대수 분수: 단순화, 연산, 연습문제 등 -

이 페이지에서는 대수 분수가 무엇인지, 두 분수가 동일한 경우, 단순화하는 방법, 대수 분수 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)을 수행하는 방법을 설명합니다. 또한 대수 분수에 대한 단계별 연습 문제를 볼 수 있습니다. 간단히 말해서, 여기에서 대수 분수에 관한 모든 것을 찾을 수 있습니다.

대수 분수란 무엇입니까?

수학에서 대수 분수는 분자에 다항식이 있고 분모에 또 다른 다항식이 있는 분수입니다.

예를 들어, 위의 분수식은 분자와 분모가 다항식으로 구성되어 있기 때문에 대수적 분수로 구성됩니다.

대수 분수 상당

대수 분수의 정의를 알고 나면 두 분수가 언제 같은지 살펴보겠습니다.

수학적으로 다음 조건이 충족되면 두 대수 분수는 동일합니다 .

예를 들어, 다음 두 대수 분수가 동일한지 확인하겠습니다.

$\cfrac{x+3}{x^2+5x+6} \qquad \cfrac{1}{x+2}$

분수가 대수적으로 동일한지 확인하기 위해 해당 항을 가로로 곱합니다.

$(x+3)\cdot (x+2) = (x^2+5x+6)\cdot 1$

이제 다항식의 곱셈을 계산해 보겠습니다.

$x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6$

$x^2+5x+6 = x^2+5x+6$

우리는 방정식의 양쪽에 동일한 표현식을 얻었으므로 사실상 두 개의 동등한 대수 분수입니다.

대수 분수를 단순화하세요

대수 분수를 단순화하려면 먼저 분자와 분모에 있는 다항식을 인수분해한 다음 공통 요소를 제거해야 합니다.

분명히, 대수 분수를 단순화하려면 다항식 인수분해가 무엇인지 , 어떻게 수행되는지 아는 것이 필수적입니다. 다항식의 인수분해 방법을 여전히 모르거나 완전히 기억하지 못한다면 계속하기 전에 링크된 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 그렇지 않으면 절차를 거의 이해하지 못할 것입니다. 다항식을 인수분해하는 방법을 단계별로 설명하고, 추가로 여러 예를 보고 연습문제를 풀어볼 수 있습니다.

이제 예제를 사용하여 다항식을 인수분해하는 방법을 적용하여 대수 분수가 어떻게 단순화되는지 살펴보겠습니다.

다음 대수 분수를 단순화합니다.

$\cfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-2x+1}$

먼저, 분수의 분자와 분모의 다항식을 인수분해합니다.

$\cfrac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-1)}$

⬆(다항식이 어떻게 인수분해 되었는지 모르신다면 위 링크를 참고하세요)⬆

다항식을 인수분해한 후에는 분자와 분모 사이의 공통 인수를 제거합니다. 즉, 반복되는 모든 항을 제거합니다.

$\cfrac{\cancel{(x-1)}(x+1)(x+2)}{\cancel{(x-1)}(x-1)}$

따라서 단순화된 대수 분수는 다음과 같습니다:

$\cfrac{(x+1)(x+2)}{x-1}$

이 문제에서는 대수 분수의 다항식을 근을 찾아 인수분해했습니다. 그러나 때로는 공약수를 취하여 다항식을 직접 인수분해할 수 있습니다(훨씬 빠른 방법). 이 링크에서는 다항식에서 공통 인수를 취하는 것이 무엇을 의미하는지 확인하고 공통 인수를 사용하여 대수 분수를 단순화하는 방법을 발견할 것입니다.

대수 분수를 사용한 연산

모든 유형의 분수와 마찬가지로 대수 분수를 사용하여 연산을 수행할 수도 있습니다. 구체적으로 대수 분수는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기를 할 수 있습니다. 아래에서는 각 작업 유형이 계산되는 방법을 예시와 함께 단계별로 설명합니다.

대수 분수 더하기 및 빼기

대수분수를 덧셈과 뺄셈을 하는 과정은 사실상 동일하므로 함께 분석해 보겠습니다. 먼저 우리는 두 개의 대수 분수를 더한 예를 볼 것이고, 아래에서는 대수 분수를 뺄셈하는 방법의 차이점을 연구할 것입니다.

