▷ 나머지 정리: 그것이 무엇인지, 예제와 해결된 연습문제 ✅

여기서는 나머지 정리(또는 나머지 정리)가 무엇인지, 그리고 그것이 다항식에 어떻게 적용되는지에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 또한 예제를 볼 수 있을 뿐만 아니라 나머지 정리에 대한 단계별 해결 연습을 통해 연습할 수도 있습니다.

나머지 정리는 무엇입니까?

수학에서 나머지 정리는 임의의 다항식 P(x)를 (xa) 형식의 다른 다항식으로 나눈 나머지가 값 x=a에 대한 다항식 P(x)의 수치 값과 같다고 말합니다. 즉, 나눗셈 P(x):(xa)의 나머지는 P(a)와 동일합니다.

나머지 정리의 예

나머지 정리가 무엇인지 살펴보고 나면 이를 적용한 실제 예를 살펴보겠습니다.

다음 두 다항식 사이의 나눗셈의 나머지를 계산합니다.

$P(x) = x^3+2x^2-4x+3 \qquad \qquad Q(x)=x-1$

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

다항식 나눗셈의 나머지(또는 잔차)를 찾기 위해 나머지 정리를 활용할 수 있습니다. 왜냐하면 이 경우 나눗셈 다항식은 (xa) 형식, 즉 1차 계수이기 때문입니다. 변수 x는 1이고 독립항을 갖습니다.

그래서 우리는 이와 같은 나눗셈의 나머지가 부호가 변경된 제수 다항식의 독립 항, 즉 P(1)에서 평가된 배당 다항식의 수치와 동일하다는 나머지 정리를 적용합니다.

따라서 나눗셈의 나머지 부분을 찾으려면 x=1에서 다항식을 계산해야 합니다.

$\begin{aligned} P(1) &= 1^3+2\cdot 1^2-4\cdot 1+3\\[2ex] &= 1+2\cdot 1-4 \cdot 1+3 \\[2ex] & = 1+2-4+3 \\[2ex] & =\bm{2} \end{aligned}$

따라서 다항식 사이의 나눗셈의 나머지는 2 입니다 .

다른 한편으로, 다항식을 나누는 Ruffini의 규칙을 통해 나머지가 우리가 찾은 결과와 일치하는지 확인할 수도 있습니다.

보시다시피, 더 적은 수의 계산이 수행되기 때문에 Ruffini의 규칙을 사용하는 것보다 나머지 정리를 사용하여 이항식으로 다항식의 나눗셈의 나머지를 결정하는 것이 훨씬 빠르고 쉽습니다.

나머지와 인자 정리

나머지 정리와 다항식의 근(또는 영)의 정의로부터 인자 정리를 추론할 수 있습니다. 따라서 요인 정리는 다음을 의미합니다.

인자 정리는 다항식 P(x)가 P(a)=0인 경우에만 (xa) 형식의 다른 다항식으로 나누어진다고 말합니다. 그리고, 이 경우, 이는 a가 다항식 P(x)의 근 또는 0임을 의미합니다.

또한, 나머지 정리에 따르면 이는 다항식이 다른 다항식으로 나누어지면 P(a)=0이므로 나눗셈의 나머지는 0이라는 것을 의미합니다.

예를 들어, 특정 다항식이 있는 경우:

$P(x)=x^2+2x-8$

이 다항식은 P(2)=0이므로 이항식(x-2)으로 나눌 수 있습니다.

$\begin{aligned} P(2) &= 2^2+2\cdot 2-8\\[2ex] &= 4+4-8 \\[2ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

x=2는 다항식 P(x)를 취소하므로 이는 x=2가 해당 다항식의 근임을 의미합니다.

그리고 더 나아가, P(2)=0이므로, 나머지 정리 덕분에 나눗셈의 나머지는 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

$\cfrac{x^2+2x-8}{x-2}$

0과 같습니다.

나머지 정리의 해결 연습

나머지 정리의 이해를 마무리하기 위해 연습할 수 있도록 단계별로 풀어본 몇 가지 연습문제를 준비했습니다. 먼저 직접 운동을 해보고 제대로 했는지 확인하는 것이 좋습니다.

