몫의 미분(나눗셈): 공식 및 해결 연습문제

이 글에서는 두 함수로부터 몫(또는 나눗셈)을 도출하는 방법을 설명합니다. 함수 몫의 도함수의 예를 찾을 수 있으며, 또한 나눗셈의 도함수에 대한 단계별 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

몫의 도함수에 대한 공식

함수의 계수(또는 나눗셈)의 도함수는 분모 함수를 고분모 함수 제곱으로 나눈 분모 함수의 도함수에 의한 분자 함수보다 작은 분모 함수에 의한 분자 함수의 도함수와 동일합니다.

보시다시피, 몫(또는 나눗셈)의 도함수에 대한 규칙을 적용할 때 미분 후에도 여전히 분수가 있습니다. 그러나 또한 분자에는 두 개의 곱셈과 뺄셈이 있으며 분모는 2의 거듭 제곱으로 올라갑니다.

몫의 도함수 예

우리는 방금 두 함수의 몫의 도함수에 대한 공식이 무엇인지 살펴보았습니다. 그런 다음 이러한 유형의 연산에 대한 몇 가지 도함수 예를 풀 것입니다. 함수 지수가 어떻게 도출되는지 이해하지 못하는 경우 댓글 섹션에서 문의할 수 있습니다.

실시예 1

이 예에서는 삼각 함수로 나누어진 잠재적 함수를 유도합니다.

$f(x)=\cfrac{3x^2+4x}{\text{sen}(2x)}$

서로 다른 두 함수의 나눗셈의 미분 공식은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c}z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}\\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array}$

따라서 먼저 각 함수의 도함수를 개별적으로 계산해야 합니다.

$\cfrac{d}{dx}\ (3x^2+4x)=6x+4$

$\cfrac{d}{dx}\ \text{sen}(2x)=2\text{cos}(2x)$

따라서 전체 함수의 미분은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\cfrac{3x^2+4x}{\text{sen}(2x)}\\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] f'(x)=\cfrac{(6x+4)\cdot\text{sen}(2x)-(3x^2+4x)\cdot 2\text{cos}(2x)}{\text{sen}^2(2x)}\end{array}$

실시예 2

이 경우 함수로 나눈 상수의 미분을 찾을 수 있습니다.

$f(x)=\cfrac{10}{x^2+3x-9}$

위에서 본 것처럼 두 가지 다른 함수의 나눗셈에 대한 규칙은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c}z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}\\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array}$

따라서 분자와 분모의 미분을 별도로 계산합니다.

$\cfrac{d}{dx}\ 10=0$

$\cfrac{d}{dx}\ (x^2+3x-9)=2x+3$

그리고 마지막으로 정수 나누기의 미분을 찾습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\cfrac{10}{x^2+3x-9}\\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] f'(x)=\cfrac{0\cdot (x^2+3x-9)-10\cdot (2x+3)}{\left(x^2+3x-9\right)^2}=\cfrac{-20x+30}{\left(x^2+3x-9\right)^2}\end{array}$

실제로, 상수의 도함수는 항상 0이기 때문에 분자에 상수를 함수로 나눈 경우 직접 미분하는 공식을 유도할 수 있습니다. 따라서 다음 공식은 항상 참입니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{c}z(x)=\cfrac{k}{f(x)} \\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] z'(x)=\cfrac{-k\cdot f'(x)}{\bigl(f(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

실시예 3

이 연습에서는 두 다항식의 몫을 도출합니다.

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

도함수를 풀려면 다음과 같이 두 가지 다른 함수의 몫의 도함수에 대한 규칙을 적용해야 합니다.

$\begin{array}{c}z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}\\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array}$

이제 분자 다항식과 분모 다항식의 도함수를 찾아보겠습니다.

$\cfrac{d}{dx}\ (x^3+4x^2)=3x^2+8x$

$\cfrac{d}{dx}\ (5x^2-8)=10x$

따라서 다의어 나눗셈의 파생물은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{c}f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}\\[2.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\\[1.5ex] f'(x)=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\end{array}$

마지막으로 작업을 수행하고 분수를 최대한 단순화합니다.

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

몫의 미분에 대한 해결 연습

다음과 같은 기능 구분을 도출합니다.

