 있습니다.

예를 들어, 위 그래프에서 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{\text{u}}$

그리고

$\vv{\text{v}}$

그들은 같은 평면에 포함되어 있기 때문에 서로 동일 평면에 있습니다. 반면에, 이 두 벡터는 벡터와 동일 평면에 있지 않습니다.

$\vv{\text{w}}$

, 세 개의 벡터를 포함하는 공간에서는 평면을 형성할 수 없기 때문입니다.

이 속성으로부터 우리는 3개 이상의 벡터가 동일 평면에 있는 경우 해당 벡터를 정의하는 점(벡터의 시작과 끝)도 동일 평면에 있는 점이라고 추론할 수 있습니다.

벡터는 언제 동일 평면상에 있나요?

동일 평면(또는 동일 평면) 벡터의 정의에서 보았듯이 두 벡터는 항상 동일 평면에 있지만 두 개 이상의 벡터가 동일 평면 관계를 준수할 필요는 없습니다.

따라서 3개 이상의 벡터가 동일 평면에 있는지 확인하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

세 벡터의 혼합 곱(또는 삼중 내적)이 0이면 세 벡터가 동일 평면에 있다는 의미입니다. 이 연산이 어떻게 계산되는지 명확하지 않은 경우 세 벡터의 혼합 곱이 무엇인지 살펴보는 것이 좋습니다. 여기에서 설명과 예제 및 해결된 연습 문제를 찾을 수 있습니다.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] =0$

벡터 집합이 두 벡터의 선형 결합 으로 표현될 수 있는 경우 이는 해당 벡터가 동일 평면에 있음을 의미합니다. 즉, 3개 이상의 벡터가 선형 종속인 경우에만 동일 평면에 있음을 의미합니다. 3개 이상의 벡터가 두 벡터의 선형결합임을 보여주기 위해서는 모든 벡터로 구성된 행렬의 랭크가 2이면 충분합니다.

$rg(A) = 2$

선형 의존성과 독립성 의 개념, 즉 두 벡터가 선형 종속 또는 선형 독립인 경우와 그 의미를 잘 이해하는 것이 중요합니다. 완전히 명확하지 않은 경우 링크에서 매우 자세한 설명을 찾을 수 있으며, 또한 단계별로 해결되는 예제와 연습도 볼 수 있습니다.

문제의 벡터가 평행 벡터 인 경우 이는 해당 벡터도 동일 평면에 있음을 의미합니다. 즉, 모든 평행 벡터가 동일한 평면에 포함되어 있음을 의미합니다.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

동일 평면 벡터의 문제 해결

연습 1

다음 세 벡터가 동일 평면에 있는지 확인합니다.

$\vv{\text{u}} = (3,1,2)$

$\vv{\text{v}} = (2,3,-1)$

$\vv{\text{w}} = (-1,-5,4)$

해결책 보기

이것이 3개의 동일 평면 벡터인지 확인하려면 세 벡터 간의 혼합 곱을 계산해야 합니다.

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] -1 & -5 & 4 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 36+1-20+6-15-8 \\[2ex] & = \bm{0} \end{aligned}$

세 벡터의 혼합 곱은 0이므로 세 벡터는 동일 평면에 있습니다 .

연습 2

다음 세 벡터가 동일 평면에 있는지 확인합니다.

$\vv{\text{u}} = (4,-2,6)$

$\vv{\text{v}} = (-2,1,-3)$

$\vv{\text{w}} = (6,-3,9)$

해결책 보기

3개의 동일 평면 벡터를 다루고 있는지 확인하는 한 가지 방법은 세 벡터 간의 혼합 곱을 푸는 것입니다. 그러나 벡터의 구성요소를 자세히 살펴보면 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 세 벡터는 서로 평행하다.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

그리고 모든 벡터가 평행하므로 사실상 3개의 동일 평면 벡터입니다 .

연습 3

다음 네 벡터가 동일 평면에 있는지 확인합니다.

$\vv{\text{a}} = (2,1,1)$

$\vv{\text{b}} = (1,-1,2)$

$\vv{\text{c}} = (-1,0,-1)$

$\vv{\text{d}} = (3,1,2)$

해결책 보기

4개의 벡터가 동일 평면에 있는지 확인하려면 모든 벡터로 구성된 행렬의 순위를 계산해야 합니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{pmatrix}$

이 경우 행렬식으로 해당 행렬의 범위를 계산합니다.

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex]3&1&2\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0$