공간의 평면 방정식

이 페이지에서는 계획의 모든 방정식에 대한 공식과 계산 방법을 확인할 수 있습니다. 또한 법선 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 찾는 방법도 알아봅니다. 또한, 계획의 방정식을 풀어 연습문제와 예시를 볼 수 있습니다.

평면의 방정식은 무엇입니까?

해석기하학에서 평면의 방정식은 어떤 평면이라도 수학적으로 표현할 수 있게 해주는 방정식이다. 따라서 평면의 방정식을 찾으려면 점 하나와 해당 평면에 속하는 두 개의 선형 독립 벡터만 있으면 됩니다.

평면 방정식에 대한 설명을 계속하기 전에 평면(기하학) 이 무엇인지 이해하는 것이 중요합니다. 그렇지 않으면 이해하지 못할 것들이 있을 것이기 때문입니다. 완전히 명확하지 않은 경우 계획에 대해 알아야 할 모든 내용이 집중되어 있는 이 링크에서 확인할 수 있습니다.

계획의 방정식은 무엇입니까?

평면 방정식의 정의에서 보았듯이 평평한 평면 위의 모든 점은 1개의 점과 2개의 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.

그러나 방정식이 평면에 대응하기 위한 필수 조건은 평면의 두 벡터가 선형 독립을 갖는 것입니다. 즉, 두 벡터가 서로 평행할 수 없습니다.

따라서 평면의 모든 유형의 방정식 은 벡터 방정식 , 매개변수 방정식 , 암시적(또는 일반) 방정식 및 평면 의 표준(또는 분할) 방정식 입니다.

그런 다음 계획의 모든 방정식에 대한 설명과 공식을 자세히 살펴보겠습니다.

평면의 벡터 방정식

평면의 점과 두 방향 벡터를 고려하십시오.

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

평면의 벡터 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}} \end{empheq}$

또는 이에 상응하는 것:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

금

$\lambda$

그리고

$\mu$

는 두 개의 스칼라, 즉 두 개의 실수를 의미합니다.

평면의 매개변수 방정식

평면의 매개변수 방정식은 벡터 방정식에서 결정될 수 있습니다. 아래에서 데모를 볼 수 있습니다.

모든 평면의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

우리는 스칼라에 의한 벡터의 곱을 연산하고 먼저 수행합니다.

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)$

다음으로 구성 요소를 추가합니다.

$(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)$

그리고 마지막으로 각 변수에 해당하는 좌표를 개별적으로 동화하여 계획의 매개변수 방정식을 얻습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases} \end{empheq}$

금:

$\lambda$

그리고

$\mu$

는 두 개의 스칼라, 즉 두 개의 실수를 의미합니다.
$\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z$

계획의 두 가지 안내 벡터 중 하나의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z).$
$\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z$

계획의 다른 방향 벡터의 구성 요소입니다.

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z).$

평면의 암시적 또는 일반 방정식

평면의 점과 두 방향 벡터를 고려하십시오.

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식은 다음 행렬식을 풀고 결과를 0으로 설정하여 얻습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

따라서 결과 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

이러한 유형의 평면 방정식을 데카르트 평면 방정식이라고도 합니다.

평면의 정식 또는 분할 방정식

평면의 표준 또는 세그먼트 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1 \end{empheq}$

금:

$a$

평면과 X축 사이의 교차점입니다.
$b$

평면과 Y축 사이의 교차점입니다.
$c$

이곳은 평면이 Z축과 교차하는 곳입니다.

평면의 표준 방정식(또는 분할 방정식)은 일반 방정식에서도 얻을 수 있습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

먼저 방정식에서 계수 D를 푼다.

$Ax+By+Cz=-D$

그런 다음 계획의 전체 방정식을 매개변수 D 변경 부호의 값으로 나눕니다.

$\cfrac{Ax+By+Cz}{-D}=\cfrac{-D}{-D}$

$\cfrac{Ax}{-D}+\cfrac{By}{-D}+\cfrac{Cz}{-D}=1$

그리고 분수의 성질을 이용하여 다음과 같은 식을 얻습니다.

$\cfrac{x}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{D}{A}}+\cfrac{z}{-\frac{D}{A}}=1$

따라서 우리는 이 표현에서 평면의 정식 또는 분할 방정식의 항을 직접 계산할 수 있는 공식을 추론합니다.