$\text{A) }f(x)=\cfrac{9x^2+5x}{6x^3}$

$\text{B) }f(x)=\cfrac{19}{2x^2-2}$

$\text{C) }f(x)=\cfrac{8x^3-4x^2+3x}{e^{4x}}$

$\text{D) }f(x)=\cfrac{\text{cos}(x^2)}{\text{sen}(6x)}$

$\text{E) }f(x)=\cfrac{\ln(x^3+4)}{\left(4x^2-3x\right)^3}$

$\text{F) }f(x)=\cfrac{\sqrt{x^2+4x}}{5^{x^2}}$

솔루션 보기

$\begin{aligned}\text{A) }f'(x)&=\cfrac{(18x+5)\cdot 6x^3-(9x^2+5x)\cdot 18x^2}{\left(6x^3\right)^2}\\[1.5ex]&=\cfrac{108x^4+30x^3-162x^4-90x^3}{36x^6}\\[1.5ex]&=\cfrac{-54x^4-60x^3}{36x^6}\\[1.5ex]&=\cfrac{-9x-10}{6x^3}\end{aligned}$

$\text{B) }f'(x)=\cfrac{-19\cdot 4x}{\left(2x^2-2\right)^2}=\cfrac{-76x}{\left(2x^2-2\right)^2}$

$\begin{aligned}\text{C) }f'(x)&=\cfrac{(24x^2-8x+3)e^{4x}-(8x^3-4x^2+3x)\cdot 4e^{4x}}{\left(e^{4x}\right)^2}\\[1.5ex]&=\cfrac{e^{4x}(24x^2-8x+3-32x^3+16x^2-12x)}{e^{8x}}\\[1.5ex]&=\cfrac{-32x^3+40x^2-20x+3}{e^{4x}}\end{aligned}$

$\text{D) }f'(x)=\cfrac{-2x\text{sen}(x^2)\cdot\text{sen}(6x)-\text{cos}(x^2)\text{cos}(6x)\cdot 6}{\text{sen}^2(6x)}$

$\begin{aligned}\text{E) }f'(x)&=\cfrac{\cfrac{3x^2}{x^3+4}\cdot\left(4x^2-3x\right)^3-\ln(x^3+4)\cdot 3\left(4x^2-3x\right)^2\cdot (8x-3) }{\left(\left(4x^2-3x\right)^3\right)^2}\\[1.5ex]&=\cfrac{\cfrac{3x^2}{x^3+4}\cdot\left(4x^2-3x\right)^3-\ln(x^3+4)\cdot 3\left(4x^2-3x\right)^2\cdot (8x-3) }{\left(4x^2-3x\right)^6}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{F) }f'(x)&=\cfrac{\cfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}}\cdot 5^{x^2} - \sqrt{x^2+4x}\cdot 5^{x^2}\cdot \ln(5) \cdot 2x }{\left(5^{x^2}\right)^2}\\[1.5ex]&=\cfrac{\cfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}}\cdot 5^{x^2} - \sqrt{x^2+4x}\cdot 5^{x^2}\cdot \ln(5) \cdot 2x }{5^{2x^2}}\end{aligned}$

몫의 미분 증명

마지막으로 나눗셈의 미분 공식을 보여드리겠습니다. 이를 위해 다음과 같은 파생 상품의 일반적인 정의를 사용합니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

z를 두 가지 다른 함수의 분할로 둡니다.

$z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}$

그러면 수학적 정의를 적용한 함수 z 의 미분은 다음과 같습니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\cfrac{f(x)}{g(x)}}{h}$

분수의 분자에서 분수 빼기를 해결합니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cfrac{f(x+h)\cdot g(x)}{g(x+h)\cdot g(x)}-\cfrac{f(x)\cdot g(x+h)}{g(x)\cdot g(x+h)}}{h}$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}$

방정식에 덧셈과 뺄셈 항을 추가해도 방정식은 변경되지 않습니다. 따라서 다음 단계로 넘어갈 수 있습니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x)\color{orange}\bm{-f(x)\cdot g(x)}\color{black}-f(x)\cdot g(x+h)\color{orange}\bm{+f(x)\cdot g(x)}\color{black}}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}$

공통 요소를 추출합니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)\bigl[f(x+h)-f(x)\bigr]-f(x)\bigl[g(x+h)-g(x)\bigr]}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}$

이제 분수의 속성을 사용하여 항 h 를 분모에서 분자로 이동해 보겠습니다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{g(x)\cdot \cfrac{f(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}-f(x)\cdot\cfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)\cdot g(x+h)}$

한계의 속성을 적용하여 방정식을 변환합니다.

$\displaystyle f'(x)=\frac{g(x)\cdot \displaystyle\lim_{h \to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}-f(x)\cdot\lim_{h \to 0}\cfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}{g(x)\cdot \displaystyle\lim_{h \to 0}g(x+h)}$

분자의 극한은 각 함수의 도함수에 대한 수학적 정의와 정확하게 일치합니다. 따라서:

$\displaystyle f'(x)=\frac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)\cdot \displaystyle\lim_{h \to 0}g(x+h)}$

분수의 분모의 극한을 해결합니다.

$\displaystyle f'(x)=\frac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)\cdot g(x)}$

따라서 두 함수의 몫의 도함수에 대한 공식이 설명됩니다.

$\displaystyle f'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}$

몫(또는 나눗셈)의 파생

몫의 도함수에 대한 공식

몫의 도함수 예

실시예 1

실시예 2

실시예 3

몫의 미분에 대한 해결 연습

몫의 미분 증명

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