대각선 행렬

이 페이지에서는 대각 행렬이 무엇인지와 대각 행렬의 예를 볼 수 있습니다. 또한 이러한 유형의 행렬을 사용하여 연산하는 방법, 행렬식을 쉽게 계산하는 방법 및 역전시키는 방법도 알아봅니다. 대각 행렬의 속성과 응용도 있습니다. 그리고 마지막으로 쌍대각행렬과 삼중대각행렬에 대한 설명이 있습니다.

대각 행렬이란 무엇입니까?

대각행렬은 주대각선에 없는 모든 원소가 0인 정사각행렬이다. 주대각선의 요소는 0일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

대각 행렬의 정확한 정의를 알게 되면 대각 행렬의 예를 볼 수 있습니다.

대각 행렬의 예

차원 2 × 2의 대각 행렬의 예

3×3 차 대각 행렬의 예

4×4 크기의 대각 행렬의 예

이러한 유형의 행렬은 일반적으로 대각선 요소를 나타내도록 작성됩니다.

$diag(2,5,1) = \left. \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 5 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

대각 행렬을 사용한 연산

선형 대수학에서 대각 행렬이 중요한 이유 중 하나는 계산을 쉽게 수행할 수 있기 때문입니다. 이것이 수학에서 그렇게 사용되는 이유입니다.

대각 행렬 더하기 및 빼기

두 대각 행렬을 더하고 빼는 것은 매우 간단합니다. 대각선의 숫자를 더하거나 빼면 됩니다.

$\displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \pm \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\pm b_1,..., a_n\pm b_n)$

예를 들어:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6& 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

대각선 행렬 곱셈

두 대각 행렬의 곱셈 또는 행렬 곱을 풀려면 간단히 대각 행렬의 요소를 곱하면 됩니다.

$\displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \cdot \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\cdot b_1,..., a_n\cdot b_n)$

예를 들어:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -18 \end{pmatrix}$

대각 행렬의 힘

대각 행렬의 거듭제곱을 계산하려면 대각선의 각 요소를 지수로 올려야 합니다.

$\displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)$

$\displaystyle A^k= \text{diag}(a_1^k,... ,a_n^k)$

예를 들어:

$\displaystyle\left. \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\right.^3= \begin{pmatrix} 27 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 64 \end{pmatrix}$

대각 행렬의 행렬식

대각 행렬의 행렬식은 주대각선 요소의 곱입니다.

$\displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)$

$\displaystyle \text{det}(A)= \prod_{i =1}^n a_i$

간단히 주대각선의 요소를 곱하여 대각행렬의 행렬식을 찾는 다음 해결 연습을 살펴보세요.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$

이 정리는 증명하기 쉽습니다. 블록(또는 보조인자)으로 대각 행렬의 행렬식을 계산하기만 하면 됩니다. 이 데모는 일반적인 대각 행렬을 사용하여 아래에 자세히 설명되어 있습니다.

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & b & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & c \end{vmatrix}& = a \cdot \begin{vmatrix} b & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\[1.1ex] 0 & 0 \end{vmatrix} \\[2ex] & =a \cdot (b\cdot c) - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\[2ex] & = a \cdot b \cdot c \end{aligned}$

대각 행렬 뒤집기

대각 행렬 은 주대각선의 모든 요소가 0과 다른 경우에만 역행렬이 가능합니다 . 이 경우 대각행렬은 정규행렬이라고 한다.

또한 대각 행렬의 역행렬은 항상 주대각선의 역행렬을 포함하는 또 다른 대각 행렬이 됩니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$

이전 특성으로부터 대각 행렬의 역행렬의 행렬식이 주대각선의 역행렬의 곱이라는 것을 추론할 수 있습니다.

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle\left| B^{-1}\right|=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{-1}=-\cfrac{1}{8} = -0,125$

대각 행렬의 속성

모든 대각 행렬은 대칭 행렬 이기도 합니다.

대각 행렬은 상부 삼각 행렬과 하부 삼각 행렬을 모두 포함하는 행렬 입니다.

단위 행렬은 대각 행렬입니다.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

마찬가지로 영행렬 도 대각행렬입니다. 대각행렬에 없는 모든 요소는 0이기 때문입니다. 대각선의 숫자는 0이지만.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

대각 행렬의 고유값(또는 고유값)은 주대각선의 요소입니다.

$\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda = 3 \ ; \ \lambda = 4 \ ; \ \lambda = 7$

정사각 행렬은 삼각형이고 법선 인 경우에만 대각선입니다.

대각행렬의 수반행렬 은 또 다른 대각행렬이다.

대각선 행렬 응용

우리가 본 것처럼 대각 행렬을 사용하여 계산을 푸는 것은 연산에 많은 0이 포함되기 때문에 매우 간단합니다. 이러한 이유로 수학 분야에서 매우 유용하며 널리 사용됩니다.

같은 이유로 행렬을 대각화하는 방법에 대한 많은 연구가 이루어져 왔으며, 실제로 (특성 다항식을 이용한) 행렬을 대각화하는 방법도 개발되었습니다.

따라서 대각화 가능한 행렬도 매우 적합합니다. 행렬을 대각화할 수 있는 경우와 그렇지 않은 경우에 대한 조건을 설정하는 스펙트럼 분해 정리와 같습니다.

양측 행렬

양대각행렬(Bodiagonal Matrix)은 주대각선이나 상부대각선, 하부대각선에 위치하지 않는 모든 원소가 0인 정사각행렬이다.

예를 들어:

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -5 & 1 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

상부 양대각 행렬

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 6 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

하부 양대각 행렬

주대각선과 첫 번째 상부대각선이 채워지면 상부 양대각 행렬을 말합니다. 반면, 주대각선과 첫 번째 하부대각선이 채워지면 하부 양대각 행렬(Lower Bidiagonal Matrix)을 말합니다.

삼중대각 행렬

삼중대각 행렬은 주대각선과 위와 아래의 인접 대각선의 0이 아닌 요소만 있는 정사각 행렬입니다.

예를 들어:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] -4 & 5 & 9 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 6 & -2 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 & 7 \end{pmatrix}$

따라서 모든 대각선, 쌍대각선 및 삼중대각선 행렬은 밴드 행렬 의 예입니다. 밴드 행렬은 주대각선 주위에 0이 아닌 모든 요소를 갖는 행렬이기 때문입니다.

대각 행렬이란 무엇입니까?

대각 행렬의 예

대각 행렬을 사용한 연산

대각 행렬 더하기 및 빼기

대각선 행렬 곱셈

대각 행렬의 힘

대각 행렬의 행렬식

대각 행렬 뒤집기

대각 행렬의 속성

대각선 행렬 응용

양측 행렬

삼중대각 행렬

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