▷ 공간 분석 기하학에 관한 모든 것 ✅

이 페이지에서는 공간에서의 분석 기하학(및 공식)에 대한 모든 설명을 찾을 수 있습니다: 선과 평면의 방정식, 평면과 선 사이의 상대적 위치, 공간에서 거리와 각도를 계산하는 방법,…

공간에서의 기하학이란 무엇입니까?

공간 기하학은 3차원(3D) 기하학적 도형, 즉 공간에서 한 자리를 차지하는 도형을 연구하는 기하학의 한 분야입니다. 원뿔, 입방체, 피라미드, 구, 원통, 프리즘, 다면체 등이 있습니다.

그러나 이 페이지에서는 점, 선, 평면, 두 기하학적 도형 사이의 거리, 이들이 형성하는 각도, 서로 다른 기하학 간의 교차점 분석에 초점을 맞춘 공간 기하학의 일부인 공간에서의 분석 기하학 에 중점을 둘 것입니다. 수치. 요소 등

공간의 선 방정식

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 같은 방향으로 표시된 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 3차원 공간(R3)에서 임의의 선을 수학적으로 표현하려면 선의 방정식을 사용하고 이를 찾으려면 선에 속하는 점과 해당 선의 방향 벡터만 있으면 됩니다.

이 두 가지 기하학적 요소만으로 다음과 같은 선의 다양한 방정식을 완전히 찾을 수 있습니다.

선의 방정식은 벡터 방정식 , 매개변수 방정식 , 연속 방정식 및 암시적(또는 일반) 방정식 입니다.

아래에는 선의 방정식의 다양한 유형에 대한 설명이 있습니다.

공간 내 선의 벡터 방정식

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z) \qquad P(P_x,P_y,P_z)$

선의 벡터 방정식 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+t\cdot (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z) \end{empheq}$

공간 내 선의 매개변수 방정식

구성요소를 구성요소와 동일시하여 벡터 방정식에서 선의 매개변수 방정식에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_x+t\cdot\text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y+t\cdot\text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z+t\cdot\text{v}_z\end{cases} \end{empheq}$

공간 속 선의 연속방정식

직선의 연속 방정식 의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_x}{\text{v}_x}=\cfrac{y-P_y}{\text{v}_y}= \cfrac{z-P_z}{\text{v}_z} \end{empheq}$

이러한 유형의 선 방정식은 매개변수 방정식에서도 얻을 수 있으며, 연속 방정식 페이지에서 데모를 볼 수 있습니다. 또한 오른쪽에서 방정식의 해결 연습을 통해 예와 연습을 볼 수도 있습니다.

공간 내 선의 일반(또는 암시적) 방정식

마지막으로, 직선의 연속 방정식의 분수에 2를 곱하여 직선의 일반(또는 암시적) 방정식을 얻습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[1.7ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} \end{empheq}$

이러한 유형의 선 방정식을 데카르트 방정식이라고도 합니다.

우리는 방금 선의 가장 관련성이 높은 4개의 방정식(벡터, 파라메트릭, 연속 및 일반)을 보았습니다. 그러나 다소 특별한 방정식이 또 있으므로 이를 설명하는 데 전체 페이지가 필요합니다. 이것은 정식 방정식 입니다. 이 링크에서 전체 설명, 왜 그렇게 특별하고 다른 모든 것과 다른지 확인할 수 있습니다.

공간의 평면 방정식

해석기하학에서 평면방정식은 어떤 평면이라도 해석적으로 표현할 수 있게 해주는 방정식이다. 따라서 평면의 방정식을 찾으려면 점과 해당 평면에 속하는 두 개의 선형 독립 벡터만 있으면 됩니다.

따라서 평면의 모든 유형의 방정식 은 벡터 방정식 , 매개변수 방정식 , 암시적(또는 일반) 방정식 및 평면 의 표준(또는 분할) 방정식 입니다.

다음으로 우리는 계획의 모든 방정식에 대한 설명과 공식을 볼 것입니다.

평면의 벡터 방정식

평면의 한 점과 두 개의 방향 벡터가 주어지면:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

평면의 벡터 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}} \end{empheq}$

또는 이에 상응하는 것:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

금

$\lambda$

그리고

$\mu$

이는 두 개의 스칼라, 즉 두 개의 실수입니다.

