다항식을 인수분해하는 방법(다항식 인수분해) -

이 페이지에서는 모든 유형의 다항식을 인수분해하는 방법을 설명합니다. 먼저 Ruffini의 법칙을 사용하여 다항식을 인수분해하는 방법을 살펴보고, 독립 항이 없는 다항식을 인수분해하는 방법을 살펴보겠습니다. 그런 다음 분수를 사용하여 근 다항식의 인수분해를 분석하고, 마지막으로 인수분해의 특수한 경우를 분석합니다(주목할 만한 사항). 항등식, 그룹화에 의한 인수분해, 삼항식 등). 모든 설명은 예제를 통해 이루어지며, 마지막에는 다항식을 인수분해하기 위해 단계별로 풀어낸 연습 문제를 연습할 수 있습니다.

다항식 인수분해란 무엇입니까?

다항식 인수분해는 수학에서 다항식을 인수의 곱으로 분해하는 데 사용되는 기술입니다.

다항식 인수분해는 인수분해된 다항식으로 연산을 수행하는 것이 더 쉽기 때문에 매우 유용합니다.

이제 다항식 인수분해가 무엇인지 알았으니 다항식 인수분해 방법을 살펴보겠습니다.

Ruffini의 법칙으로 다항식을 인수분해하는 방법

분명히, Ruffini의 법칙으로 다항식을 인수분해하는 방법을 이해하려면 먼저 Ruffini의 법칙을 적용하는 방법을 알아야 합니다. 따라서 절차가 어떻게 생겼는지 먼저 검토하고 싶은 경우를 대비해 이 링크를 남깁니다.

다항식을 인수분해 하려면 다음 단계를 따라야 합니다.

다항식의 근은 Ruffini의 법칙에 따라 계산됩니다.
x=a 유형의 각 근은 인수(xa)의 형태로 표현됩니다.
인수분해된 다항식은 발견된 모든 인수에 비가중 다항식의 최고 차수 항의 계수를 곱한 결과입니다.

이것이 어떻게 수행되는지 확인하고 다항식을 인수분해하는 절차를 더 잘 이해할 수 있도록 아래에서 단계별로 설명된 구체적인 예를 확인하세요.

다음 다항식을 인수분해합니다.

가장 먼저 해야 할 일은 다항식의 근이나 영점을 계산하는 것입니다. 이를 위해서는 다항식의 독립항의 약수를 찾아야 하며, 이 경우 ±1, ±2, ±4입니다.

이제 우리는 나머지 및 인수 정리 덕분에 이러한 값 중 하나로 다항식을 나눈 나머지가 0과 같다면 해당 값이 다항식의 근임을 의미합니다.

따라서 우리는 Ruffini의 법칙을 사용하여 독립 항의 각 약수로 다항식을 나누고 어떤 경우에 나머지가 0인지 확인해야 합니다.

예를 들어, Ruffini의 규칙을 다음과 같이 적용하는 것으로 시작합니다.

$x=+1:$

이 경우 나눗셈의 나머지(또는 나머지)는 0이므로

$x=1$

다항식의 근입니다. ✅

완벽합니다. 우리는 이미 다항식의 근을 갖고 있으며 남은 것은 나머지 근을 결정하는 것뿐입니다. 이를 위해 독립항의 또 다른 제수와 함께 Ruffini의 규칙을 사용합니다. 예를 들어

$x=-1.$

또한 정수 다항식과 함께 Ruffini의 방법을 사용할 필요는 없지만 이전 단계에서 중단한 부분부터 계속할 수 있습니다.

그러나 이 경우에는 다음과 같이 나누어 볼 수 있다.

$x=-1$

얻은 나머지는 0이 아니므로

$x=-1$

그것은 다항식의 근이 아닙니다. ❌

따라서 우리는 다른 값을 시도해야 합니다. 예를 들어 Ruffini 규칙을 다음과 같이 수행합니다.

$x=+2:$

이 경우 나머지는 다시 0이 됩니다.

$x=2$

이는 또한 다항식의 근이기도 합니다.

그리고 우리는 동일한 절차를 계속 적용합니다. 이제 우리는

$x=-2$

다항식의 근인지 아닌지:

나누어서

$x=-2$

Ruffini의 법칙을 사용하면 나머지가 0이 됩니다.

$x=-2$

다항식의 근 또는 0입니다.

