▷ 루피니 법칙으로 다항식 나누기 (풀이 연습)

이 페이지에서는 Ruffini의 법칙을 적용하여 다항식을 나누는 방법을 설명합니다. 설명과 더불어 다항식의 나눗셈을 루피니 법칙으로 풀어내는 예와 연습문제를 단계별로 볼 수 있습니다. 또한 이 방법의 모든 응용 프로그램을 찾을 수 있으며 실제로 하나 이상의 응용 프로그램이 여러분을 놀라게 할 것입니다.

루피니의 법칙은 무엇인가?

수학에서 루피니의 법칙(Ruffini’s rule)은 모든 다항식을 xr 형식의 다항식으로 빠르게 나눌 수 있는 대수적 방법입니다. 루피니의 법칙은 이 방법을 창안한 수학자 파올로 루피니의 이름을 따서 명명되었습니다.

그러나 루피니의 법칙은 다항식을 나누는 데에만 사용되는 것이 아니라 다른 용도로도 많이 사용됩니다. 예를 들어, 루피니의 법칙은 다항식의 근을 구하거나, 다항식의 수치를 구하거나, 다항식을 인수분해하거나, 심지어 3차 이상의 방정식을 푸는 데에도 사용됩니다. 아래에서는 이러한 모든 작업을 수행하기 위해 Ruffini의 규칙이 어떻게 적용되는지 살펴보겠습니다.

마지막으로, Ruffini의 법칙은 Ruffini의 방법, Ruffini의 정리 또는 다항식의 합성 나눗셈으로도 알려져 있습니다.

Ruffini의 법칙을 적용하는 방법

우리가 본 것처럼, 루피니 법칙의 주요 용도는 다항식을 이항식으로 나누는 것, 즉 다음 유형의 나눗셈을 만드는 것입니다.

$\left(x^3+4x^2-2x+1\right) : \left(x-1\right)$

Ruffini의 규칙을 사용하려면 나눗셈 다항식은 항상 x (계수가 1인) 와 숫자 (양수 또는 음수)로 구성되어야 하며, 그렇지 않으면 Ruffini 알고리즘을 사용할 수 없습니다.

루피니의 법칙을 적용하려면 전체적인 과정을 거쳐야 하므로, 아래에서는 예제를 단계별로 풀어 루피니의 법칙(또는 루피니의 방법)이 어떻게 적용되는지 알아보겠습니다.

루피니 법칙의 예

Ruffini의 법칙을 사용하여 다음 다항식의 나눗셈을 풉니다.

$\left(x^3+3x^2-1\right) : \left(x-2\right)$

먼저 서로 교차하는 두 개의 수직선을 그린 다음 피제수와 제수를 다음과 같이 배치해야 합니다.

보시다시피, 우리는 배당 다항식의 계수를 가장 높은 차수에서 가장 낮은 차수로 정렬하여 맨 위에 놓아야 하며, 부호를 변경하여 상자 왼쪽에 제수 다항식의 독립항을 배치합니다.

경고: 배당 다항식에 특정 차수의 항이 없는 경우(불완전 다항식) 그 자리에 0이 입력됩니다. 예를 들어, 이 경우 다항식

$x^3+3x^2-1$

1차 단항식이 없으므로 그 자리에 0을 넣습니다.

작업과 관련된 다항식의 위치를 지정하고 나면 첫 번째 숫자를 바로 아래 줄로 내립니다.

이제 Ruffini의 규칙을 특징짓는 단계가 나옵니다. 아래 숫자에 왼쪽 숫자를 곱하고 그 결과를 다음 열에 배치합니다 .

그리고 열에 숫자를 추가하여 바로 아래에 합계 결과를 표시합니다.

따라서 Ruffini의 방법에는 이 과정을 반복하는 것이 포함됩니다. 따라서 동일한 작업을 다시 수행합니다. 아래쪽 숫자에 왼쪽 숫자를 곱하고 그 결과를 다음 열에 넣은 다음 마지막으로 수직으로 정렬된 숫자를 더합니다.

그리고 같은 과정을 끝까지 연속해서 반복합니다. 먼저 아래 숫자를 왼쪽 숫자로 곱한 다음 그 결과를 다음 열에 배치하고 마지막으로 같은 열에 숫자를 더합니다.

따라서 모든 열을 채웠다면 이는 다항식 나누기가 완료되었음을 의미합니다.