$a=-\cfrac{D}{A} \qquad b=-\cfrac{D}{B} \qquad c=-\cfrac{D}{C}$

결과적으로 계획 방정식의 변형을 형성할 수 있으려면 계수 A, B 및 C가 0과 달라야 하므로 분수의 불확정을 방지할 수 있습니다.

법선 벡터에서 평면의 방정식을 계산하는 방법

평면 방정식의 매우 일반적인 문제는 점과 해당 법선(또는 수직) 벡터가 주어지면 주어진 평면의 방정식이 어떻게 보이는지 찾는 것입니다. 그럼 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

그러나 먼저 평면에 수직인 벡터의 구성 요소 X, Y, Z 가 해당 평면의 암시적(또는 일반) 방정식의 계수 A, B, C와 각각 일치한다는 것을 알아야 합니다.

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

금

$\vv{n}$

는 평면에 직교하는 벡터이다

$\pi.$

이전 관계를 알고 나면 이러한 유형의 평면 방정식 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

점을 통과하는 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 결정합니다.
$P(1,0,-2)$

법선 벡터 중 하나는 다음과 같습니다.

$\vv{n}=(3,-1,2) .$

평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

따라서 법선 벡터에서 법선 벡터의 구성 요소와 동일하기 때문에 계수 A, B 및 C를 찾을 수 있습니다.

$\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0$

매개변수 D만 찾으면 됩니다. 이를 위해 평면에 속하는 점의 좌표를 방정식으로 대체합니다.

$P(1,0,-2)$

$3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0$

$3-4+D=0$

$-1+D=0$

$D=1$

따라서 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{3x-y+2z+1 = 0}$

해결 평면 방정식 문제

연습 1

벡터를 포함하는 평면의 벡터 방정식을 결정합니다.

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

다음 두 가지 사항을 살펴봅니다.

$A(1,3,-1)$

그리고

$B(2,-1,5).$

해결책 보기

평면의 방정식을 알려면 점 하나와 벡터 두 개가 필요합니다. 이 경우 벡터는 하나뿐이므로 평면의 또 다른 방향 벡터를 찾아야 합니다. 이를 위해 평면의 두 점을 정의하는 벡터를 계산할 수 있습니다.

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

이제 우리는 평면과 점의 두 방향 벡터를 이미 알고 있으므로 평면의 벡터 방정식에 대한 공식을 사용합니다.

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

그리고 두 벡터와 평면의 두 점 중 하나를 방정식으로 대체합니다.

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

연습 2

다음 세 점을 포함하는 평면의 매개변수 방정식을 구합니다.

$A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)$

해결책 보기

평면의 매개변수 방정식을 찾으려면 평면에서 연결되는 두 개의 선형 독립 벡터를 찾아야 합니다. 그리고 이를 위해 3개의 점으로 정의되는 두 개의 벡터를 계산할 수 있습니다.

$\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)$

$\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)$

발견된 두 벡터의 좌표는 비례하지 않으므로 서로 선형 독립입니다.

이제 우리는 이미 두 개의 방향 벡터와 평면의 한 점을 알고 있으므로 평면의 매개변수 방정식에 대한 공식을 적용합니다.

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

그리고 두 벡터와 평면의 세 점 중 하나를 방정식에 대체합니다.

$\displaystyle \begin{cases}x=4 + \lambda \cdot (-2)+ \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] y=1 + \lambda \cdot (-4) + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] z=0 + \lambda\cdot (-1) + \mu \cdot 3 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=4 -2 \lambda-3\mu } \\[1.7ex] \bm{y=1-4 \lambda+4 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-\lambda + 3\mu } \end{cases}$

연습 3

점을 통과하는 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 구합니다.

$P(-2,1,3)$

그리고 벡터를 포함합니다

$\vv{\text{u}}=(4,1,3)$

그리고

$\vv{\text{v}}=(5,3,-1).$

해결책 보기

평면의 일반 방정식 또는 암시적 방정식을 계산하려면 두 벡터, 세 변수 및 점의 좌표로 구성된 다음 행렬식을 풀어야 합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

따라서 벡터와 점을 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0$

이제 선택한 방법을 사용하여 3×3 행렬의 행렬식을 풉니다.

$12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0$

마지막으로 작업을 수행하고 유사한 용어를 그룹화합니다.

$-8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0$

$-8x-16+11y-11+7z+7=0$

$-8x+11y+7z-20= 0$

따라서 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}$

연습 4

점이 있는지 판단

$P(-1,5,-3)$

다음 계획에 속합니다.

