▷ 기능의 합성(또는 복합함수)

이번 글에서는 복합함수(또는 함수들의 합성)가 무엇인지 설명합니다. 또한 복합 함수의 여러 예와 이러한 유형의 함수 도메인이 계산되는 방법을 볼 수 있습니다. 마지막으로, 함수 합성의 속성과 연습할 수 있는 몇 가지 단계별 연습을 찾을 수 있습니다.

함수 구성이란 무엇입니까?

함수 구성은 둘 이상의 함수에서 동일한 독립 변수(x) 값을 연속적으로 평가하는 것으로 구성됩니다. 예를 들어, 함수 (gof)(x)를 합성하면 합성 함수 g[f(x)]가 됩니다.

복합 함수의 표현

$g\circ f$

“f는 g로 구성됨” 또는 “f 다음에 g가 따라옴”이라고 읽습니다.

함수 합성에서는 순서가 중요하므로 합성 기호 오른쪽에 있는 함수가 먼저 적용됩니다.

$(f)$

그런 다음 구성 기호 왼쪽의 기능

$(g).$

함수 구성의 예

복합 함수의 정의가 주어지면 두 함수의 구성을 계산하는 방법의 예를 살펴보겠습니다.

다음과 같은 두 가지 다른 기능이 제공됩니다.

$f(x)=3x+1 \qquad g(x)=\cfrac{x+4}{2}$

복합 함수 계산

$\left(g \circ f\right)(x)$

그리고 그것을 평가해 보세요.

$x=3.$

기능의 구성

$\left(g \circ f\right)(x)$

이는 다음과 같은 복합 기능을 수행해야 함을 의미합니다.

$\left(g \circ f\right)(x) = g\Big(f(x)\Big)$

이를 해결하기 위해 교체합니다.

$f(x)$

대수적 표현으로:

$g\Big(f(x)\Big)= g\Big(3x+1\Big)$

이제 우리는

$g(x)=\cfrac{x+4}{2}$

그리고 우리는 표현을 넣어

$3x+1$

어디 하나 있어요

$x:$

$g\Big(3x+1\Big)=\cfrac{(3x+1)+4}{2}=\cfrac{3x+5}{2}$

이러한 방식으로 우리는 이미 g 로 구성된 함수 f를 계산했습니다.

$\left(g \circ f\right)(x)=\cfrac{3x+5}{2}$

마지막으로 복합 함수를 평가하려면

$x=3$

해당 값에서 함수의 이미지를 간단히 계산하십시오.

$\left(g \circ f\right)(3)=\cfrac{3\cdot 3+5}{2}=\cfrac{14}{2}=7$

복합 기능 영역

일반적으로 함수에 대한 연산을 수행할 때 결과 함수의 정의역은 원래 함수의 정의역의 교차점입니다. 그러나 이 속성은 함수 합성으로는 만족되지 않습니다.

함수 합성의 영역

$(g\circ f)(x)$

함수 정의역에서 x의 모든 값의 집합과 동일합니다.

$f$

~와 같은

$f(x)$

기능의 영역에 속한다

$g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

따라서 복합 함수의 정의역을 계산하려면 먼저 각 함수의 정의역을 별도로 구한 다음 연산으로 인해 발생하는 함수의 정의역을 찾아야 합니다. 따라서 함수의 구성 영역은 이전 수학적 조건을 만족하는 모든 값으로 구성됩니다.

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함수 구성의 속성

복합 함수에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

함수의 구성에는 결합 속성이 있으므로 다음 방정식은 항상 참입니다.

$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

일반적으로 함수 합성은 교환 가능하지 않으므로 연산 순서에 따라 결과가 결정됩니다.

$f\circ g\neq g\circ f$

함수 구성의 중립 요소는 항등 함수에 해당합니다.
$f(x)=x.$

따라서 항등 함수로 구성된 모든 함수는 함수 자체를 생성합니다.

$f\circ id = id \circ f = f$

$id = x$

두 함수 합성의 역함수를 계산하는 것은 먼저 각 함수의 역함수를 찾은 다음 합성 함수를 결정하는 것과 동일합니다.

$(f\circ g)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

역함수는 또한 복합 함수의 대칭 요소 역할을 합니다. 왜냐하면 역함수와 함수의 합성은 항등 함수와 동일하기 때문입니다.

$(f\circ f^{-1})^{-1}=(f^{-1}\circ f)=id=x$

두 함수 구성의 미분은 체인 규칙을 사용하여 계산됩니다.

$\bigl(g\circ f\bigr)'(x)=g'\Bigl(f(x)\Bigr)\cdot f'(x)$

➤ 참고: 연쇄 법칙이 무엇인가요?

기능 구성에 대한 연습 문제 해결

연습 1

다음 두 가지 기능이 제공됩니다.

$f(x)=x-2 \qquad g(x)= 5x + 4$

g 로 구성된 함수 f 와 f 로 구성된 g 의 구성을 계산합니다.

