공간에서 점에서 평면까지의 거리(공식)

이 페이지에서는 공간에서 점과 평면 사이의 거리를 계산하는 방법(공식)을 확인할 수 있습니다. 또한 단계별로 예제를 보고 연습문제를 풀어볼 수 있습니다.

점에서 평면까지의 거리는 얼마입니까?

분석 기하학에서 점에서 평면까지의 거리는 점과 평면의 다른 점 사이의 최단 거리입니다. 이 거리는 점에서 평면으로 가는 평면에 수직인 세그먼트의 길이에 해당합니다.

점에서 평면까지의 거리를 구하는 공식

점과 평면 사이의 거리 개념을 정확히 살펴보았으면 이제 해당 거리를 계산하는 공식을 살펴보겠습니다.

주어진 점과 평면의 일반(또는 암시적) 방정식은 다음과 같습니다.

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

한 점에서 평면까지의 거리에 대한 공식을 증명하는 것은 꽤 지루하고 길기 때문에 이 페이지에서는 다루지 않겠습니다.

반면에, 공식을 적용할 때 결과가 0과 같다면 이는 분명히 점과 평면 사이의 거리가 0이고 따라서 점이 해당 평면의 일부임을 의미합니다.

마지막으로 공식을 적용하려면 계획이 일반(또는 암시적) 방정식으로 정의되어야 합니다. 따라서 다른 형태의 평면방정식으로 표현한다면 먼저 일반방정식으로 변환한 후 공식을 사용해야 합니다.

점에서 평면까지의 거리를 계산하는 예

점과 평면 사이의 거리가 수치적으로 어떻게 결정되는지 확인할 수 있도록 아래 예를 풀어보겠습니다.

점 P와 평면 π 사이의 거리를 계산합니다. 요점과 계획을 말한 후:

$P(1,3,-2) \qquad \qquad \pi: \ 2x+5y-4z+7=0$

점에서 평면까지의 거리를 찾으려면 위 섹션에 표시된 공식을 적용하면 됩니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

이제 우리는 각 미지수의 값을 공식에 대체합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 2\cdot 1+5\cdot 3-4\cdot (-2)+7\rvert}{\sqrt{2^2+5^2+(-4)^2}}$

그리고 마지막으로 다음 작업을 수행합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 2+15+8+7\rvert}{\sqrt{4+25+16}}$

$\bm{d(P,\pi) = }\cfrac{\bm{32}}{\bm{\sqrt{45}}}$

분수의 분자에는 절대값이 있고 분모에는 제곱근이 있으므로 결과는 항상 양수여야 합니다. 거리는 음수가 될 수 없고 항상 양수이기 때문에 이는 의미가 있습니다.

두 평행 평면 사이의 거리를 계산합니다.

두 평행 평면은 항상 같은 거리에 있으므로 두 평행 평면 사이의 거리를 찾으려면 두 평면 중 하나의 점을 선택하고 해당 점에서 다른 평면까지의 거리를 계산하면 됩니다.

평행한 두 평면 사이의 거리를 구하는 방법입니다. 그러나 두 평면 방정식의 계수 A, B, C가 일치할 때 이를 수행하는 훨씬 더 간단한 방법이 있습니다.

두 평행 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하십시오.

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

평행한 두 평면 사이의 거리를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\color{orange} \boxed{\color{black} \quad d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \quad \vphantom{\Biggl(}}$

따라서 공식을 적용하기만 하면 되기 때문에 공식을 사용하여 두 평행 평면 사이의 거리를 찾는 것이 더 쉽습니다. 그러나 문제에 따라 다릅니다. 또한 거리를 계산하는 두 가지 방법을 모두 설명하여 원하는 방법을 선택하는 것이 가장 좋다고 생각합니다.

두 평행 평면 사이의 거리를 계산하는 예

예를 들어, 다음 두 평면 사이의 거리를 계산합니다.

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

먼저 두 개의 평행 평면을 다루고 있는지 확인해야 합니다. 따라서 평면 방정식의 모든 계수는 독립 항을 제외하고 비례하므로 사실상 두 평행 평면입니다.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

이 경우 두 평면 방정식의 항 A, B 및 C는 일치하지 않지만 두 번째 평면의 전체 방정식을 2로 나누어 이를 달성할 수 있습니다.

