교차선 - 수학

이 페이지에서는 할선의 의미, 존재하는 다양한 유형, 두 선이 할선인지 확인하는 방법, 공통점을 찾는 방법 등 모든 것을 찾을 수 있습니다. 또한 여러 예제와 해결된 연습문제도 볼 수 있습니다. 할선의.

두 개의 교차선은 무엇입니까?

수학에서 할선의 정의는 다음과 같습니다.

두 선은 한 점에서만 교차할 때 교차합니다. 따라서 교차하는 선에는 공통점이 하나만 있습니다. 또한 두 개의 교차선은 반드시 동일한 데카르트 평면에 포함되어야 합니다.

한 점에서 교차하는 두 선이 중요하다는 개념은 교차점이 두 개 이상 있으면 일치하는 선이고, 교차점이 없으면 평행선이 되기 때문입니다.

교차선의 예

교차하는 두 선의 의미를 살펴보았으면 이제 이러한 유형의 선에 대한 두 가지 다른 예를 살펴보겠습니다.

보시다시피 선 r 과 s는 한 점에서 만나기 때문에 교차합니다. 그리고 같은 방식으로 선 t는 교차하는 지점이 있기 때문에 선 u와 교차합니다.

교차선의 종류

교차선에는 두 가지 유형이 있습니다.

수직선 : 90° 직각으로 교차하는 선입니다.
경사선: 0°~90° 사이의 예각으로 교차하는 선으로 구성됩니다(포함되지 않음).

수직 직선

수직선은 교차하여 90도 각도를 이루는 네 개의 선입니다.

마찬가지로 두 수직선의 기울기는 항상 다음 조건을 만족합니다.

$m_r = -\cfrac{1}{m_s}$

수직 교차선의 또 다른 특성은 방향 벡터(선의 방향을 나타내는 벡터) 사이의 내적이 0이라는 것입니다.

$\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{\text{v}}_s = 0$

수직선에 더 관심이 있다면 이 링크에서 수직선의 예를 볼 수 있습니다. 또한 다른 선에 수직인 선을 계산하는 방법, 이러한 유형의 선의 속성, 단계별로 해결되는 연습 문제 등도 확인할 수 있습니다.

사선

사선은 교차하여 예각과 둔각을 쌍으로 이루는 선입니다. 즉, 두 개의 예각(90° 미만)과 두 개의 둔각(90°보다 큼)을 만듭니다. 그러나 두 선의 각도 정의에 따르면 두 선 사이의 각도는 그 각도 중 가장 작습니다.

두 사선과 기울기 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \text{tg}(\alpha) =\begin{vmatrix} \cfrac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2} \end{vmatrix}$

두 선이 교차하는지 어떻게 알 수 있나요?

두 선의 상대적 위치를 찾는 방법에는 주로 3가지가 있습니다.

두 선의 방향 벡터를 사용합니다.
두 선의 기울기가 있습니다.
두 선의 암시적(또는 일반) 방정식을 사용합니다.

그러면 두 선이 교차하는 시점을 알기 위해 존재하는 3가지 방법에 대한 설명을 살펴보겠습니다.

선의 방향 벡터로부터

서로 다른 두 선의 방향 벡터 (선의 방향을 나타내는 벡터)의 좌표가 비례하지 않으면 두 선이 교차합니다.

두 개의 교차 선을 단계별로 해결하는 연습을 살펴보겠습니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+2t \\[2ex] y= 5-3t \end{cases}\qquad \qquad s: \ \begin{cases} x=1+t \\[2ex] y=2+4t \end{cases}$

두 선 모두 파라메트릭 방정식으로 표현되므로 각 선의 방향 벡터의 성분은 매개변수 앞의 숫자가 됩니다.

$t:$

$\vv{r} =(2,-3) \qquad \qquad \vv{s}=(1,4)$

따라서 방향 벡터가 비례하는지 확인하려면 좌표를 서로 나누어야 합니다. 두 부분에서 동일한 결과를 얻으면 비례합니다. 반면에 결과가 다르다면 이는 벡터가 비례하지 않는다는 의미입니다.