대수 분수 더하기

대수 분수의 덧셈은 일반 분수의 덧셈과 같은 방식으로 이루어집니다. 먼저 분수를 공통 분모로 줄인 다음 분자를 덧셈합니다.

예제를 사용하여 대수 분수가 어떻게 추가되는지 살펴보겠습니다.

$\cfrac{x}{x^2+2x+1} + \cfrac{3x}{x^2+x}$

먼저 분수의 분모를 인수분해합니다.

$\cfrac{x}{(x+1)(x+1)} + \cfrac{3x}{x(x+1)}$

$\cfrac{x}{(x+1)^2} + \cfrac{3x}{x(x+1)}$

이제 분수를 공통 분모로 줄이기 위해 분모의 lcm (최소 공배수)을 찾아야 합니다.

팁: 분모의 lcm은 항상 공통 요소에 비공통 요소를 곱한 최대 지수로 곱한 값으로 구성됩니다.

예를 들어, 우리의 경우

$\cfrac{x}{(x+1)^2} + \cfrac{3x}{x(x+1)}$

가장 큰 지수로 거듭제곱된 분모 사이의 공약수는 다음과 같습니다.

$(x+1)^2.$

그리고 분모 사이의 비공배수는 다음과 같습니다.

$x.$

따라서 이 경우 분모의 lcm은 다음과 같습니다.

$(x+1)^2 \cdot x$

따라서 분모의 lcm은 다음과 같습니다.

$(x+1)^2 \cdot x,$

따라서 이는 두 분수의 새로운 분모가 됩니다.

$\cfrac{x}{(x+1)^2} + \cfrac{3x}{x(x+1)} \ \longrightarrow \ \cfrac{}{x(x+1)^2} + \cfrac{}{x(x+1)^2}$

공통분모를 찾았으면 분자를 수정해야 합니다. 이를 위해 우리는 일반 분수의 덧셈과 동일한 과정을 따릅니다. 각 분수에 대해 lcm을 나눕니다.

$\bigl( \ x(x+1)^2 \ \bigr)$

원래 분모 사이를 계산하고 결과에 분자를 곱합니다.

$\cfrac{x(x+1)^2}{(x+1)^2} = \cfrac{x\cancel{(x+1)^2}}{\cancel{(x+1)^2}} = \color{red}\bm{x}$

$\cfrac{x(x+1)^2}{x(x+1)}= \cfrac{\cancel{x}(x+1)^\cancel{2}}{\cancel{x}\cancel{(x+1)}}=\color{blue} \bm{x+1}$

$\cfrac{x}{(x+1)^2} + \cfrac{3x}{x(x+1)} \ \longrightarrow \ \cfrac{x \cdot \color{red}\bm{x} \color{black} }{x(x+1)^2} + \cfrac{3x \cdot \color{blue} \bm{(x+1)} \color{black}}{x(x+1)^2}$

이제 분모가 같기 때문에 두 분수를 합칠 수 있습니다.

$\cfrac{x^2+3x(x+1)}{x(x+1)^2}$

마지막으로 분자에 대해 연산을 수행합니다. 먼저 단항식과 다항식의 곱을 구합니다.

$\cfrac{x^2 +3x\cdot x+ 3x\cdot 1 }{x(x+1)^2}$

$\cfrac{x^2 +3x^2 + 3x }{x(x+1)^2}$

다음으로 비슷한 용어를 분자에 추가합니다.

$\cfrac{4x^2 + 3x }{x(x+1)^2}$

일반적으로 우리는 이미 거기에 있지만 이 문제를 자세히 살펴보면 분자에서 공통 인수를 제거하여 대수 분수를 더욱 단순화할 수 있습니다. 아직:

$\cfrac{x(4x + 3)}{x(x+1)^2}$

$\cfrac{\cancel{x}(4x + 3)}{\cancel{x}(x+1)^2}$

$\cfrac{4x + 3}{(x+1)^2}$

그래서 우리는 이미 두 대수 분수의 합을 완성했습니다.

대수 분수의 뺄셈

대수 분수를 빼려면 대수 분수를 더하는 것과 유사한 절차를 따라야 합니다. 먼저 분수를 공통 분모로 줄인 다음 분자를 뺍니다.