그러므로 우리는 더 이상 루피니의 법칙을 계속 적용할 수 없으며, 따라서 우리는 이미 다음과 같은 다항식의 모든 근을 찾았습니다.

다항식의 모든 근을 결정한 후에는 이를 인수분해할 수 있습니다. 이렇게 하려면 간단히 각 어근을 표현하면 됩니다.

$x=a$

유형의 요인 형태로

$(x-a)$

즉, 각 루트에 대해 괄호를 넣어야 합니다.

$x$

루트의 기호가 변경되었습니다.

이제 모든 근을 인수로 표현했으므로 모든 괄호에 원래 다항식의 최고 차수 항의 계수를 곱해야 합니다.

이 경우 계수는 1이므로 결과에 영향을 미치지 않지만 이 곱셈을 수행하는 것을 기억하는 것이 중요합니다. 해당 계수가 1과 다르면 인수분해된 다항식이 변경되므로 숫자를 입력하지 않으면 다항식 인수분해 시 오류가 발생합니다.

즉, 인수분해된 다항식은 다음과 같습니다.

독립항 없이 다항식을 인수분해하기

우리는 독립 항이 다항식의 가능한 근을 식별할 수 있게 해주기 때문에 다항식을 인수분해하는 데 중요하다는 것을 보았습니다. 그러나 독립 항이 없는 다항식을 어떻게 인수분해합니까?

독립항 없이 다항식을 인수분해 하려면 먼저 다항식의 공통인수를 추출한 다음, 루피니의 법칙을 사용하여 공통인수가 없는 다항식의 근을 추출해야 합니다.

이렇게 작성하면 다소 복잡하게 들릴 수 있으므로 예제를 단계별로 풀어 공통 인수로 다항식을 인수분해하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 다항식의 계승 분해를 수행합니다.

$P(x) = x^4-3x^3-x^2+3x$

보시다시피 문제의 다항식은 독립항을 가지지 않기 때문에 다항식의 공통인수를 취해야 합니다. 자세히 살펴보면 다항식의 모든 요소는 적어도 하나의 요소를 갖습니다.

$x,$

그래서 공통인수는

$x.$

따라서 다항식에서 공통인수를 추출하면 다음과 같은 식이 됩니다.

$P(x) = x\left(x^3-3x^2-x+3\right)$

그리고 다항식의 공통 인수를 추출한 후에는 Ruffini의 규칙을 적용하여 괄호 안에 그룹화된 다항식의 근을 계산합니다(이전 섹션에서 본 절차 사용).

따라서 괄호 안의 다항식의 근 또는 영은 다음과 같습니다.

$\bm{x=+1 \qquad x=-1 \qquad x=+3}$

따라서 다항식을 인수분해하려면 괄호 안의 다항식을 인수 형식의 근으로 바꾸면 됩니다(위 섹션에서 설명한 대로).

$\begin{array}{c}P(x) = x\left(x^3-3x^2-x+3\right) \\[2ex]\color{red} \bm{\downarrow} \\[2ex] \bm{P(x) = x(x-1)(x+1)(x-3)}\end{array}$

그리고 이런 방식으로 우리는 이미 0차 항이 없는 다항식을 인수분해했습니다. 유일한 차이점은 공통인수를 먼저 추출해야 한다는 점이지만, 이후의 모든 단계는 정확히 동일합니다.

반면에 당신은 그것을 알아야합니다

$x=0$

이는 또한 다항식의 근이기도 합니다. 왜냐하면 우리가 공통 인수를 추출할 때 다항식의 근 중 하나가 다음과 같다는 것을 의미하기 때문입니다.

$x=0.$

따라서 다항식의 모든 근은 다음과 같습니다.

$\bm{x= 0 \qquad x=+1 \qquad x=-1 \qquad x=+3}$

실제로 다항식은 차수만큼 많은 근을 가져야 합니다. 이 경우 다항식은 4차이므로 근이 4개 있습니다.

유리수근을 사용하여 다항식 인수분해하기

지금까지 우리는 정수근을 사용하여 다항식을 인수분해하는 예를 보았습니다. 그러나 다항식은 유리수 근, 즉 분수를 가질 수도 있습니다. 예를 들어 이러한 유형의 다항식 인수분해가 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

다음 불완전 다항식을 인수분해합니다.