$\cfrac{2}{1} \neq \cfrac{-3}{4}$

구성 요소의 분할은 동일하지 않으므로 벡터는 비례하지 않으며 따라서 선이 교차합니다.

슬로프가 시작될 때

두 선의 기울기가 서로 다른 경우 이는 선이 교차함을 의미합니다.

예를 들어, 다음 두 선은 기울기가 다르기 때문에 교차합니다.

$r: \ y=-2x+4 \qquad \qquad s: \ y=3x+1$

선의 기울기

$r$

-2이고 선의 기울기입니다.

$s$

3입니다.

$m_r =-2 \neq m_s =3$

두 선의 기울기가 동일하지 않으므로 교차합니다.

직선의 암시적 방정식으로부터

또한 두 직선의 교차 여부는 직선의 암묵적 방정식(또는 일반 방정식)을 통해 알 수 있습니다. 직선의 암시적 방정식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+C=0$

따라서 계수 A와 B가 비례하지 않을 때 두 선이 교차합니다.

암시적 방정식으로 정의된 두 개의 교차 선의 예를 살펴보겠습니다.

$r: \ 3x-y+5=0 \qquad \qquad s: \ -2x+6y-1=0$

두 개의 교차선이 있는지 확인하려면 계수 A(변수 앞의 숫자)의 비례성을 분석해야 합니다.

$x$

) 계수 B(변수 앞의 숫자)

$y$

$\cfrac{3}{-2} \neq \cfrac{-1}{6}$

두 항은 비례하지 않으므로 두 선이 효과적으로 교차합니다.

교차하는 두 선의 공통점 찾기

우리가 본 것처럼, 교차하는 선들은 단 하나의 공통점을 가지고 있습니다. 따라서 두 시컨트 선의 교점을 계산하려면 두 선으로 구성된 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

예를 들어, 다음 두 선의 교차점을 찾습니다.

$r: \ x+2y-5=0 \qquad \qquad s: \ 2x-3y+3=0$

두 선의 교차점을 결정하려면 두 선으로 구성된 선형 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

$\left.\begin{array}{l} x+2y-5=0\\[2ex] 2x-3y+3=0\end{array}\right\}$

이 경우 대체 방법을 사용하여 시스템을 해결합니다. 따라서 우리는 변수를 분리할 것입니다.

$x$

첫 번째 방정식을 두 번째 방정식으로 대체합니다.

$\left.\begin{array}{l} x+2y-5=0\\[2ex] 2x-3y+3=0\end{array}\right\} \begin{array}{l}\longrightarrow \ x=5-2y \\[2ex]&\end{array}$

$2(5-2y)-3y+3=0$

$10-4y-3y=3$

$-4y-3y=3-10$

$-7y=-7$

$y=\cfrac{-7}{-7} = 1$

그리고 우리가 알려지지 않은 것의 가치가 얼마나 되는지 알게 되면

$y$

우리는 그 값을 찾은 표현식으로 대체합니다.

$x:$

$x=5-2y \ \xrightarrow{y \ = \ 1} \ x=5-2\cdot 1$

$x = 5-2 = 3$

따라서 연립방정식의 해는 두 직선의 교차점입니다. 그리고 이 점은

$\bm{(3,1)}.$

원과 교차하는 선

일반적으로 두 선이 교차한다고 말할 때는 방금 본 개념을 말하는 것입니다. 그러나 기하학에서 할선의 또 다른 의미는 다음과 같습니다.

원과 교차하는 선은 서로 다른 두 지점에서 원(또는 곡선)과 교차하는 선입니다.

초등학교에서 일반적으로 가르치는 두 개의 교차하는 선의 개념과 달리, 원과 교차하는 선의 정의는 원과 선의 모든 상대적 위치와 함께 나중에 수업에서 종종 연구됩니다.