예를 들어 대수 분수를 어떻게 빼는지 살펴보겠습니다.

$\cfrac{2x}{x^2-x-6} - \cfrac{4x-3}{(x+2)^2}$

먼저, 두 분수의 분모를 인수분해해야 합니다.

$\cfrac{2x}{(x+2)(x-3)} - \cfrac{4x-3}{(x+2)^2}$

일반 분수의 뺄셈과 마찬가지로 이제 분수를 공통 분모로 줄이기 위해 분모의 lcm (최소 공배수)을 계산해야 합니다. 이 경우 분모의 lcm은 다음과 같습니다.

$(x+2)^2(x-3) ,$

따라서 이는 두 분수의 새로운 분모가 됩니다.

$\cfrac{2x}{(x+2)(x-3)} - \cfrac{4x-3}{(x+2)^2} \ \longrightarrow \ \cfrac{}{(x+2)^2(x-3)} + \cfrac{}{(x+2)^2(x-3)}$

이제 일반 분수를 뺄 때와 동일한 프로세스를 적용합니다. 각 분수에 대해 lcm을 나눕니다.

$\bigl( \ x(x+1)^2 \ \bigr)$

원래 분모 사이를 계산하고 결과에 분자를 곱합니다.

$\cfrac{(x+2)^2(x-3)}{(x+2)(x-3)} = \cfrac{(x+2)^{\cancel{2}}\cancel{(x-3)}}{\canel{(x+2)}\cancel{(x-3)}} = \color{red}\bm{x+2}$

$\cfrac{(x+2)^2(x-3)}{(x+2)^2}= \cfrac{\cancel{(x+2)^2}(x-3)}{\cancel{(x+2)^2}}=\color{blue} \bm{x-3}$

$\cfrac{2x}{(x+2)(x-3)} - \cfrac{4x-3}{(x+2)^2} \ \longrightarrow \ \cfrac{2x\cdot \color{red}\bm{(x+2)} \color{black}}{(x+2)^2(x-3)} + \cfrac{(4x-3)\cdot \color{blue} \bm{(x-3)} \color{black}}{(x+2)^2(x-3)}$

이제 두 개의 대수 분수는 동일한 분모를 가지므로 결합합니다.

$\cfrac{2x(x+2)-(4x-3)(x-3)}{(x+2)^2(x-3)}$

그리고 우리는 분자를 조작합니다. 먼저 다항식 곱셈을 푼다:

$\cfrac{2x^2+4x-\bigl[4x^2-12x-3x+9\bigr]}{(x+2)^2(x-3)}$

대수 분수를 뺄 때 가장 흔히 저지르는 실수는 이 곱셈을 수행한 후에 괄호를 넣는 것을 잊어버리는 것입니다. 음수 부호는 첫 번째 항뿐만 아니라 곱의 모든 결과 요소에 영향을 미치기 때문에 이는 오류가 됩니다.

괄호 안의 작업을 수행합니다.

$\cfrac{2x^2+4x-\bigl[4x^2-15x+9\bigr]}{(x+2)^2(x-3)}$

따라서 음수 기호 덕분에 괄호 안의 모든 용어의 기호가 변경됩니다.

$\cfrac{2x^2+4x-4x^2+15x-9}{(x+2)^2(x-3)}$

그리고 마지막으로 유사한 단항식을 그룹화합니다.

$\cfrac{-2x^2+19x-9}{(x+2)^2(x-3)}$

대수 분수의 곱셈

대수 분수를 곱 하려면 먼저 해당 분수의 모든 다항식을 인수분해한 다음 분자를 서로, 분모를 서로 곱하고 마지막으로 얻은 분수를 단순화합니다.

따라서 대수 분수의 곱은 실제로 일반 분수의 곱과 같은 방식으로 계산됩니다.

다음으로, 예를 들어 두 대수 분수를 곱하는 방법을 살펴보겠습니다.

$\cfrac{3x}{x^2+x-2} \cdot \cfrac{x^2-6x+5}{x+1}$

먼저 분수의 모든 다항식, 즉 분자와 분모를 인수분해해야 합니다.