연습 1

나머지 정리에 의해 다항식 나눗셈의 나머지를 구합니다.

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

, 연산과 관련된 다항식은 다음과 같습니다.

$P(x) =x^3+4x^2-2x+1\qquad \qquad Q(x)=x-2$

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제수 다항식은 1차 항과 독립 항으로만 구성되며, 게다가 1차 항의 계수는 1입니다. 따라서 나머지 정리를 사용할 수 있습니다.

그리고 나머지 정리를 적용하려면 제수 다항식 변경 부호의 독립항에서 배당 다항식을 평가하면 충분합니다. 즉, P(2)를 계산해야 합니다.

$\begin{aligned} P(2) &= 2^3+4\cdot 2^2-2\cdot 2+1\\[2ex] &=8+4\cdot 4-2\cdot 2+1 \\[2ex] & = 8+16-4+1 \\[2ex] & =\bm{21} \end{aligned}$

따라서 두 다항식 사이의 나눗셈의 나머지는 21 입니다 .

연습 2

다항식이 주어지면

$P(x)=x^4-2x^3+5x^2-3x+4 ,$

다음 각 다항식으로 나누어 얻은 나머지를 구합니다.

$\text{A)} \ \left(x-1 \right)$
$\text{B)} \ \left(x+1 \right)$
$\text{C)} \ \left(x+2 \right)$
$\text{D)} \ \left(x-3 \right)$

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모든 나눗셈 다항식은 나머지 정리의 조건을 충족하므로 이 정리를 사용하여 각 나눗셈의 나머지를 결정할 수 있습니다.

$\begin{aligned} \mathbf{A}\bm{)} \ P(1) &= 1^4-2\cdot 1^3+5\cdot 1^2-3\cdot 1+4\\[2ex] &=1-2\cdot 1+5\cdot 1 -3 \cdot 1+4 \\[2ex] & = 1-2+5-3+4 \\[2ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{B}\bm{)} \ P(-1) &= (-1)^4-2\cdot (-1)^3+5\cdot (-1)^2-3\cdot (-1)+4\\[2ex] &=1-2\cdot (-1)+5\cdot 1 -3 \cdot (-1)+4 \\[2ex] & = 1+2+5+3+4 \\[2ex] & =\bm{15} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{C}\bm{)} \ P(-2) &= (-2)^4-2\cdot (-2)^3+5\cdot (-2)^2-3\cdot (-2)+4\\[2ex] &=16-2\cdot (-8)+5\cdot 4 -3 \cdot (-2)+4 \\[2ex] & = 16+16+20+6+4 \\[2ex] & =\bm{62} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{D}\bm{)} \ P(3) &= 3^4-2\cdot 3^3+5\cdot 3^2-3\cdot 3+4\\[2ex] &=81-2\cdot 27+5\cdot 9 -3 \cdot 3+4 \\[2ex] & = 81-54+45-9+4 \\[2ex] & =\bm{67} \end{aligned}$

연습 3

매개변수의 가치가 얼마인지 계산합니다.

$m$

그래서 다항식의 나눗셈의 나머지는

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

은 3과 같고 둘 다 다항식입니다.

$P(x) =x^3-5x^2-mx+9 \qquad \qquad Q(x)=x+3$

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이 특별한 경우, 나눗셈 다항식은 1차 단항식과 독립항으로 구성되며, 게다가 1차 단항식의 계수는 1입니다. 따라서 나머지 정리를 사용할 수 있습니다.

그리고 나머지 정리를 사용하려면 간단히 나눗셈 다항식의 독립항을 나눗셈 다항식에 x가 있는 부호의 변화로 바꾸면 됩니다. 그러므로 우리는 P(-3)을 풀어야 합니다.

$\begin{aligned} P(-3) &=(-3)^3-5\cdot (-3)^2-m\cdot (-3)+9\\[2ex] &=-27-5\cdot 9 -m\cdot (-3)+9 \\[2ex] & = -27-45+3m+9 \\[2ex] & =3m-63 \end{aligned}$