평면의 매개변수 방정식

한편, 평면의 매개변수 방정식 에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases} \end{empheq}$

평면의 암시적 또는 일반 방정식

일반 방정식이라고도 불리는 계획의 암시적 방정식은 다음 행렬식을 풀고 그 결과를 0으로 설정하여 얻습니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

따라서 결과 계획의 암시적 또는 일반 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이러한 유형의 평면 방정식을 데카르트 평면 방정식이라고도 합니다.

평면의 정식 또는 분할 방정식

평면의 표준 또는 세그먼트 방정식의 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1 \end{empheq}$

금:

$a$

이는 평면과 X축 사이의 교차점입니다.
$b$

이는 평면과 Y축 사이의 교차점입니다.
$c$

이곳은 평면이 Z축과 교차하는 곳입니다.

평면에 수직인 벡터

평면에 수직인 벡터는 이 평면에 포함된 모든 선에 수직인 벡터입니다. 따라서 평면에 수직인 벡터는 평면에 수직이라는 의미입니다.

공간 분석 기하학의 많은 미터법 문제는 평면과 법선 벡터와 관련됩니다. 이러한 연습 문제를 해결하려면 평면과 법선 벡터 사이의 수학적 관계를 알아야 합니다.

평면에 수직인 벡터의 구성요소 X, Y, Z는 각각 상기 평면의 암시적(또는 일반) 방정식의 계수 A, B, C와 일치합니다.

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

금

$\vv{n}$

는 평면에 직교하는 벡터이다

$\pi.$

공간에서 두 기하학적 요소의 상대적 위치

분명히 선이나 평면은 반드시 공간에 혼자 있을 필요는 없지만, 반대로 그들은 일반적으로 교차하고, 평행하고, 수직하는 등 서로 상호 작용합니다. 자, 이 섹션에서는 선과 평면의 다양한 상대적 위치와 이들이 결정되는 방법을 살펴보겠습니다.

공간에서 두 선의 상대적 위치

분석 기하학에서는 3차원 공간(R3)에서 작업할 때 두 선 사이에 4가지 상대 위치가 있을 수 있습니다. 두 선은 일치하는 선 , 평행선 , 할선 또는 할선 일 수 있습니다.

평행선

방향은 동일하지만 공통점이 없으면 두 선은 평행합니다. 또한 평행선은 항상 서로 같은 거리에 있습니다.

일치하는 선

방향이 같고 모든 점이 공통이면 두 선이 일치합니다.

교차선

교차하는 두 선은 방향이 다르지만 한 지점에서 만납니다.

교차선

교차하는 두 선은 방향이 다르며 어떤 지점에서도 교차하지 않습니다. 따라서 두 개의 교차된 선은 동일한 평면에 있지 않습니다. 예를 들어, 선 위의 그래픽 표현에서

$s$

항상 직선 앞에 있어

$r$

, 그래서 그들은 결코 서로 접촉하지 않을 것입니다.

범위별로 두 줄의 상대 위치를 찾는 방법

두 행의 상대적 위치를 찾는 한 가지 방법은 아래에서 볼 수 있듯이 두 특정 행렬의 범위를 계산하는 것입니다. 이 방법은 두 직선이 암시적(또는 일반) 방정식의 형태로 표현될 때 매우 유용합니다.

따라서 3차원 공간(R3)에서 암시적(또는 일반) 방정식으로 표현된 두 개의 선이 있는 경우:

$\displaystyle r: \ \begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$

$\displaystyle s: \ \begin{cases}A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \\[2ex] A_4x+B_4y+C_4z+D_4=0 \end{cases}$

A를 두 선의 계수로 구성된 행렬로 설정합니다.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}A_1 & B_1 & C_1\\[1.1ex]A_2 & B_2 & C_2\\[1.1ex]A_3 & B_3 & C_3\\[1.1ex]A_4 & B_4 & C_4 \end{pmatrix}$

그리고 두 직선의 모든 매개변수로 구성된 행렬인 확장된 행렬 A’가 주어지면:

$\displaystyle A'=\begin{pmatrix}A_1 & B_1 & C_1&D_1\\[1.1ex]A_2 & B_2 & C_2&D_2\\[1.1ex]A_3 & B_3 & C_3&D_3\\[1.1ex]A_4 & B_4 & C_4&D_4 \end{pmatrix}$

그런 다음 두 선의 상대적 위치는 다음 표에 따라 이전 두 행렬의 범위에 의해 결정될 수 있습니다.

따라서 두 행 사이의 상대 위치를 찾으려면 두 행렬의 범위를 계산해야 하며 각 행렬의 범위에 따라 두 가지 경우가 있습니다.