$\cfrac{3x}{(x-1)(x+2)} \cdot \cfrac{(x-1)(x-5)}{x+1}$

이제 분수를 곱해 봅시다. 이를 위해 분자와 분모를 함께 곱합니다.

$\cfrac{3x \cdot (x-1)(x-5)}{(x-1)(x+2)\cdot (x+1)}$

$\cfrac{3x(x-1)(x-5)}{(x-1)(x+2)(x+1)}$

마지막으로 분모와 분자에서 반복되는 요소를 단순화합니다.

$\cfrac{3x\cancel{(x-1)}(x-5)}{\cancel{(x-1)}(x+2)(x+1)}$

따라서 곱셈의 결과는 다음과 같습니다.

$\cfrac{3x(x-5)}{(x+2)(x+1)}$

분수는 더 이상 단순화할 수 없습니다. 그래서 우리는 이미 대수 분수의 곱셈을 마쳤습니다.

대수 분수의 나눗셈

대수 분수의 나눗셈을 계산하려면 먼저 모든 다항식을 인수분해한 다음 분수를 가로로 곱하고(첫 번째 분자는 두 번째 분모로, 첫 번째 분모는 두 번째 분자로) 마지막으로 대수 분수를 단순화합니다.

그럼 예를 사용하여 두 개의 대수 분수가 어떻게 나누어지는지 더 자세히 살펴보겠습니다.

$\cfrac{x^3-7x-6}{2x^2-8} : \cfrac{x^2+2x+1}{6}$

두 개의 대수 분수를 나누는 첫 번째 단계는 연산에 관련된 모든 다항식을 인수분해하는 것입니다.

$\cfrac{(x+1)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)} : \cfrac{(x+1)^2}{6}$

이제 분수를 나누어야 합니다. 이를 위해 분수를 가로로 곱합니다. 즉, 첫 번째 분자에 두 번째 분모를 곱하고 결과는 새 분수의 분자가 되며 같은 방식으로 첫 번째 분모에 두 번째 분자를 곱합니다. 결과는 새 분수의 분모가 됩니다.

$\cfrac{(x+1)(x+2)(x-3)\cdot 6}{2(x-2)(x+2)\cdot (x+1)^2}$

$\cfrac{6(x+1)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)(x+1)^2}$

분모와 분자에서 반복되는 요소를 단순화합니다.

$\cfrac{6\cancel{(x+1)}\cancel{(x+2)}(x-3)}{2(x-2)\cancel{(x+2)}(x+1)^\cancel{2}}$

$\cfrac{6(x-3)}{2(x-2)(x+1)}$

그리고 우리는 분수를 더욱 단순화할 수 있습니다.

$6:2 = 3.$

$\cfrac{3(x-3)}{(x-2)(x+1)}$

분수는 더 이상 단순화할 수 없습니다. 따라서 우리는 이미 대수 분수를 나누었습니다.

대수 분수에 대한 해결 연습

아래에서는 대수 분수에 대해 단계별로 해결되는 몇 가지 연습 문제를 제공하므로 연습을 통해 개념 이해를 완료할 수 있습니다. 궁금한 점은 댓글로 남겨주세요! 💬💬💬

연습 1

다음 대수 분수가 동일한지 여부를 확인합니다.

$\cfrac{x+3}{x^2-9} \qquad \cfrac{1}{x-3} \qquad \cfrac{x-3}{x^2+2x-3}$

솔루션 보기

두 대수 분수가 동일한지 확인하려면 두 분수를 가로로 곱하여 같은지 확인해야 합니다. 따라서 먼저 첫 번째와 두 번째 분수를 확인하겠습니다.

$\cfrac{x+3}{x^2-9}= \cfrac{1}{x-3} \quad ?$

$(x+3)\cdot (x-3)=(x^2-9)\cdot 1$

우리는 방정식 왼쪽의 주목할만한 항등식을 해결합니다.

$x^2-9=x^2-9$

✅

이 경우, 우리는 동등성을 얻었으므로 첫 번째와 두 번째 분수는 대수적으로 동일합니다.

이제 첫 번째와 세 번째 대수 분수에 동일한 절차를 적용합니다.

