공간의 두 평면 사이의 각도(공식)

이 페이지에서는 공간에서 두 평면이 이루는 각도를 계산하는 방법(공식)을 설명합니다. 또한, 예시를 보고 연습 문제를 풀어볼 수도 있습니다.

두 평면 사이의 각도 공식

두 평면 사이의 각도는 해당 평면의 법선 벡터에 의해 형성된 각도와 같습니다. 따라서 두 평면 사이의 각도를 찾으려면 두 평면이 동일하므로 법선 벡터에 의해 형성된 각도가 계산됩니다.

따라서 두 평면 사이의 각도가 무엇인지 정확히 알았으면 공간(R3)에서 두 평면 사이의 각도를 계산하는 공식을 살펴보겠습니다. 이는 두 벡터 사이의 각도 공식 에서 추론됩니다.

서로 다른 두 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하면 다음과 같습니다.

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

각 평면의 법선 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

그리고 이 두 평면이 이루는 각도는 다음 공식을 사용하여 법선 벡터가 이루는 각도를 계산하여 결정됩니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

따라서 두 평면 사이의 각도를 결정하려면 두 벡터의 내적 계산을 마스터해야 합니다. 어떻게 수행되었는지 기억나지 않는다면 링크에서 두 벡터 사이의 내적을 해결하는 단계를 찾을 수 있습니다. 또한 단계별로 해결되는 예제와 연습문제도 볼 수 있습니다.

반면에 두 평면이 수직이거나 평행한 경우 두 평면 사이의 각도를 직접 결정할 수 있으므로 공식을 적용할 필요가 없습니다.

평행한 두 평면 사이의 각도는 법선 벡터의 방향이 동일하므로 0°입니다.
수직인 두 평면 사이의 각도는 90°입니다. 그 이유는 법선 벡터도 서로 수직(또는 직교)이므로 직각을 형성하기 때문입니다.

두 평면 사이의 각도를 계산하는 예

다음은 서로 다른 두 평면 사이의 각도를 결정하는 방법을 볼 수 있는 구체적인 예입니다.

다음 두 평면 사이의 각도를 계산합니다.

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

가장 먼저 해야 할 일은 각 평면의 법선 벡터를 찾는 것입니다. 따라서 평면에 수직인 벡터의 좌표 X, Y, Z는 일반(또는 암시적) 방정식의 계수 A, B 및 C와 각각 일치합니다.

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

그리고 각 평면에 대한 법선 벡터를 알고 나면 공식을 사용하여 평면이 형성하는 각도를 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

따라서 우리는 각 법선 벡터의 크기를 찾아야 합니다.

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

이제 우리는 각 미지수의 값을 공식에 대체합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

두 벡터의 내적을 풀어 각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

그리고 마지막으로 계산기를 사용하여 코사인의 역수를 계산하여 각도를 결정합니다.

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

두 평면 사이의 각도 문제 해결

연습 1

다음 두 평면 사이의 각도를 구합니다.

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

해결책 보기

가장 먼저 해야 할 일은 각 평면의 법선 벡터를 찾는 것입니다. 따라서 평면에 수직인 벡터의 좌표 X, Y, Z는 각각 일반(또는 암시적) 방정식의 계수 A, B 및 C와 동일합니다.

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

각 평면의 법선 벡터를 알고 나면 다음 공식을 사용하여 평면이 형성하는 각도를 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

따라서 우리는 각 법선 벡터의 크기를 찾아야 합니다.

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

우리는 각 미지수의 값을 공식으로 대체합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

마지막으로 계산기를 사용하여 코사인을 반전시켜 두 평면 사이의 각도를 찾습니다.

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

연습 2

다음 두 평면 사이의 각도는 얼마입니까?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

해결책 보기

가장 먼저 해야 할 일은 각 평면의 법선 벡터를 찾는 것입니다. 따라서 평면에 수직인 벡터의 X, Y, Z 좌표는 각각 일반(또는 암시적) 방정식의 매개변수 A, B 및 C와 같습니다.

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

각 평면의 법선 벡터를 알고 나면 다음 공식을 사용하여 평면이 형성하는 각도를 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

따라서 우리는 각 법선 벡터의 크기를 찾아야 합니다.

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

각 변수의 값을 공식에 대체합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

각도의 코사인을 계산합니다.

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$