이 정리는 Rouché-Frobenius 정리(선형 방정식 시스템을 해결하는 데 사용되는 방법)를 사용하여 증명할 수 있지만, 이 정리는 매우 번거롭고 많은 것을 추가하지 않기 때문에 증명을 수행하지 않습니다. .

공간에서 두 평면의 상대적 위치

해석 기하학에서는 두 평면 사이에 가능한 상대 위치가 교차 평면, 평행 평면, 일치 평면의 세 가지뿐입니다.

교차 평면 : 두 평면이 한 선에서만 교차하는 경우 교차합니다.
평행 평면 : 두 평면이 어떤 점에서도 교차하지 않으면 평행합니다.
일치 평면 : 두 평면이 모든 점을 공유하면 일치합니다.

교차하는 샷

평행면

매칭 플랜

계수로 두 평면의 상대 위치를 결정하는 방법

두 평면 사이의 상대 위치를 아는 한 가지 방법은 일반(또는 암시적) 방정식의 계수를 사용하는 것입니다.

그런 다음 두 개의 다른 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하십시오.

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

3차원 공간에서 두 평면 사이의 상대적 위치는 계수 또는 매개변수의 비례성에 따라 달라집니다.

따라서 계수 A, B 또는 C 중 하나가 다른 계수와 비례하지 않으면 두 평면이 교차합니다. 반면에, 독립 항만이 비례하지 않을 때 두 평면은 평행합니다. 그리고 마지막으로 두 방정식의 모든 계수가 비례할 때 계획이 일치하게 됩니다.

우주에서의 거리

아래에는 점과 선 사이, 두 평면 사이, 평면과 선 사이 등 다양한 기하학적 요소 사이의 거리를 계산하는 공식이 있습니다.

두 점 사이의 거리

두 점 사이의 거리는 이 두 점에 의해 결정된 벡터의 노름에 해당합니다.

따라서 두 가지 일반적인 사항이 있는 경우:

$A(a_x,a_y,a_z) \qquad \qquad B(b_x,b_y,b_z)$

두 점 사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle d(A,B) = \vert \vv{AB} \rvert = \sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2} \end{empheq}$

점에서 선까지의 거리

공간의 점에서 선까지의 거리를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle d(s,r)=d(P,r)=\cfrac{\lvert \vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert} \end{empheq}$

금:

$\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert$

선의 방향 벡터의 모듈입니다.

$r.$
$Q$

오른쪽이 포인트다

$r,$

$P$

선상의 한 점

$s$

그리고

$\vv{QP}$

두 점으로 정의된 벡터
$\lvert \vv{QP} \times \vv{\text{v}}_r \rvert$

벡터 사이의 벡터 곱의 계수입니다.

$\vv{QP}$

그리고

$\vv{\text{v}}_r$

두 선 사이의 거리

두 선 사이의 거리는 상대 위치에 따라 다릅니다.

두 선이 일치 하거나 교차하는 경우 두 선 사이의 거리는 (적어도) 한 지점에서 교차하므로 두 선 사이의 거리는 0과 같습니다.
두 선이 평행 하거나 교차하는 경우 경우에 따라 공식을 적용해야 합니다(두 가지 설명 모두 아래에서 확인 가능).

두 평행선 사이의 거리

두 평행선은 항상 같은 거리만큼 떨어져 있습니다. 따라서 공간(R3)에서 두 평행선 사이의 거리를 계산하려면 평면(R2)에서와 동일한 방식으로 수행됩니다. 두 선 중 하나에서 점을 선택하고 그곳의 거리를 구하면 됩니다. 이 지점에서 다른 라인까지입니다.

따라서 두 평행선 사이의 거리를 결정하려면 점과 선 사이의 거리 공식을 사용해야 합니다.

두 교차선 사이의 거리

방향 벡터와 교차하는 두 선의 임의의 점을 다음과 같이 설정합니다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

금:

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

벡터의 혼합 곱의 절대값입니다.

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

점으로 정의된 벡터

$A$

그리고

$B$

.
$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

두 교차 선의 방향 벡터 사이의 벡터 곱의 계수입니다.

여기에 공식이 있지만 교차하는 두 선 사이의 거리를 결정하는 것은 보이는 것보다 더 복잡합니다. 따라서 다음 링크에서 연습하고 싶다면 교차하는 두 선 사이의 거리에 대한 예제와 해결된 연습을 볼 수 있습니다.