$\cfrac{x+3}{x^2-9}= \cfrac{x-3}{x^2+2x-3} \quad ?$

$(x+3)\cdot (x^2+2x-3)=(x^2-9)\cdot(x-3)$

$x^3+2x^2-3x+3x^2+6x-9=x^3-3x^2-9x+27$

$x^3+5x^2+3x-9=x^3-3x^2-9x+27$

❌

그러나 이번에는 대수 분수가 방정식을 만족하지 않으므로 첫 번째와 세 번째 분수가 수학적으로 다릅니다.

결론적으로, 세 번째 분수는 첫 번째 분수와 다르기 때문에 첫 번째 분수와 두 번째 분수가 동일하므로 두 번째 분수와도 동일하지 않습니다.

$\cfrac{x+3}{x^2-9} = \cfrac{1}{x-3} \neq \cfrac{x-3}{x^2+2x-3}$

연습 2

다음 대수 분수를 단순화합니다.

$\text{A)} \ \cfrac{5x^2+10x}{11x}$

$\text{B)} \ \cfrac{x^2-4}{x^2+2x-8}$

$\text{C)} \ \cfrac{x^3-2x^2-3x}{x^2-3x}$

$\text{D)} \ \cfrac{x^3-3x+2}{x^3+4x^2+x-6}$

솔루션 보기

대수 분수를 단순화하려면 분자와 분모의 다항식을 인수분해한 다음 반복되는 인수를 제거해야 합니다. 아직:

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \cfrac{5x^2+10x}{11x} =\cfrac{5x(x+2)}{11x} = \\[4ex] =\cfrac{5\cancel{x}(x+2)}{11\cancel{x}}= \cfrac{\bm{5(x+2)}}{\bm{11}}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l} \cfrac{x^2-4}{x^2+2x-8} = \cfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+4)}= \\[4ex] = \cfrac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}(x+4)}=\cfrac{\bm{x+2}}{\bm{x+4}}}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l} \cfrac{x^3-2x^2-3x}{x^2-3x} = \cfrac{x(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}= \\[4ex] = \cfrac{\cancel{x} (x+1) \cancel{x-3}}{\cancel{x}\cancel{(x-3)}} = \cfrac{x+1}{1} = \\[4ex] = \bm{x+1}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \cfrac{x^3-3x+2}{x^3+4x^2+x-6}=\cfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x+3)(x+2)}= \\[4ex] = \cfrac{(x-1)^{\cancel{2}}\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x-1)}(x+3)\cancel{(x+2)}}=\cfrac{\bm{x-1}}{\bm{x+3}}\end{array}$

연습 3

대수 분수의 다음 덧셈과 뺄셈을 계산합니다.

$\text{A)} \ \cfrac{4}{x^2+2x} + \cfrac{3x-2}{x^2-x-6}$

$\text{B)} \ \cfrac{4x}{x^3+2x^2+x} - \cfrac{2}{x^2-3x-4}$

$\text{C)} \ \cfrac{7x}{x^2-4x+4} + \cfrac{-5}{x-2}$

$\text{D)} \ x +\cfrac{-3x}{x^2-4} - \cfrac{2x^3-1}{2x^2+6x+4}$

솔루션 보기

대수 분수를 더하거나 빼려면 먼저 분수를 공통 분모로 줄인 다음 분자를 더하거나 빼야 합니다. 그래서:

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \cfrac{4}{x^2+2x} + \cfrac{3x-2}{x^2-x-6} = \cfrac{4}{x(x+2)} + \cfrac{3x-2}{(x+2)(x-3)} = \\[4ex] =\cfrac{4\cdot(x-3)}{x(x+2)\cdot (x-3)} + \cfrac{(3x-2)\cdot x}{(x+2)(x-3)\cdot x} = \cfrac{4\cdot(x-3) + (3x-2)\cdot x}{x(x+2)(x-3)} = \\[4ex] = \cfrac{4x-12 + 3x^2-2x}{x(x+2)(x-3)} = \cfrac{ \bm{3x^2+2x-12}}{\bm{x(x+2)(x-3)}} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l} \cfrac{4x}{x^3+2x^2+x} - \cfrac{2}{x^2-3x-4} = \cfrac{4x}{x(x+1)^2} - \cfrac{2}{(x+1)(x-4)}= \\[4ex] = \cfrac{4x \cdot (x-4)}{x(x+1)^2 \cdot (x-4)} - \cfrac{2 \cdot (x+1) \cdot x}{(x+1)^2(x-4)\cdot x}= \cfrac{4x \cdot (x-4) - 2 \cdot (x+1) \cdot x }{x(x+1)^2 (x-4) }= \\[4ex] = \cfrac{4x^2 -16x - 2 \cdot (x^2+x) }{x(x+1)^2 (x-4) }= \cfrac{4x^2 -16x - 2x^2 - 2x }{x(x+1)^2 (x-4) } =\\[4ex] =\cfrac{2x^2 -18x}{x(x+1)^2 (x-4)}=\cfrac{x(2x -18)}{x(x+1)^2 (x-4)}= \\[4ex] = \cfrac{\bm{2x -18}}{\bm{(x+1)^2 (x-4)}}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\cfrac{7x}{x^2-4x+4} + \cfrac{-5}{x-2}=\cfrac{7x}{(x-2)^2} + \cfrac{-5}{x-2}} = \\[4ex] = \cfrac{7x}{(x-2)^2} + \cfrac{-5\cdot (x-2)}{(x-2)\cdot (x-2)}=\cfrac{7x}{(x-2)^2} + \cfrac{-5\cdot (x-2)}{(x-2)^2}= \\[4ex] = \cfrac{7x + [-5\cdot (x-2)] }{(x-2)^2} =\cfrac{7x -5\cdot (x-2) }{(x-2)^2} = \\[4ex] = \cfrac{7x -5x+10 }{(x-2)^2} = \cfrac{ \bm{2x+10}}{\bm{(x-2)^2 } } \end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} x +\cfrac{-3x}{x^2-4} - \cfrac{2x^3-1}{2x^2+6x+4}=\cfrac{x}{1} +\cfrac{-3x}{x^2-4} - \cfrac{2x^3-1}{2x^2+6x+4}= \\[4ex] =x +\cfrac{-3x}{(x-2)(x+2)} - \cfrac{2x^3-1}{2(x+1)(x+2)}= \\[4ex] = \cfrac{x\cdot 2(x-2)(x+2)(x+1)}{1\cdot 2(x-2)(x+2)(x+1)} \ + \ \cfrac{-3x\cdot 2(x+1)}{(x-2)(x+2)\cdot 2(x+1)} \ - \ \cfrac{(2x^3-1)\cdot(x-2)}{2(x+1)(x+2)\cdot (x+1)}= \\[4ex] = \cfrac{ 2x(x-2)(x+2)(x+1)}{2(x-2)(x+2)(x+1)} \ + \ \cfrac{-6x(x+1)}{2(x-2)(x+2)(x+1)} \ - \ \cfrac{(2x^3-1)\cdot(x-2)}{2(x-2)(x+2)(x+1)}= \\[4ex]= \cfrac{ 2x^4+2x^3-8x^2-8x}{2(x-2)(x+2)(x+1)} \ + \ \cfrac{-6x^2-6x}{2(x-2)(x+2)(x+1)} \ - \ \cfrac{2x^4-4x^3-x+2}{2(x-2)(x+2)(x+1)} = \\[4ex] = \cfrac{ 2x^4+2x^3-8x^2-8x -6x^2-6x - (2x^4-4x^3-x+2)}{2(x-2)(x+2)(x+1)} = \\[4ex] = \cfrac{ 2x^4+2x^3-8x^2-8x -6x^2-6x - 2x^4+4x^3+x-2}{2(x-2)(x+2)(x+1)} = \\[4ex] = \cfrac{ \bm{6x^3-14x^2-13x-2}}{\bm{2(x-2)(x+2)(x+1)}}\end{array}$

연습 4

대수 분수의 다음 곱셈과 나눗셈을 풀어보세요:

$\text{A)} \ \cfrac{x^2+5x+4}{7}\cdot \cfrac{x-1}{x^2-1}$

$\text{B)} \ \cfrac{3x^2+15x+18}{3x}\cdot \cfrac{x^2+x-2}{x^3+3x^2-x-3}$

$\text{C)} \ \cfrac{3x}{x^2+10x+25}:\cfrac{2x}{x^2-25}$

$\text{D)} \ \cfrac{x^2+8x+15}{4x}:\cfrac{x^2+4x-5}{2x^2}$

솔루션 보기

대수 분수를 곱하려면 먼저 모든 다항식을 인수분해한 다음 분자와 분모를 함께 곱하고 마지막으로 결과 분수를 단순화해야 합니다.