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

따라서 두 평면의 방정식은 이미 동일한 계수 A, B 및 C를 갖습니다. 따라서 두 평행 평면 사이의 거리에 대한 공식을 사용하여 두 평면 사이의 거리를 쉽게 계산할 수 있습니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

값을 대체하고 작업을 해결합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

따라서 한 평면과 다른 평면 사이의 거리는 1과 같습니다.

점에서 평면까지의 거리 문제 해결

연습 1

점 P와 데카르트(또는 일반) 방정식이 다음과 같은 평면 사이의 거리를 계산합니다.

$P(2,0,-1) \qquad \qquad \pi: \ x-3y+2z-4=0$

해결책 보기

점에서 평면까지의 거리를 계산하려면 해당 공식을 사용해야 합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

각 매개변수의 값을 공식으로 대체합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1\cdot 2+(-3)\cdot 0+2\cdot (-1)-4\rvert}{\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2}}$

그리고 마지막으로 다음 작업을 수행합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 2+0-2-4\rvert}{\sqrt{1+9+4}}$

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -4\rvert}{\sqrt{14}}$

$\bm{d(P,\pi) = }\cfrac{\bm{4}}{\bm{\sqrt{14}}}$

연습 2

점 P와 평면 π 사이의 거리를 구합니다.

$P(-1,4,3) \qquad \qquad \pi: \ y=5x-2z$

해결책 보기

점에서 평면까지의 거리 공식을 사용하기 전에 먼저 암시적(또는 일반) 방정식의 형태로 평면을 표현해야 합니다.

$\pi: \ -5x+y+2z=0$

이제 공식을 사용하여 점에서 평면까지의 거리를 결정할 수 있습니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

각 용어의 값을 공식으로 대체합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -5\cdot (-1)+1\cdot 4+2\cdot 3+0\rvert}{\sqrt{(-5)^2+1^2+2^2}}$

그리고 마지막으로 다음 작업을 수행합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 5+4+6\rvert}{\sqrt{25+1+4}}$

$\bm{d(P,\pi) = }\cfrac{\bm{15}}{\bm{\sqrt{30}}}$

연습 3

점 P가 평면 π에 있는지 여부를 확인하려면 점과 평면 사이의 거리 공식을 사용하십시오.

$P(0,-3,5) \qquad \qquad \pi: \ 4x+6y+2z+8=0$

해결책 보기

점이 평면에 속하는지 확인하기 위해 둘 사이의 거리를 계산할 수 있습니다. 거리가 0이면 점이 평면에 속한다는 것을 의미하고, 반면 거리가 0과 다르면 이는 다음을 의미합니다. 지점이 평면 밖에 있습니다. 계획.

따라서 우리는 공식을 통해 점과 평면 사이의 거리를 결정합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 4\cdot 0+6\cdot (-3)+2\cdot 5+8\rvert}{\sqrt{4^2+6^2+2^2}}$

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -18+10+8\rvert}{\sqrt{16+36+4}}$

$d(P,\pi) = \cfrac{0}{\sqrt{56}}$

$\bm{d(P,\pi) = 0}$

점과 평면 사이의 거리는 0과 동일하므로 사실상 점이 평면에 속합니다.

연습 4

다음 두 평면 사이의 거리를 구합니다.

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

해결책 보기

먼저 두 개의 평행 평면을 다루고 있는지 확인해야 합니다. 두 평면 방정식의 모든 계수는 독립 항을 제외하고 비례하므로 이는 실제로 두 평행 평면입니다.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

이 경우 계수 A, B 및 C가 동일하므로 공식을 사용하여 두 평면 사이의 거리를 계산합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

따라서 값을 공식에 대체하고 작업을 수행합니다.

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

연습 5

다음 두 평행 평면 사이의 거리를 구합니다.

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

해결책 보기

전경 평면은 파라메트릭 방정식의 형태로 정의되므로 평행한 두 평면 사이의 거리에 대한 공식을 적용하려면 먼저 이를 일반 방정식의 형태로 변환해야 하며 많은 계산과 시간이 소요됩니다. 따라서 해당 평면의 한 점을 선택하고 해당 점에서 다른 평면까지의 거리를 계산하면 더 빠릅니다.

따라서 평면 π ₁ 이 통과하는 점의 좌표는 각 매개변수 방정식의 독립 항에 해당합니다.

$P(3,-2,5)$