따라서 다항식을 나눈 결과를 찾으면 됩니다.

두 다항식 사이의 나눗셈의 나머지는 아래 줄의 마지막 숫자이므로 우리의 경우 나머지는 19와 같습니다. 나머지는 일반적으로 왼쪽에 막대를 배치하고 해당 숫자 아래에 다른 막대를 배치하여 표시됩니다.
다항식 나눗셈의 몫은 얻은 다른 값, 즉 다항식 몫의 계수에 의해 결정됩니다. 오른쪽부터 첫 번째 숫자는 0등급 항의 계수에 해당하고, 다음 숫자는 1등급 항의 계수에 해당하고, 다음 숫자는 2등급 항, 다음 숫자는 3등급… 등 끝까지 계속됩니다. . 그래서:

Ruffini의 규칙에 대한 해결된 연습

아래에는 Ruffini의 법칙에 대한 몇 가지 해결된 단계별 연습이 있으므로 이 방법으로 다항식의 나눗셈을 푸는 방법을 연습하고 이해할 수 있습니다. 각 운동을 시도한 후 수정 사항을 보면서 올바르게 수행했는지 확인하는 것이 좋습니다.

연습 1

Ruffini의 법칙을 사용하여 다음과 같은 다항식 나눗셈을 수행합니다.

$\left( 2x^3 +4x^2 +6x -5 \right): \left( x+2 \right)$

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따라서 두 다항식 사이의 나눗셈 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$2x^2 +6$

나머지:

$-17$

연습 2

Ruffini의 법칙을 사용하여 다음과 같은 다항식 나눗셈을 계산합니다.

$\left(-2x^3+4x-3\right):\left(x-3\right)$

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이 특별한 경우 배당 다항식에는 2차 항이 없으므로 그 자리에 0을 넣어야 합니다.

따라서 2개의 다항식을 나눈 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$-2x^2 -6x-14$

나머지:

$-45$

연습 3

Ruffini의 법칙에 따라 다음 다항식 나눗셈의 결과를 구합니다.

$\left( 3x^4+2x^3-4x^2-5x+4 \right) : \left(x+1 \right)$

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Ruffini의 규칙 또는 방법을 사용하여 다항식의 나눗셈을 계산하는 방법

결론적으로 두 다항식을 나눈 결과는 다음과 같습니다.

몫:

$3x^3-x^2-3x-2$

나머지:

$6$

연습 4

다음 다항식 나눗셈의 나머지가 5가 되도록 미지의 m 값을 구합니다.

$\left( x^3+4x^2-3x+m \right): \left(x-1\right)$

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제수는 (xr) 또는 (x+r) 형식이므로 루피니의 법칙을 적용하여 나눗셈을 풀 수 있습니다. 따라서 우리는 알려지지 않은 m을 드래그하여 Ruffini의 방법을 적용합니다.

이제 나머지는 5가 되어야 하므로 얻은 나머지를 5로 동일화합니다.

$m+2=5$

그리고 방정식을 풀어 매개변수 m 의 값을 찾습니다.

$m=5-2$

$\bm{m=3}$

따라서 변수 m이 3과 같을 때 다항식 사이의 나눗셈의 나머지는 5와 같습니다.

연습 5

다음 다항식 나눗셈의 나머지가 3이 되도록 매개변수 m 의 값을 결정합니다.

$\left( x^3-x^2+mx+7 \right): \left(x+1\right)$

솔루션 보기

제수는 (xr) 또는 (x+r) 형식이므로 루피니의 법칙을 적용하여 나눗셈을 풀 수 있습니다. 따라서 우리는 알려지지 않은 m을 드래그하여 Ruffini의 방법을 사용합니다.

마지막 곱셈에서 분배 법칙을 염두에 두십시오.

$-1\cdot(2+m)=-2-m$

한편, 나눗셈의 나머지 계산은 다음과 같습니다.

$7 + (-2-m)$

$7 -2 - m$

$5 -m$

이제 나눗셈의 나머지가 3과 같아야 하므로 결과 나머지 표현식을 3으로 동일화합니다.

$5 - m = 3$

그리고 결과 방정식을 풀어 매개변수 m 의 값을 결정합니다.

$-m=3-5$

$-m=-2$

$m= \cfrac{-2}{-1}$

$\bm{m=2}$

따라서 다항식 나눗셈의 나머지 부분이 3이 되려면 m 이 2와 같아야 합니다.