$P(x) = 4x^3-7x+3$

항상 그렇듯이, 우리는 다항식의 근을 결정하기 위해 독립항의 제수와 함께 Ruffini의 법칙을 사용합니다:

그러나 Ruffini를 사용하여 더 많은 근을 계산할 수는 없습니다. 왜냐하면 독립항의 다른 모든 제수를 사용하여 Ruffini를 계산하려고 하면 0이 아닌 나머지를 얻게 되기 때문입니다.

그러므로 우리는 오직 다음과 같은 상황에 처해 있습니다.

$x=1$

나눗셈의 나머지는 0과 같습니다. 이는 다항식이 분수 근을 가질 수 있음을 의미합니다. 이러한 근을 결정하기 위해 분수를 사용하여 Ruffini를 적용할 수 있지만 계산에서 실수하기가 매우 쉽기 때문에 이러한 경우 일반적으로 다음을 수행합니다.

정수근을 사용하여 Ruffini의 규칙을 계속 적용할 수 없는 경우 얻은 마지막 다항식을 0으로 설정하고 결과 방정식을 풀어야 합니다. 따라서 다항식의 근은 방정식에서 찾은 값이 됩니다.

반면, 방정식에 해가 없으면 이는 다항식에 더 이상 근이 없으므로 완전히 인수분해할 수 없음을 의미합니다.

따라서 우리는 몫 다항식을 0으로 설정합니다.

$4x^2+4x-3=0$

그리고 결과 방정식을 풀기 위해 이차 방정식 공식을 사용합니다.

$x= \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x= \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot (-3)}}{2\cdot 4}= \cfrac{-4\pm \sqrt{16+48}}{8} = \cfrac{-4 \pm\sqrt{64}}{8}$

$\displaystyle x = \cfrac{-4 \pm 8}{8} = \begin{cases} \cfrac{-4+8}{8} = \cfrac{4}{8} = \cfrac{1}{2} \\[4ex]\cfrac{-4-8}{8} = \cfrac{-12}{8} = -\cfrac{3}{2} \end{cases}$

따라서 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=+1 \qquad x=\cfrac{1}{2} \qquad x=-\cfrac{3}{2}$

따라서 다항식은 분수 형태의 근을 갖습니다.

그리고 다항식의 근을 모두 알면 각 근을 표현하여 인수분해된 다항식을 쉽게 찾을 수 있습니다.

$x=a$

유형의 요인 형태로

$(x-a)$

즉, 각 루트에 대해 괄호를 넣어야 합니다.

$x$

루트의 기호가 변경되었습니다.

$\displaystyle P(x)= 4\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$

다항식을 인수분해하려면 해당 인수에 인수분해되지 않은 다항식의 최고 차수 항의 계수(이 경우 4)를 곱해야 한다는 점을 기억하십시오.

다항식 인수분해의 특별한 경우

일반적으로 Ruffini의 법칙(또는 합성 나눗셈)은 위에서 설명한 대로 다항식을 인수분해하는 데 사용됩니다. 그러나 문제의 다항식에 따라 다항식 인수분해를 더 빠르게 수행할 수도 있습니다. 우리는 아래에서 이러한 특별한 사례를 각각 살펴보겠습니다.

주목할만한 정체성을 고려

다항식이 주목할만한 아이덴티티(또는 주목할만한 제품)에 해당한다는 것을 알면 이를 인수분해하는 것은 매우 간단합니다. 그러나 이를 수행하려면 유명 신원에 대한 공식을 숙지해야 합니다. 그렇지 않으면 공식을 찾을 뿐만 아니라 유명 인물의 예도 볼 수 있는 이 링크를 살펴보는 것이 좋습니다. 신분을 확인하고 단계별로 문제를 해결하면서 연습 연습도 할 수 있습니다.

제곱의 차이

여러분도 잘 알고 있듯이, 제곱의 차이에 대한 주목할만한 공식은 다음과 같습니다.

$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$

따라서 다음 식을 만족하는 다항식을 찾으면

$a^2-b^2$

직접적으로 고려할 수 있습니다.

제곱의 차이를 고려한 다음 예를 살펴보십시오.