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \cfrac{x^2+5x+4}{7}\cdot \cfrac{x-1}{x^2-1} = \cfrac{(x+1)(x+4)}{7}\cdot \cfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\[4ex] =\cfrac{(x+1)(x+4)\cdot (x-1)}{7 \cdot (x-1)(x+1)}=\cfrac{(x+1)(x+4) (x-1)}{7(x-1)(x+1)} = \\[4ex] = \cfrac{\cancel{(x+1)}(x+4)\cancel{ (x-1)}}{7\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}} = \cfrac{\bm{x+4}}{\bm{7}}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\cfrac{3x^2+15x+18}{3x}\cdot \cfrac{x^2+x-2}{x^3+3x^2-x-3} = \cfrac{3(x+2)(x+3)}{3x}\cdot \cfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+3)}= \\[4ex] =\cfrac{3(x+2)(x+3)\cdot (x-1)(x+2)}{3x\cdot (x-1)(x+1)(x+3)}=\cfrac{3(x+2)(x+3) (x-1)(x+2)}{3x (x-1)(x+1)(x+3)} = \\[4ex] = \cfrac{\cancel{3}(x+2)\cancel{(x+3)} \cancel{(x-1)}(x+2)}{\cancel{3}x \cancel{(x-1)}(x+1)\cancel{(x+3)}} = \cfrac{(x+2)(x+2)}{x (x+1)} = \\[4ex] = \cfrac{\bm{(x+2)^2}}{\bm{x (x+1)}}\end{array}$

반면, 대수 분수를 나누려면 먼저 모든 다항식을 인수분해한 다음 분수를 가로로 곱하고(첫 번째 분자는 두 번째 분모로, 첫 번째 분모는 두 번째 분자로) 마지막으로 찾은 대수 분수를 단순화합니다.

$\text{C)} \ \begin{array}{l} \cfrac{3x}{x^2+10x+25}:\cfrac{2x}{x^2-25}= \cfrac{3x}{(x+5)^2}:\cfrac{2x}{(x-5)(x+5)}=\\[4ex] = \cfrac{3x\cdot (x-5)(x+5)}{(x+5)^2\cdot 2x}=\cfrac{3x(x-5)(x+5)}{2x(x+5)^2 }= \\[4ex] =\cfrac{3\cancel{x}(x-5)\cancel{(x+5)}}{2\cancel{x}(x+5)^\cancel{2}} = \cfrac{\bm{3(x-5)}}{\bm{2(x+5)}}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \cfrac{x^2+8x+15}{4x}:\cfrac{x^2+4x-5}{2x^2} = \cfrac{(x+3)(x+5)}{4x}:\cfrac{(x-1)(x+5)}{2x^2}= \\[4ex] = \cfrac{(x+3)(x+5)\cdot 2x^2 }{4x \cdot (x-1)(x+5)} = \cfrac{2x^2 (x+3)(x+5)}{4x (x-1)(x+5)} = \\[4ex] = \cfrac{2x^{\cancel{2}}(x+3)\cancel{ (x+5)}}{4\cancel{x} (x-1)\cancel{ (x+5)}} =\cfrac{2x(x+3)}{4(x-1)} = \cfrac{\bm{x(x+3)}}{\bm{2(x-1)}}\end{array}$

설명에 대해 어떻게 생각하시나요? 마음에 들었나요? 아니면 어떤 제안이 있나요? 💬 이 페이지에 대한 의견을 댓글로 남겨주세요! 우리는 여러분 모두를 읽었습니다! 🙌 그리고 모든 질문을 우리에게 할 수도 있다는 것을 잊지 마세요! ❔👇❔👇

대수 분수: 단순화, 연산, 연습 문제 해결,…

대수 분수란 무엇입니까?

대수 분수 상당

대수 분수를 단순화하세요

대수 분수를 사용한 연산

대수 분수 더하기 및 빼기

대수 분수 더하기

대수 분수의 뺄셈

대수 분수의 곱셈

대수 분수의 나눗셈

대수 분수에 대한 해결 연습

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

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