Ruffini의 규칙을 더 많이 적용

설명했듯이 Ruffini의 법칙은 주로 다항식 간의 나눗셈을 수행하는 데 사용됩니다. 그러나 Ruffini의 규칙은 다른 계산을 수행하는 데에도 사용되며 아래에서 각각을 살펴보겠습니다.

다항식의 근

다항식의 근은 Ruffini의 법칙을 사용하여 쉽게 결정할 수 있습니다. 다항식의 근이 무엇인지 모르는 경우 해당 정의를 검토해 보겠습니다.

다항식의 근(또는 0)은 다항식을 취소하는 값입니다. 즉, 다항식의 근은 다항식에서 평가할 때 0과 같은 숫자 값을 갖는 모든 값입니다.

$P(a) = 0 \quad \color{red}\bm{\longrightarrow} \color{black}\quad a \text{ es una ra\'iz de } P(x)$

반면에, 우리는 나머지 정리 덕분에 주어진 값에 대한 다항식의 수치가 다음과 같다는 것을 알고 있습니다.

$a$

는 0이며, 필연적으로 사이의 다항식의 나눗셈의 나머지입니다.

$(x-a)$

또한 0이어야 합니다.

$P(a) = 0 \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \text{resto de } P(x):(x-a) \text{ es } 0$

따라서 Ruffini의 법칙을 사용하여 다항식을 나누면

$P(x)$

다음 형식의 다른 다항식 사이

$(x-a)$

우리는 0과 같은 나머지를 얻습니다. 이는 다음을 의미합니다.

$a$

다항식의 근이다

$P(x).$

예를 들어 보면 다음과 같은 내용을 더 잘 이해할 수 있을 것입니다.

다음 사항을 확인하세요.
$x=2$

다항식의 근이다

$P(x)=x^3-x^2-4x+4.$

주어진 값이 다항식의 근인지 확인하려면 해당 다항식과 해당 값을 사용하여 Ruffini 방법을 적용하면 됩니다.

Ruffini의 법칙으로 얻은 나머지는 0이므로 이는 사실상 다음을 의미합니다.

$x=2$

다항식의 근이다

$P(x).$

다항식 인수분해

루피니의 법칙(Ruffini’s rule)은 3차, 4차, 5차 등의 다항식의 모든 근을 빠르게 알 수 있기 때문에 일반적으로 계승 다항식에 적용되는 방법입니다.

이제 예를 사용하여 Ruffini의 알고리즘으로 다항식을 인수분해하는 방법을 살펴보겠습니다.

다음 3차 다항식을 인수분해합니다.

$P(x)=x^3-2x^2-5x+6$

가장 먼저 할 일은 다항식의 모든 근을 찾는 것입니다. 그리고 다항식의 가능한 근은 독립 항의 약수이며, 이 경우에는 6입니다. 따라서:

다항식의 가능한 근: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6

이제 우리는 Ruffini의 규칙을 사용하여 이러한 각 값 사이의 다항식을 나누어야 합니다. 나눗셈의 나머지가 0이면 값이 다항식의 근임을 의미합니다. 그러나 나눗셈의 나머지가 0이 아닌 경우 값은 다항식의 근이 아닙니다. 따라서 모든 숫자를 사용하여 Ruffini의 규칙을 테스트하면 다음 세 가지 경우의 나머지만 취소됩니다.

따라서 문제의 다항식의 근은 나머지가 사라지는 값, 즉 다음과 같습니다.

$x=1 \qquad x=-2 \qquad x=3$

마지막으로 다항식을 인수분해하려면 각 근을 표현해야 합니다.

$x=a$

유형의 요인 형태로

$(x-a)$

즉, 각 루트에 대해 괄호를 넣어야 합니다.

$x$

발견된 루트의 기호가 변경되었습니다.

$\bm{P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)}$

보시다시피, 우리는 Ruffini의 법칙을 사용하여 다항식을 성공적으로 인수분해했습니다. 그러나 다항식을 인수분해하는 것은 매우 복잡한 주제이기 때문에 의구심을 가지셨을 수도 있습니다. 이 경우 웹사이트(오른쪽 상단 검색 엔진)에서 다항식을 인수분해하는 방법에 대한 기사를 검색할 수 있습니다. 여기서는 이에 대해 더 자세히 설명하고 단계별로 연습 문제를 해결하여 연습할 수 있습니다. 또한 다항식을 인수분해하는 다른 방법도 보여줍니다.