$x^2-9 = (x+3)(x-3)$

반면에 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=-3 \qquad x=+3$

제곱의 차이인 이항식을 인수분해하는 다른 예:

$x^2-4=(x+2)(x-2) \quad \longrightarrow \quad \text{ra\'ices: } x=-2, +2$

$x^2-16=(x+4)(x-4) \quad \longrightarrow \quad \text{ra\'ices: } x=-4, +4$

$x^2-25=(x+5)(x-5) \quad \longrightarrow \quad \text{ra\'ices: } x=-5, +5$

덧셈과 뺄셈 광장

여러분은 이미 남아 있는 두 가지 주요 특징인 덧셈 사각형과 뺄셈 사각형에 대한 공식을 알고 있어야 합니다.

합계 광장

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$

빼기 사각형

$a^2-2ab+b^2= (a-b)^2$

따라서 다항식이 이 두 가지 주목할만한 항등식 중 하나에 해당한다는 것을 알게 되면 이를 직접 인수분해할 수 있습니다. 다음 예를 살펴보십시오.

$x^2+6x+9 = (x+3)^2$

이중 루트:

$x=-3$

$x^2-8x+16 = (x-4)^2$

이중 루트:

$x=4$

이러한 주목할만한 제품 유형을 식별하는 것은 조금 더 어렵습니다. 다항식의 독립 항이 어떤 숫자의 제곱인지, 그리고 더 높은 차수 항이 단항식의 제곱인지 확인하는 것이 요령입니다(보통

$x$

), 이 경우에는 다음이 사실인지 확인하는 것으로 충분합니다.

$2ab$

중급 졸업장과 동일합니다.

예를 들어, 다음과 같은 다항식이 있다고 가정해 보겠습니다.

$x^2+10x+25$

이 경우 다항식의 모든 요소가 양수이므로 합의 제곱만 가능합니다. 그래서 변수는

$b$

공식의 독립 항의 근이고 변수이기 때문에 5여야 합니다.

$a$

그래야만 해

$x$

, 이는 may 학위라는 용어의 어원이기 때문입니다.

$a=\sqrt{x^2} = x$

$b=\sqrt{25} = 5$

이제 우리가 해야 할 일은 합의 제곱에 대한 공식이 중간 차수 항으로 충족된다는 것을 증명하는 것입니다.

$2ab = 10x \ \color{blue} \bm{?}$

$2ab = 2\cdot x \cdot 5 = 10 x$

✅

주목할만한 제품의 공식이 충족되므로 인수분해 다항식은 다음과 같습니다.

$x^2+10x+25 = (x+5)^2$

그리고 이 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=-5,$

이는 인수가 제곱되기 때문에 이중근입니다(두 번 반복됨).

다음은 완전제곱 삼항식을 인수분해하는 더 많은 예입니다.

$x^2-4x+4=(x-2)^2 \quad \longrightarrow \quad \text{ra\'iz doble: } x=+2$

$x^2+14x+49=(x+7)^2 \quad \longrightarrow \quad \text{ra\'iz doble: } x=-7$

$9x^2-12x+4=(3x-2)^2 \quad \longrightarrow \quad \text{ra\'iz doble: } x=+\cfrac{2}{3}$

2차 삼항식 인수분해하기

우리가 방금 본 것처럼, 때때로 완전제곱식인 삼항식이 있으며 이는 주목할만한 항등식에 대한 공식으로 직접 인수분해될 수 있습니다. 그러나 대부분의 삼항식은 주목할만한 제품이 아닙니다. 그렇다면 이러한 다항식의 경우를 어떻게 인수분해합니까?

2차 다항식을 인수분해하려면 Ruffini 방법을 적용할 필요가 없으며 다항식을 0으로 설정하고 결과 2차 방정식을 풀면 됩니다. 따라서 방정식의 해는 다항식의 근이 됩니다.

예를 들어, 다음과 같은 2차 다항식을 인수분해하라는 요청을 받았다면:

$P(x) = x^2+2x-15$

Ruffini를 사용하는 대신 다항식을 0으로 설정합니다.

$x^2+2x-15=0$

이제 우리는 2차 방정식의 공식을 사용하여 방정식의 해를 찾습니다.

$x= \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x= \cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-15)}}{2\cdot 1}= \cfrac{-2\pm \sqrt{4+60}}{2} = \cfrac{-2 \pm\sqrt{64}}{2}$

$\displaystyle x = \cfrac{-2 \pm 8}{2} = \begin{cases} \cfrac{-2+8}{2} = \cfrac{6}{2} = 3 \\[4ex]\cfrac{-2-8}{2} = \cfrac{-10}{2} = -5 \end{cases}$

따라서 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=3 \qquad x=-5$

마지막으로 다항식 인수분해는 다음과 같습니다.