점에서 평면까지의 거리

주어진 점과 평면의 일반(또는 암시적) 방정식은 다음과 같습니다.

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{empheq}$

공식을 적용하여 0과 같은 결과를 얻는다면 이는 분명히 점과 평면 사이의 거리가 0이고 따라서 점이 이 평면의 일부임을 의미합니다.

두 평면 사이의 거리

공간에서 두 평면 사이의 거리는 이 두 평면 사이의 상대적인 위치에 따라 달라집니다.

두 평면이 교차 하거나 일치하는 경우 특정 지점에서 교차하기 때문에 두 평면 사이의 거리는 0과 같습니다.
두 평면이 평행 한 경우 두 평면 중 하나의 점을 선택하고 해당 점과 다른 평면 사이의 거리를 계산하여 두 평면 사이의 거리를 계산합니다.

두 평행 평면 사이의 거리

두 평행 평면은 항상 서로 같은 거리를 가지므로 두 평행 평면 사이의 거리를 알아내기 위해 두 평면 중 하나의 점을 선택하고 해당 점에서 다른 평면까지의 거리를 계산할 수 있습니다.

따라서 두 평행 평면 사이의 거리를 계산하려면 두 평면 중 하나에서 점을 찾은 다음 점과 평면 사이의 거리 공식을 사용해야 합니다.

공간의 각도

거리와 마찬가지로 공간에 있는 두 기하학적 객체 사이의 각도를 결정하는 것은 기하학적 특성에 따라 달라집니다. 두 선이 이루는 각도를 계산하는 것은 두 평면이 이루는 각도를 계산하는 것과 같지 않기 때문입니다. 아래에는 선과 평면 사이의 각도를 구하는 공식이 있습니다.

두 선 사이의 각도

유클리드 공간에서 두 선 사이의 각도를 알려면 방향 벡터에 의해 형성된 각도를 계산해야 합니다. 따라서:

서로 다른 두 선의 방향 벡터가 주어지면:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

이 두 선이 이루는 각도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

금

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

그리고

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

벡터의 모듈입니다

$\vv{\text{u}}$

그리고

$\vv{\text{v}}$

각기.

벡터의 계수에 대한 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2+\text{v}_z^2}$

두 평면 사이의 각도

두 평면 사이의 각도는 해당 평면의 법선 벡터에 의해 형성된 각도와 같습니다. 따라서 두 평면 사이의 각도를 찾으려면 두 평면이 동일하므로 법선 벡터에 의해 형성된 각도를 계산합니다 .

서로 다른 두 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하면 다음과 같습니다.

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

각 평면의 법선 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

그리고 이 두 평면이 이루는 각도는 다음 공식을 사용하여 법선 벡터가 이루는 각도를 계산하여 결정됩니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert} \end{empheq}$

선과 평면 사이의 각도

선과 평면이 이루는 각도는 선의 방향 벡터와 평면의 법선 벡터가 이루는 두 개의 보각 중 작은 각도로 정의됩니다.

그러므로 만일

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$\vv{n}$

평면에 수직인 벡터입니다.

$\vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

$\vv{n}=(n_x,n_y,n_z)$

선과 평면이 이루는 각도를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \text{sen}(\alpha)=\cfrac{\lvert \vv{\text{v}} \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert} \end{empheq}$

공간의 분석 기하학(공식)

공간에서의 기하학이란 무엇입니까?

공간의 선 방정식

공간 내 선의 벡터 방정식

공간 내 선의 매개변수 방정식

공간 속 선의 연속방정식

공간 내 선의 일반(또는 암시적) 방정식

공간의 평면 방정식

평면의 벡터 방정식

평면의 매개변수 방정식

평면의 암시적 또는 일반 방정식

평면의 정식 또는 분할 방정식

평면에 수직인 벡터

공간에서 두 기하학적 요소의 상대적 위치

공간에서 두 선의 상대적 위치

범위별로 두 줄의 상대 위치를 찾는 방법

공간에서 두 평면의 상대적 위치

계수로 두 평면의 상대 위치를 결정하는 방법

우주에서의 거리

두 점 사이의 거리

점에서 선까지의 거리

두 선 사이의 거리

두 평행선 사이의 거리

두 교차선 사이의 거리

점에서 평면까지의 거리

두 평면 사이의 거리

두 평행 평면 사이의 거리

공간의 각도

두 선 사이의 각도

두 평면 사이의 각도

선과 평면 사이의 각도

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