$\pi : \ 2x+y+6z-5=0$

해결책 보기

점이 평면에 있으려면 해당 방정식을 검증해야 합니다. 따라서 점의 데카르트 좌표를 평면 방정식으로 대체하고 방정식이 충족되는지 확인해야 합니다.

$2x+y+6z-5=0$

$P(-1,5,-3)$

$2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0$

$-2+5-18-5=0$

$-20\neq 0$

점은 평면의 방정식을 따르지 않으므로 이 평면의 일부가 아닙니다.

연습 5

일반(또는 암시적) 방정식이 다음과 같은 평면의 분할 방정식을 찾습니다.

$3x-2y-6z+6=0$

해결책 보기

먼저 방정식에서 독립항을 삭제합니다.

$3x-2y-6z=-6$

그런 다음 계획의 전체 방정식을 계수 D의 값으로 나눕니다. 부호 변경:

$\cfrac{3x-2y-6z}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

$\cfrac{3x}{-6}+\cfrac{-2y}{-6}+\cfrac{-6z}{-6}=1$

그리고 분수의 성질을 이용하여 다음과 같은 식을 얻습니다.

$\cfrac{x}{\frac{-6}{3}}+\cfrac{y}{\frac{-6}{-2}}+\cfrac{z}{\frac{-6}{-6}}=1$

따라서 평면의 분할(또는 표준) 방정식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}+\cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}+\cfrac{\bm{z}}{\bm{1}}=1$

연습 6

점을 통과하는 공간 평면의 암시적 또는 일반 방정식을 계산합니다.

$P(3,4,-3)$

법선 벡터 중 하나는 다음과 같습니다.

$\vv{n}=(5,-2,-3) .$

해결책 보기

평면의 암시적, 일반 또는 데카르트 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$Ax+By+Cz+D=0$

음, 법선 벡터에서 우리는 계수 A, B 및 C를 찾을 수 있습니다. 왜냐하면 그것들은 각각 법선 벡터의 구성 요소와 동일하기 때문입니다.

$\vv{n}=(5,-2,-3) \ \longrightarrow \ 5x-2y-3z+D=0$

따라서 매개변수 D만 찾으면 됩니다. 이를 위해 평면에 속하는 점의 좌표를 방정식에 대체합니다.

$P(3,4,-3)$

$5\cdot 3-2\cdot 4-3\cdot (-3)+D=0$

$15-8+9+D=0$

$16+D=0$

$D=-16$

결론적으로, 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{5x-2y-3z-16 = 0}$

연습 7

선을 포함하는 평면의 매개변수 방정식을 찾습니다.

$r$

그리고 오른쪽과 평행하다

$s.$

라인 :

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}$

해결책 보기

평면의 매개변수 방정식을 찾으려면 두 개의 방향 벡터와 평면 위의 한 점을 알아야 합니다. 선언에는 다음 줄이 포함되어 있음이 나와 있습니다.

$r$

따라서 방향 벡터와 이 선의 점을 사용하여 평면을 정의할 수 있습니다. 게다가 이 진술은 평면이 선과 평행하다는 것을 알려줍니다.

$s,$

따라서 평면 방정식에 이 선의 방향 벡터를 사용할 수도 있습니다.

권리

$r$

매개변수 방정식의 형태로 표현되므로 방향 벡터의 구성요소는 매개변수 항의 계수입니다.

$t:$

$\vv{r} =(1,-3,2)$

그리고 같은 선에 있는 점의 데카르트 좌표는 매개변수 방정식의 독립 항입니다.

$P(1,2,4)$

반면 직선은

$s$

방향 벡터의 구성 요소가 분수의 분모가 되는 연속 방정식의 형태입니다.

$\vv{s} =(2,2,-3)$

따라서 계획의 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 1+ \mu \cdot 2 \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot (-3) + \mu \cdot 2 \\[1.7ex] z=4 + \lambda\cdot 2 + \mu \cdot (-3) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + \lambda+2\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2-3 \lambda+2 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=4+2\lambda -3\mu } \end{cases}$

평면의 방정식은 무엇입니까?

계획의 방정식은 무엇입니까?

평면의 벡터 방정식

평면의 매개변수 방정식

평면의 암시적 또는 일반 방정식

평면의 정식 또는 분할 방정식

법선 벡터에서 평면의 방정식을 계산하는 방법

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