$P(x) =(x-3)(x+5)$

짝수 지수를 갖는 4차 삼항식 인수분해하기

이전 경우와 마찬가지로 짝수 지수를 갖는 4차 다항식을 인수분해하려면 다항식을 0으로 설정하고 2제곱 방정식을 풀어야 합니다. 발견된 값은 다항식의 근에 해당합니다.

예를 들어, 다음과 같은 4차 다항식을 인수분해하겠습니다.

$P(x) =x^4-5x^2+4$

먼저 다항식을 0으로 설정합니다.

$x^4-5x^2+4=0$

이제 2제곱방정식을 풀어야 합니다. 이를 위해 변수를 변경합니다.

$x^2=t$

$t^2-5t+4=0$

우리는 다음 공식으로 이차 방정식을 푼다.

$t= \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$t= \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}= \cfrac{5\pm \sqrt{25-16}}{2} = \cfrac{5 \pm\sqrt{9}}{2}$

$\displaystyle t = \cfrac{5 \pm 3}{2} = \begin{cases} \cfrac{5+3}{2} = \cfrac{8}{2} = 4 \\[4ex]\cfrac{5-3}{2} = \cfrac{2}{2} = 1 \end{cases}$

근을 계산하기 위해 변수 변경을 취소합니다.

$x^2=t$

$x^2=4$

$x=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

$x^2=1$

$x=\sqrt{1}$

$x=\pm 1$

따라서 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=+2 \qquad x=-2 \qquad x=+1 \qquad x=-1$

그리고 다항식의 근이나 영점을 알고 나면 그 근을 인수의 형태로 대수적으로 표현하여 인수분해합니다.

$P(x) =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

그룹화를 통해 다항식 인수분해하기

매우 특별한 경우에는 매우 특정한 유형의 다항식을 인수분해하는 데 공식을 사용할 수 있습니다.

다음 형식의 다항식이 있는 경우:

$x^2-ax- bx+ab$

공통 인수를 제거하여 다항식을 단순화할 수 있습니다.

$x^2-ax- bx+ab = x(x-a)-b(x-a)$

그리고 공통 인수를 두 번째로 추출하여 다항식을 더욱 단순화할 수 있습니다.

$x(x-a)-b(x-a) =(x-a)\cdot (x-b)$

이런 식으로 우리는 Ruffini나 다른 방법을 적용하지 않고도 다항식을 인수분해할 수 있었습니다. 그리고 상기 다항식의 근은 다음과 같습니다:

$x=a \qquad x=b$

이제 수치 예를 통해 이 방법을 살펴보겠습니다.

$x^2-3x-2x+6$

먼저, 공약수를 제거합니다.

$x$

그리고 2:

$x^2-3x-2x+6 = x(x-3)-2(x-3)$

그리고 지금처럼

$(x-3)$

가 다항식의 공통인수이면, 우리는 다음의 공통인수를 추출합니다:

$(x-3):$

$x(x-3)-2(x-3)=(x-3)\cdot (x-2)$

따라서 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=3 \qquad x=2$

이 방법은 이중 공통인수 추출에 의한 다항식의 인수분해라고도 합니다. 이는 매우 빠른 절차이지만 이 방법으로 인수분해할 때 오류가 자주 보고되므로 이러한 유형의 인수분해를 수행하지 않는 것이 좋습니다. 또한 위에서 본 것처럼 간단한 2차 방정식을 풀어 2차 다항식을 인수분해할 수도 있습니다. 간단히 말해서, 이 방법을 잘 이해하지 못하면 아무 일도 일어나지 않습니다.

마지막으로, LLL 알고리즘, Kronecker 방법 및 Trager 방법과 같은 더 복잡한 다항식 인수분해 방법이 있지만 수학적 어려움으로 인해 여기에서는 설명하지 않는다는 점에 유의해야 합니다.

다항식 인수분해에 관한 해결된 연습 문제

다항식 인수분해의 모든 유형을 살펴본 후에는 연습문제를 해결하는 연습을 하는 것이 좋습니다. 이것이 바로 우리가 아래에서 다항식을 인수분해하기 위한 몇 가지 단계별 해결 연습을 준비한 이유입니다. 궁금한 사항은 댓글로 남겨주시면 빠르게 답변해드리니 참고해주세요.