$(g\circ f)(x)$

$(f\circ g)(x)$

솔루션 보기

기능의 구성

$\left(g \circ f\right)(x)$

다음 복합 함수를 계산하는 것을 의미합니다.

$\left(g \circ f\right)(x) = g\Big(f(x)\Big)$

그래서 이를 해결하기 위해 교체합니다.

$f(x)$

표현을 위해:

$f(x)=x-2$

$g\Big(f(x)\Big)= g\Big(x-2\Big)$

그리고

$g\Big(x-2\Big)$

이는 다음의 표현에서

$g(x) =5x+4$

변수를 교체해야합니다

$x$

을 위한

$x-2:$

$g\Big(x-2\Big) = 5(x-2) +4= 5x-10+4 = 5x-6$

아직:

$\bm{\left(g \circ f\right)(x) = 5x-6}$

반면, f 로 구성된 함수 g를 찾으려면 동일한 절차를 역순으로 수행해야 합니다.

$\begin{aligned}\left(f \circ g\right)(x)&= f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&=f\Big(5x+4\Big)\\[2ex]&=(5x+4)-2\\[2ex]&=\bm{5x+2}\end{aligned}$

또한 이 연습에서는 결과가 함수가 적용되는 순서에 따라 달라지므로 복합 함수가 교환적이지 않다는 속성도 보여줍니다.

연습 2

다음 두 가지 기능이 제공됩니다.

$\displaystyle f(x) =x^2-3 \qquad g(x)=\frac{2x+3}{x+4}$

g 로 구성된 함수 f 의 구성을 계산합니다.

$(g\circ f)(x)$

솔루션 보기

g 로 구성된 함수 f 는 다음 복합 함수를 푸는 것을 의미합니다.

$\left(g \circ f\right)(x) = g\Big(f(x)\Big)$

따라서 함수 f(x)를 다음 표현식으로 대체합니다.

$g\Big(f(x)\Big)= g\Big(x^2-3 \Big)$

이제 교체해야 합니다.

$x$

을 위한

$x^2-3$

함수 g(x)의 표현에서:

$\begin{aligned}g\Big(x^2-3\Big)&=\cfrac{2(x^2-3)+3}{(x^2-3)+4}\\[2ex]&=\cfrac{2x^2-6+3}{x^2+1}\\[2ex]&=\cfrac{2x^2-3}{x^2+1}\end{aligned}$

즉, 함수 구성의 결과는 다음과 같습니다.

$\bm{\left(g \circ f\right)(x) =} \cfrac{\bm{2x^2-3}}{\bm{x^2+1}}$

연습 3

다음 두 가지 이차 함수가 주어지면:

$\displaystyle f(x) =x^2 \qquad g(x)=g(x)= x^2-4x+8$

다음 함수 구성의 결과를 결정합니다.

$(g\circ f)(2)$

솔루션 보기

$\left(g \circ f\right)(2)$

다음 복합 함수를 찾는 것으로 구성됩니다.

$\left(g \circ f\right)(2) = g\Big(f(2)\Big)$

따라서 복합 함수를 풀기 위해 먼저 계산합니다.

$f(2) :$

$f(x)=x^2$

$f(2)=2^2=4$

그러므로 다음과 같이

$f(2)=4 :$

$\left(g \circ f\right)(2) = g\Big(f(2)\Big) = g\big(4\big)$

따라서 복합 함수의 값을 찾으려면 다음을 계산하면 됩니다.

$g(4) :$

$\begin{aligned}\left(g \circ f\right)(2)&=g\Big(f(2)\Big)\\[2ex]&= g\big(4\big)\\[2ex]&=4^2-4\cdot 4+8 \\[2ex]&= 16 - 16 + 8\\[2ex]&= 8\end{aligned}$

요약하면 함수 구성 문제의 결과는 다음과 같습니다.

$\bm{\left(g \circ f\right)(2) =8}$

연습 4

다음 두 가지 기능이 제공됩니다.

$\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{-x+7}\qquad g(x)= x^2-1$

x=2에서 f 로 구성된 g 의 결과를 찾습니다.

$(f\circ g)(2)$

솔루션 보기

이 경우 다음 복합 함수를 계산해야 합니다.

$\left(f \circ g\right)(2) = f\Big(g(2)\Big)$

그래서 먼저 우리는 찾아

$g(2) :$

$g(x)=x^2-1$

$g(2)=2^2-1=4-1 = 3$

그래서,

$g(2)=3 :$

$\left(f \circ g\right)(2) = f\Big(g(2)\Big) = f\big(3\big)$

따라서 복합 함수를 풀려면 다음을 계산해야 합니다.

$f(3) :$

$\begin{aligned}\left(f \circ g\right)(2)&=f\Big(g(2)\Big)\\[2ex]&= f\big(3\big)\\[2ex]&=\cfrac{2\cdot 3-2}{-3+7}\\[2ex]&=\cfrac{6-2}{-3+7}\\[2ex]&=\cfrac{4}{4}\\[2ex]&=1\end{aligned}$