연습 1

다음 3차 다항식의 인수분해를 수행합니다.

$P(x)=x^3-3x^2-6x+8$

솔루션 보기

이는 완전하고 순서가 있는 3차 다항식이며 궁극적으로 독립된 다항식입니다. 따라서 다항식의 근을 결정하기 위해 Ruffini의 방법을 적용합니다.

따라서 다항식의 근은 다음과 같습니다:

$x=+1 \qquad x=-2 \qquad x=+4$

따라서 다항식 인수분해는 다음과 같습니다.

$P(x)= 1 \cdot (x-1)\cdot (x+2) \cdot (x-4)$

$\bm{P(x)= (x-1)(x+2)(x-4)}$

연습 2

다음 4차 다항식의 인수분해를 계산합니다.

$P(x)=x^4+x^3-7x^2-x+6$

솔루션 보기

이는 4차 다항식이며 독립항을 사용하므로 Ruffini 방법을 사용하여 다항식의 근을 찾습니다.

따라서 다항식의 근은 다음과 같습니다.

$x=+1 \qquad x=-1 \qquad x=2 \qquad x=-3$

그리고 다항식을 인수분해하면 다음과 같은 결과가 남습니다.

$P(x)= 1 \cdot (x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-2) \cdot (x+3)$

$\bm{P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x+3)}$

연습 3

다음 4차 다항식의 인수분해를 구합니다.

$P(x)=x^4-2x^3-13x^2-10x$

솔루션 보기

이 경우 다항식에는 독립항이 없으므로 먼저 공통인수를 추출해야 합니다.

$P(x)=x(x^3-2x^2-13x-10)$

이제 x의 공통 인수를 취했으므로 Ruffini의 방법을 사용하여 괄호 안의 다항식의 근 또는 영을 계산합니다.

따라서 다항식의 근은 Ruffini 방법에 공약수 x=0을 더해 찾은 근입니다.

$x=0 \qquad x=-1 \qquad x=-2 \qquad x=5$

그리고 마지막으로 다항식을 인수로 분해하여 다음 표현식을 얻습니다.

$P(x)= 1 \cdot x \cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-5)$

$\bm{P(x)= x(x+1)(x+2)(x-5)}$

연습 4

다음 3차 다항식을 인수로 변환합니다.

$P(x)=6x^3+25x^2+21x-10$

솔루션 보기

이 다항식은 독립항을 가지므로 Ruffini 알고리즘을 사용하여 근을 계산합니다.

그러나 이 지점에 도달하면 Ruffini의 규칙을 계속 적용할 수 없습니다. 왜냐하면 다른 정수가 없으면 나눗셈의 나머지 부분이 0이 되기 때문입니다.

따라서 결과 다항식을 0으로 설정합니다.

$6x^2+13x-5=0$

그리고 결과 방정식을 풀기 위해 이차 방정식의 공식을 적용합니다.

$x= \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x= \cfrac{-13 \pm \sqrt{13^2-4\cdot 6\cdot (-5)}}{2\cdot 6}= \cfrac{-13\pm \sqrt{169+120}}{12} = \cfrac{-13 \pm\sqrt{289}}{12}$

$\displaystyle x = \cfrac{-13 \pm 17}{12} = \begin{cases} \cfrac{-13+17}{12} = \cfrac{4}{12} = \cfrac{1}{3} \\[4ex]\cfrac{-13-17}{12} = \cfrac{-30}{12} = -\cfrac{5}{2} \end{cases}$

따라서 다항식의 근 또는 영은 다음과 같습니다.

$x=-2 \qquad x=\cfrac{1}{3} \qquad x=-\cfrac{5}{2}$

따라서 다항식의 인수분해는 분수를 사용하여 수행되어야 합니다.

$\displaystyle P(x)= 6\left(x+2\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$

연습 5

다음 6차 다항식의 인수분해를 결정합니다.

$P(x)=x^6-3x^5+14x^3-12x^2$

솔루션 보기

문제의 다항식에는 독립항이 없으므로 먼저 공통인수를 추출해야 합니다. 이 경우에는

$x^2:$

$P(x)=x^2(x^4-3x^3+14x-12)$

다항식에서 공통인수를 제거한 후에는 Ruffini의 법칙을 사용하여 괄호 안에 다항식의 근을 찾습니다.

하지만 이 단계에 도달하면 더 이상 앞으로 나아갈 수 없습니다. 왜냐하면 다른 정수가 없으면 나머지는 0이 되기 때문입니다.

따라서 우리는 얻은 다항식을 0으로 설정합니다.

$x^2-4x+6=0$

그리고 우리는 다음 공식을 사용하여 이차 방정식을 푼다.

$x= \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x= \cfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}= \cfrac{4\pm \sqrt{16-24}}{2} = \cfrac{4 \pm\sqrt{-8}}{2} \ \color{red} \bm{\times}$

음수의 근이 없으므로 방정식에는 해가 없습니다. 이는 다항식의 근을 더 이상 찾을 수 없음을 의미합니다. 즉, 다항식은 완전히 인수분해 가능하지 않습니다.

그러나 우리가 찾을 수 있었던 뿌리는 다음과 같습니다.

$x=0 \qquad x=0 \qquad x=1 \qquad x=-2$

참고로 루트는

$x=0$

에서 공통인수를 제거했기 때문에 두 번 반복됩니다.

$x^2,$

그리고 그것이 제곱되었기 때문에 이는 그것이 이중근이라는 것을 의미합니다.

결론적으로, 인수분해된 다항식은 인수로 표현된 모든 근의 곱이 될 것입니다.

$(x-a)$

더 이상 고려할 수 없는 Ruffini의 법칙에서 얻은 다항식을 곱합니다.

$P(x)= 1 \cdot x^2 \cdot (x-1)\cdot (x+2)\cdot (x^2-4x+6)$

$\bm{P(x)= x^2(x-1)(x+2)(x^2-4x+6)}$

연습 6

다음 다항식을 모두 인수분해합니다.

$\text{A)} \ P(x)=x^2 + 12x+36$

$\text{B)} \ Q(x)=x^2 -64$

$\text{C)} \ R(x)=x^2 - 18x+81$

$\text{D)} \ S(x)=x^2+10x+24$

솔루션 보기

섹션 A)의 다항식은 주목할만한 항등식, 특히 합의 제곱에 해당합니다. 따라서 인수분해는 다음과 같습니다.

$P(x)=x^2 + 12x+36 = \bm{(x+6)^2}$

섹션 B)의 다항식도 주목할 만한 곱입니다. 특히 제곱의 차이이므로 다음과 같습니다.

$Q(x)=x^2 -64 = \bm{(x+8)(x-8)}$

마찬가지로, 섹션 C)의 다항식은 특히 뺄셈의 제곱으로 구성되어 있다는 점에서 주목할만한 등식입니다. 따라서 인수분해는 다음과 같습니다.

$R(x)=x^2 - 18x+81 = \bm{(x-9)^2}$

마지막으로, D) 부분의 다항식은 주목할만한 항등식이 아닙니다. 따라서 다항식을 0으로 설정하고 결과 방정식을 풀어 근을 찾아야 합니다.

$x^2+10x+24 =0$

우리는 이차 방정식 공식을 사용합니다.

$x= \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x= \cfrac{-10 \pm \sqrt{10^2-4\cdot 1\cdot 24}}{2\cdot 1}= \cfrac{-10\pm \sqrt{100-96}}{2} = \cfrac{-10 \pm\sqrt{4}}{2}$

$\displaystyle x = \cfrac{-10 \pm 2}{2} = \begin{cases} \cfrac{-10+2}{2} = \cfrac{-8}{2} = -4 \\[4ex]\cfrac{-10-2}{2} = \cfrac{-12}{2} = -6\end{cases}$

따라서 다항식 D)의 근은 다음과 같습니다.

$x=-4 \qquad x=-6$

마지막으로 다항식 인수분해의 결과는 다음과 같습니다.

$\bm{S(x)=(x+4)(x+6)}$

다항식 인수분해란 무엇입니까?

Ruffini의 법칙으로 다항식을 인수분해하는 방법

독립항 없이 다항식을 인수분해하기

유리수근을 사용하여 다항식 인수분해하기

다항식 인수분해의 특별한 경우

주목할만한 정체성을 고려

제곱의 차이

덧셈과 뺄셈 광장

2차 삼항식 인수분해하기

짝수 지수를 갖는 4차 삼항식 인수분해하기

그룹화를 통해 다항식 인수분해하기

다항식 인수분해에 관한 해결된 연습 문제

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

연습 6

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